在數學實驗中建構數學模型
——《釘子板上的多邊形》教學

田媛媛 韋波富（特級教師）

【教材內容】

蘇教版五年級上冊。

【教學過程】

一、圍一圍，提出初步猜想

1．圍一圍。

（1）（課件出示圖 1）認識這個嗎？（這是釘子板）

（2）（課件依次在釘子板上圍出3個大小、形狀各不相同的長方形）老師在釘子板上圍了三個長方形，看看哪個面積最大，哪個面積最小？

2.猜一猜。

（1）剛才我們圍了三個大小不同的長方形，你覺得在釘子板上圍出的長方形的面積可能跟什么有關系？說說你這樣猜想的理由。

（2）揭題：多邊形的面積和內部釘子數、邊上釘子數之間究竟有什么關系呢？今天這節課我們就來研究釘子板上的多邊形。（板書課題：釘子板上的多邊形）

3.變一變。

為了研究方便，我們把釘子板上的釘子用點表示，釘子板就變成了點子圖。

【設計意圖：從認識釘子板開始，感知圍成的圖形面積的大小，并引導學生猜想：在釘子板上圍成的圖形面積的大小可能與什么有關系？引導學生從現象思考產生變化的內在因素，為接下來的實驗研究確定方向。釘子板變身點子圖，是一次抽象，是數學化的過程，這一過程也是數學研究活動的經驗。】

二、示范實驗，探索“多邊形內部是1枚釘子”的規律

1.計算，收集數據。

（1）（課件出示4個圖形）我們先從一組簡單的圖形開始研究。

（2）（出示下表 1）要研究這4個圖形面積跟內部釘子數、邊上釘子數之間的關系，你覺得我們需要哪些數據？（根據學生的回答，形成下表2）

表1

表2

（3）教師引導學生收集數據，形成表3。

表3

2．比較，發現規律。

（1）有了這些數據，接下來干什么？（找規律）觀察表格中的數據，你有什么發現？（內部都只有1枚釘子、多邊形邊上的釘子數是多邊形面積數的2倍）

（2）老師引導學生逐一核對，確認四個圖形都符合這一規律。

（3）這個發現我們還可以用含有字母的式子來表示。如果用a表示多邊形內部釘子數，用S表示多邊形的面積，用n表示多邊形邊上釘子數，那么S=？(板書：S=n÷2)

3．沖突，凸顯前提。

（1）（課件出示上圖）我們再來看幅圖，數一數邊上的釘子數是多少？（n=8）根據剛才的規律，面積是多少？（S=4）數一數圖形的面積是多少？（S=5）怎么回事啊？（剛才的多邊形內部都只有1枚釘子，而現在這個多邊形的內部有兩枚釘子）

（2）現在對于S=n÷2這個結論你有什么前提條件需要補充的？（只有多邊形內部是1枚釘子的多邊形，面積是邊上釘子數的一半）

完善板書：當a=1時，S=n÷2+1

4.舉例，驗證規律。

是不是所有內部只有1枚釘子的多邊形都符合這個規律呢？你準備怎樣驗證？（在點子圖上任意畫一個內部只有1枚釘子的多邊形，先算面積，再數邊上的釘子數，看看是否符合規律。）

【設計意圖：從收集數據——尋找規律——驗證規律，在老師的引導下學生經歷了實驗研究的一般過程，為下面的實驗提供了方法上的指導。“需要收集哪些數據”“有了數據，接下來干什么”“你準備怎樣驗證”等問題的提出突出了實驗中的關鍵元素、實驗的目的以及驗證的方法。而這些對于學生來說是極其寶貴的經歷和經驗。在這一環節學生建立了內部釘子數為1時，多邊形面積與邊上釘子數之間關系的模型。】

三、嘗試實驗，探索“多邊形內部是2枚釘子”的規律

1.討論實驗方法。

（1）剛才我們研究的是內部只有1枚釘子的多邊形，接下來你們想研究什么？（研究內部是2枚釘子的）出示：實驗單一（如下表）

（2）討論：你準備怎么研究呢？根據學生的回答依次在實驗單中顯示實驗步驟以及4個圖形（如下表）：

2.合作完成實驗。

（1）要求：同桌合作收集數據填入實驗單中，根據發現的規律填寫實驗結果。

（2）匯報交流。根據學生的回答板書：當a=2時，S=n÷2+1。

【設計意圖：“接下來你們想研究什么”體現了問題由學生提出的教學指導思想；“你準備怎么研究”體現了實驗方法的遷移和指導。在這一環節學生建立了內部釘子為2時，多邊形面積與邊上釘子數關系的數學模型。】

四、獨立實驗，驗證“多邊形內部是3枚、4枚釘子”的規律。

1.類推猜想。

（1）通過研究，我們發現了這樣的兩個規律：當a=1時，S=n÷2，當 a=2 時，S=n÷2+1。接下來你們還想研究什么？（當a=3時、當a=4時，多邊形面積的規律）

（2）猜一猜：當 a=3時，S=？當a=4時呢？

（3）這個猜想究竟對不對？有辦法驗證嗎？（做實驗驗證）

2.實驗驗證。

（1）接下來我們就通過實驗來驗證這兩個規律是否成立。請每個實驗小組的組長拿出實驗單（二），分組、分別驗證a=3時，S=n÷2+2；a=4時，S=n÷2+3。

（2）要求：小組合作，先討論并寫出實驗步驟，接著畫出要研究的圖形形成實驗材料，再收集數據填在表中，最后填寫實驗結果。

3.匯報交流。

（1）先看驗證a=3的，你們的實驗步驟是什么？你們收集了這些數據，規律成立嗎？怎么發現的？

（2）再看看驗證a=4的，你們的實驗結果是什么？怎么發現的？

【設計意圖：在前兩個實驗的基礎上放手讓學生獨立進行第三個實驗是水到渠成的。猜想的過程是學生依據已有結論進行合情推理的過程。驗證的步驟是學生依據先前的經驗自主擬定的，實驗材料和實驗數據是學生尋找并發現的，實驗結論是學生自己得出的。充分體現了培養學生實驗方法及技能的教學意圖。這一環節學生先猜想內部釘子為3、4時多邊形面積的模型，再通過驗證進行了確認。】