幾何直觀
——數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的腳手架

馬捷春 羅鳴亮

數(shù)學(xué)是抽象的科學(xué)，對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，正處于由具體形象思維向抽象邏輯思維的過(guò)渡階段。要讓學(xué)生理解高度抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容，就應(yīng)該在數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性和學(xué)生思維的形象性之間架起一座橋梁，借助形象直觀的模型作為其解釋和支撐，那就是幾何直觀。幾何直觀是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的十個(gè)核心理念之一。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)“幾何直觀”是這樣解釋的:“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。”

細(xì)細(xì)研讀，我們可以發(fā)現(xiàn)幾何直觀借助圖形描述問(wèn)題的范圍更寬廣，除了“圖形與幾何”領(lǐng)域中的問(wèn)題，還涉及“數(shù)與代數(shù)”、“統(tǒng)計(jì)與概率”等，基本涵蓋了小學(xué)數(shù)學(xué)四大領(lǐng)域。而這兒所指的“圖形”不僅局限于幾何圖形，運(yùn)算符號(hào)、方框、箭頭等直觀的符號(hào)表示出的圖示語(yǔ)言，甚至用圖形、文字、字母表示出來(lái)的數(shù)量關(guān)系式都可以看成是一種“直觀”。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，借助恰當(dāng)?shù)膱D形、直觀的模型，有利于揭示數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)和關(guān)系，講清道理，從而幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)。

一、化靜為動(dòng)，理解計(jì)算原理

理解算理、掌握算法是計(jì)算教學(xué)的核心要素之一。理解算理是掌握算法的基礎(chǔ)。小學(xué)生的思維以直觀形象思維為主，對(duì)算理的理解應(yīng)該建立在豐富典型的直觀表象基礎(chǔ)上。因此，在探究算理的過(guò)程中，通過(guò)擺一擺、圈一圈、畫一畫等形式來(lái)直觀表征思維過(guò)程，能夠幫助學(xué)生打開(kāi)思維的大門，突破數(shù)學(xué)理解上的難點(diǎn)。

例如，教學(xué)《除數(shù)是整十?dāng)?shù)的口算除法》時(shí)，教學(xué)例題1：有80面彩旗，每班分20面，可以分給幾個(gè)班。學(xué)生容易出現(xiàn)80÷20=40這樣的錯(cuò)誤，究其原因，一是受已有整十?dāng)?shù)加減法的數(shù)位對(duì)齊慣性思維影響，80-20=60，從而遷移到80÷20=40；二是對(duì)算理不理解，8÷2=4，為什么80÷20也等于4呢？對(duì)于這一抽象的數(shù)學(xué)算式，學(xué)生無(wú)法用自己的邏輯思維進(jìn)行合理的推算。要幫助學(xué)生理解口算的算理，就要讓學(xué)生經(jīng)歷算理的形成過(guò)程，讓學(xué)生自主操作，感悟算理。此時(shí)，教師可以借助小棒，讓學(xué)生自主操作，80根小棒代表的是80面紅旗，每20根分一份，學(xué)生在分的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)一根一根數(shù)很麻煩，就會(huì)自發(fā)地把80根小棒捆成8捆，這一捆，就明白了80表示8個(gè)十，再每2捆分一份，也就20根為一份，分成了4份。從而明白，8÷2可以表示8捆小棒，每2捆分一份，可以分成4份。而每捆小棒有10根，其實(shí)也就是表示8個(gè)十，每2個(gè)十分一份，分成了4份，從而得出80÷20=4的道理。在探究算理的過(guò)程中，化“靜”的數(shù)學(xué)思考為“動(dòng)”的操作過(guò)程，借助“動(dòng)”的生動(dòng)和直觀，有效地闡明了抽象的計(jì)算原理，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)清晰、深刻。

二、以形析數(shù)，表征問(wèn)題過(guò)程

幾何直觀與想象、邏輯、推理也是不可分的。它不僅僅是看到了什么？而是通過(guò)看到的圖形思考到了什么？想象到了什么？這是數(shù)學(xué)非常重要而有價(jià)值的思維方式。幾何直觀會(huì)把看到的與以前學(xué)到的結(jié)合起來(lái)，通過(guò)思考、想象，猜想出一些可能的結(jié)論和論證思路，這也就是合情推理，它為嚴(yán)格證明結(jié)論奠定了基礎(chǔ)。

如，四年級(jí)《近似數(shù)》一課的教學(xué)，求近似數(shù)所用的“四舍五入法”涉及背后的數(shù)據(jù)分布問(wèn)題，只有假設(shè)數(shù)據(jù)是正態(tài)分布才能用四舍五入。如果我們知道某一類數(shù)據(jù)的整體分布是偏右的，比如某一次考試大部分是90分以上，而此時(shí)要以10分為等級(jí)對(duì)學(xué)生做出區(qū)分（數(shù)據(jù)使用的目的），那么就可以五舍六入，甚至七舍八入（數(shù)據(jù)使用的手段）。反之，數(shù)據(jù)分布偏左，則可以二舍三入、三舍四入。一般上，正態(tài)分布是數(shù)據(jù)分布的常態(tài)，所以我們也很少追問(wèn)四舍五入背后的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)。而其實(shí)，規(guī)定常常有其何以如此規(guī)定的邏輯，這一點(diǎn)教師應(yīng)該知道。

本課中，在讓學(xué)生猜測(cè)汽車的價(jià)錢后，問(wèn)：“汽車價(jià)格約是8萬(wàn)，這個(gè)數(shù)萬(wàn)位可能是幾？”“為什么可能是 7、8，不可能是其他數(shù)呢？”。如果是7，“千位呢？”學(xué)生答：“可能是5、6、7、8、9，不可能是 0、1、2、3、4”。此時(shí)，揭示答案卻是4！教師反問(wèn)道：“可以是4嗎？為什么不行？”再讓學(xué)生在數(shù)軸上找到74999，說(shuō)明74999相對(duì)而言不接近80000更接近70000，它的近似數(shù)是70000，不是80000，直觀揭示“四舍五入”的由來(lái)。通過(guò)對(duì)比，讓學(xué)生對(duì)近似數(shù)的認(rèn)識(shí)更深刻！教師順勢(shì)揭示：74580！將學(xué)生剛從數(shù)軸上獲取的新知又弄混了，教師給出解釋：上課前一緊張把數(shù)字的順序弄混了，應(yīng)該怎么調(diào)整呢？調(diào)整后的數(shù)又分別在數(shù)軸上的哪里呢？之后，學(xué)生按照老師的提示語(yǔ)“高了、低了”逐步調(diào)整順序，很快找到正確答案：78450。

整個(gè)過(guò)程用數(shù)字卡片在黑板上的反扣、翻動(dòng)、移位結(jié)合數(shù)軸引導(dǎo)學(xué)生感受為何規(guī)定“四舍五入”，知識(shí)復(fù)歸到它形成的過(guò)程狀態(tài)，這個(gè)狀態(tài)是鮮活的，培養(yǎng)了學(xué)生的興趣和數(shù)感。有些特定的解決問(wèn)題，思考時(shí)具有一定的順序性，我們可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意畫出樹狀圖，邊畫邊思考，答案慢慢就會(huì)水落石出。

三、借圖釋理，感悟思想方法

數(shù)學(xué)的思想方法可謂是數(shù)學(xué)的靈魂。幾何直觀是作為數(shù)學(xué)思考的一種方式提出的，其更深遠(yuǎn)的價(jià)值在于“幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)”，運(yùn)用這些基本圖形有助于發(fā)現(xiàn)、描述問(wèn)題，有助于探索、發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的思路，幫助我們把困難的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得容易，把抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。教師可以充分發(fā)揮幾何直觀的優(yōu)勢(shì)，通過(guò)有效地滲透數(shù)學(xué)基本思想方法，幫助學(xué)生在說(shuō)理操作中感悟其應(yīng)用價(jià)值。

如：一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是10厘米，減去一個(gè)最大的正方形后，剩下的小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是多少厘米？

此題一拋出，質(zhì)疑聲是此起彼伏的：“老師，長(zhǎng)方形的寬都不知道，怎么求呀？”教師可以適當(dāng)?shù)匾I(lǐng)：長(zhǎng)方形的寬是多少?zèng)]有告訴我們，要解決這個(gè)問(wèn)題你會(huì)怎么想？引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己的實(shí)踐情況，采用假設(shè)、直接觀察分析、請(qǐng)老師幫助等辦法解決問(wèn)題，需要幫助的應(yīng)其所求給發(fā)一個(gè)錦囊妙計(jì)（分別寫著寬是1～9厘米的字條）。完成解題后讓學(xué)生展示了他們用不同的策略得到的解決方法，發(fā)現(xiàn)當(dāng)寬是1厘米時(shí)，剩下的周長(zhǎng)是20厘米。假設(shè)寬是9厘米，剩下的周長(zhǎng)也是20厘米，這是為什么呢？學(xué)生借助示意圖（如圖1）對(duì)比發(fā)現(xiàn)：剪掉最大的正方形后，雖然長(zhǎng)變短了，但是兩條長(zhǎng)減少的長(zhǎng)度恰好等于剩下小長(zhǎng)方形的兩條寬，所以不管寬為多少，其周長(zhǎng)總是等于兩條長(zhǎng)之和，也就是20厘米。

（圖1）

又如，在解決經(jīng)典題“雞兔同籠”的問(wèn)題時(shí)，“雞兔共8只，有26只腿，雞兔各幾只？”除了畫圖理解，先假設(shè)全是雞，再在雞的基礎(chǔ)上添上腿，換成是兔（如圖2）。

（圖2）

還可以用“面積圖”理解。利用長(zhǎng)方形的面積公式計(jì)算組合圖形的面積。（如圖3）

（圖3）

盡管是第二學(xué)段的學(xué)生，面對(duì)這樣復(fù)雜的規(guī)律，學(xué)生們?nèi)匀恍枰柚靶巍眮?lái)解決問(wèn)題，教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中嘗試通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生用圖形解釋、理解、分析、記憶數(shù)學(xué)知識(shí)或現(xiàn)象的研究，探索出有效發(fā)展學(xué)生用“圖形語(yǔ)言”來(lái)思考問(wèn)題能力的方法，獲得解決問(wèn)題的初步經(jīng)驗(yàn)和策略。

幾何直觀并不能簡(jiǎn)單地等同于能用圖描述問(wèn)題的技能，幾何直觀更為深遠(yuǎn)地表現(xiàn)為能夠借助圖形去思考的能力。教師在培養(yǎng)學(xué)生利用幾何直觀描述與分析問(wèn)題的意識(shí)和能力時(shí)，要關(guān)注學(xué)生運(yùn)用幾何直觀表征問(wèn)題的過(guò)程，以及表征之后的反思與頓悟。沒(méi)有反思和頓悟，學(xué)生可能獲得了幾何的方法，卻未必獲得幾何直觀的能力，難以形成與之相應(yīng)的數(shù)學(xué)思維模式。站在這個(gè)角度看，幾何直觀雖然是借助圖形展開(kāi)思維活動(dòng)，但明顯超越了圖形，走向了直觀，因此直觀思維才是它的核心和重點(diǎn)。只有不斷地運(yùn)用，形成正向的動(dòng)力定型，才會(huì)逐步形成一種當(dāng)遇到抽象理性的問(wèn)題時(shí)，主動(dòng)地想到適合的直觀層面上去推動(dòng)思維展開(kāi)的思維方式。

欄目介紹

【教學(xué)策略】

透視教學(xué)現(xiàn)象，探尋教學(xué)方法，求索教學(xué)規(guī)律。

【名師課堂】

展示經(jīng)典課例，領(lǐng)略名家風(fēng)采；推薦成功教例，凸顯不同風(fēng)格。

【案例精選】

突出自身教學(xué)特點(diǎn)，融合課程理念，讓讀者有所得，有所思。

【課堂再現(xiàn)】

緊扣課標(biāo)理念，注重實(shí)踐過(guò)程，強(qiáng)調(diào)可操作性。

【磨課手記】

典型課例的教學(xué)反思，一課多教的案例剖析。

【感悟名師】

感悟名師教學(xué)的精彩設(shè)計(jì)，領(lǐng)悟課標(biāo)理念的靈活體現(xiàn)。

【教例反思】

探究教學(xué)設(shè)計(jì)的成敗得失，反省教學(xué)過(guò)程的點(diǎn)點(diǎn)滴滴。

【教學(xué)一得】

教研活動(dòng)中形成的點(diǎn)滴心得或隨筆。