講好數字背后的故事
——解題教學的一項基本功

●曹鳳山 (余杭高級中學 浙江杭州 311000)

?

講好數字背后的故事
——解題教學的一項基本功

●曹鳳山 (余杭高級中學 浙江杭州 311000)

解題教學不是自己解題，也不是幫助學生解出一道題的結果，它是以典型的案例為載體，通過具體問題的解決，引導學生學會運用知識，同時領悟解題策略、方法，提升學生“自我生長”的能力，從而學會解題.解題教學需要教師具備一定的基本功，如“講好數字背后的故事”.

解題教學;數字;基本功

數學解題教學和魔術的相同點是要“妙”，都期望好玩、好看,又截然相反，魔術要“玄”，不能“穿幫”，解題教學則必須“穿幫”，不能“玄”，講究瓜熟蒂落、自然天成.

數字是數學試題中最基本的元素，一些問題中數字的來龍去脈就是問題的核心、題眼，“講好數字背后的故事”是解題教學的基本功之一.下面結合具體案例，探索如何講好數字背后的“故事”.

1 數字從何來

例1 已知數列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1.

(2014年全國數學高考新課標卷試題)

從而

因此

評注 轉化為等比數列求和，證明過程流暢、嚴密、簡捷.關鍵是式(1)中的數字“2”從何而來.

同時

真相大白，數字并不神秘，背后是樸素的待定系數法.理解了數字背后的故事，解決下面的問題是不是信心滿滿？

在方法2中，根據目標的誘導、啟發，只要化去分母中的“-1”即可.真分數的性質！目標提示方法，數字來源于試題目標的啟發、來源于聯想，依據基本的數學知識.

考慮一般形式an+1=pan+q(其中p,q是常數，且p≠1)，假如它可以化成等比數列{an+λ}的形式，則應有an+1+λ=p(an+λ)(其中p,λ是常數).

對于類似的問題都可以采用待定系數的方法解決.

練習2 1)已知數列{an}滿足a1=1,an+1=2an+3n(其中n∈N+),求數列{an}的通項公式.

2)已知數列{an}滿足an+1=2an+3·5n，a1=6,求數列{an}的通項公式.

(提示：轉化為an+1+λ·5n+1=2(an+λ·5n)或者如問題1).)

3)已知數列{an}滿足an+1=3an+5·2n+4,a1=1，求數列{an}的通項公式.

(提示：轉化為an+1+λ·2n+1+μ=3(an+λ·2n+μ)的形式.)

即

9a-6b+4c≥0，

從而

a+2b+4c≥8(b-a).

因為b>a，所以

故所求最小值為8.

(1+m)a+(2-m)b+4c≥0.

令f(x0)=0，則

等號成立只要

即

m2-8m=0，

解得m=0或m=8.

當m=0時，

從而

此時b=-a<0，這與b>a>0矛盾，不合題意.

當m=8時，

從而

此時b=3a>a，符合題意.

故所求最小值為8.

例3 設a∈R，當x>0時均有

[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0，

則a=______．

(2012年浙江省數學高考理科試題第17題)

分析 取x=2，得

(2a-3)2≤0，

恒成立.

評注x=2是如何“懵”出來的呢？

問題轉化為

[ax-(x+1)][ax-(x2-1)]≤0，

即當x>0時，f(x)=ax的圖像介于g(x)=x+1與h(x)=x2-1的圖像之間，如圖1，g(x)=x+1與h(x)=x2-1的圖像相交于(2,3)，x=2是2條線交點的橫坐標，是“不等”與“等”的臨界點，取x=2就很顯然.

圖1 圖2

或者轉化為當x>0時均有

數字的背后是數形結合的數學思想，數字背后是美妙的圖形.

下面這一道高考試題也有異曲同工之妙：

已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3)，g(x)=2x-2，若同時滿足條件：

①任意x∈R，f(x)<0或g(x)<0；

②存在x∈(-∞,-4),f(x)g(x)<0,

則m的取值范圍是______(答案:-4

(2012年北京市數學高考理科試題第14題)

2 數字有何含義

|b-(xe1+ye2)|≥ |b-(x0e1+y0e2)|=1,

(2)

其中x0,y0∈R,則x0=______，y0=______，|b|=______．

(2015年浙江省數學高考理科試題第15題)

理解了數字“1”背后的故事，再根據基本概念、基本定理可以簡捷求解.

例5 設函數f(x)=x2+ax+b(其中a，b∈R)．

2)已知函數f(x)在[-1,1]上存在零點，0≤b-2a≤1，求b的取值范圍．

(2015年浙江省數學高考文科試題第20題)

圖3

分析 1)略.

3 數字對解法有何影響

( )

(2008年浙江省數學高考理科試題第8題)

( )

(2012年遼寧省數學高考理科試題第7題)

( )

(2007年浙江省數學高考理科試題第12題)

( )

(2013年浙江省數學高考理科試題第6題)

分析 第1)小題設y=cosα+2sinα，則

y′=-sinα+2cosα=0，

(2016年浙江考試院數學調研試題)

分析 這里分子中a,b,c的系數分別為1，1，2，聯想到

a+b+2c=(a+b+c)+c，

觀察函數特點即f(1)+f(0)，顯然

|f(0)|≤M(a,b,c)， |f(1)|≤M(a,b,c),

從而

這里的數字提示了解題的方向.

A．[1，3] B．[2，3]

(2015年浙江省六校聯考數學理科試題第7題)

圖4

故選D.

以上案例不勝枚舉，方法的選擇離不開具體條件，關注數字背后的故事，因“數”定法是解題的一個重要角度;講好數字背后的故事，讓解題有趣、好玩、自然.

[1] 曹鳳山.年年三個二次 歲歲奇葩爭艷[J].中學數學(高中版),2013(12):54-55.

[2] 曹鳳山.數學教學 把根留住——2015年浙江省數學高考試題解讀[J].中學教研(數學),2015(8):3-4.

[3] 曹鳳山.高考試題的源與流、通法與特技[J].中小學數學(高中版),2013(12):57-58.

2016-03-28；

2016-04-15.

曹鳳山(1967-)，男，山東菏澤人，山東省特級教師，研究方向：數學教育.

O122

A

1003-6407(2016)06-01-04