同時(shí)考慮公共點(diǎn)新老坐標(biāo)誤差的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型

王阿昊,王解先,陳俊平

(1.同濟(jì)大學(xué) 測(cè)繪與地理信息學(xué)院,上海 200092;2.中國(guó)科學(xué)院上海天文臺(tái),上海 200030;3.上海市空間導(dǎo)航與定位技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,中國(guó)科學(xué)院上海天文臺(tái),上海 200030)

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同時(shí)考慮公共點(diǎn)新老坐標(biāo)誤差的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型

王阿昊1,2,王解先1,陳俊平2,3

(1.同濟(jì)大學(xué) 測(cè)繪與地理信息學(xué)院,上海 200092;2.中國(guó)科學(xué)院上海天文臺(tái),上海 200030;3.上海市空間導(dǎo)航與定位技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,中國(guó)科學(xué)院上海天文臺(tái),上海 200030)

傳統(tǒng)意義上求解三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的7個(gè)參數(shù)是基于間接平差模型,僅考慮新坐標(biāo)系下公共點(diǎn)的誤差。本文在此基礎(chǔ)上,同時(shí)考慮老坐標(biāo)系的公共點(diǎn)誤差,采用附有參數(shù)的條件平差模型進(jìn)行解算,通過(guò)實(shí)例計(jì)算,兩種平差模型所求轉(zhuǎn)換參數(shù)一致。精度分析時(shí),繪制坐標(biāo)轉(zhuǎn)換殘差的頻率分布直方圖,新模型的轉(zhuǎn)換殘差分布的更集中,其分布區(qū)域明顯小于間接平差模型;當(dāng)公共點(diǎn)個(gè)數(shù)在3個(gè)以上時(shí),新模型的驗(yàn)后單位權(quán)中誤差σ0始終小于間接平差模型,其σ0值約為間接平差模型的1/3到2/3.

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換;七參數(shù);間接平差;附有參數(shù)的條件平差;殘差;驗(yàn)后單位權(quán)中誤差

0 引 言

空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換廣泛應(yīng)用于大地測(cè)量、攝影測(cè)量、GPS測(cè)量及工業(yè)測(cè)量等領(lǐng)域,在大地測(cè)量中,有WGS-84世界大地坐標(biāo)系、1954北京坐標(biāo)系、1980西安坐標(biāo)系及CGCS2000坐標(biāo)系的相互轉(zhuǎn)換;在攝影測(cè)量領(lǐng)域,建立共線方程及空間后方交會(huì)均以空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為基礎(chǔ);隨著GPS及INS技術(shù)的發(fā)展,對(duì)飛機(jī)、汽車(chē)等移動(dòng)載體的姿態(tài)測(cè)量成為熱門(mén),任意角度的空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換十分重要[1];工業(yè)測(cè)量中,大型設(shè)備的測(cè)量空間大,精度要求高,測(cè)量環(huán)境不佳,現(xiàn)一般采用多站位聯(lián)合測(cè)量,需將各站測(cè)量數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到同一坐標(biāo)系下[2]。

目前,三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換常采用七參數(shù)法,通過(guò)三個(gè)以上的公共點(diǎn),按間接平差模型建立誤差方程,利用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)將模型線性化,然后解算3個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)、3個(gè)平移參數(shù)和1個(gè)尺度因子,該法將老坐標(biāo)系下公共點(diǎn)坐標(biāo)視為無(wú)誤差的值,僅考慮新坐標(biāo)系下公共點(diǎn)的誤差,而實(shí)際情況并非如此。本文將同時(shí)考慮兩套坐標(biāo)系下公共點(diǎn)的誤差,采用附有參數(shù)的條件平差模型進(jìn)行解算,以殘差V和驗(yàn)后單位權(quán)中誤差σ0作為精度指標(biāo),對(duì)兩種方法進(jìn)行比較。

1 模型表示與精度指標(biāo)

兩個(gè)坐標(biāo)系下公共點(diǎn)的轉(zhuǎn)換關(guān)系為[3]

(1)

式中: (x0,y0,z0)為平移參數(shù); (α,β,γ)為旋轉(zhuǎn)參數(shù); λ為尺度因子; R1(α)是把老坐標(biāo)繞X軸旋轉(zhuǎn)α角得到的旋轉(zhuǎn)矩陣; R2(β)是把老坐標(biāo)繞Y軸旋轉(zhuǎn)β角得到的旋轉(zhuǎn)矩陣; R3(γ)是把老坐標(biāo)繞Z軸旋轉(zhuǎn)γ角得到的旋轉(zhuǎn)矩陣。該模型適合任意旋轉(zhuǎn)角的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

(2)

(3)

(4)

1.1 間接平差轉(zhuǎn)換模型

按間接平差模型,對(duì)每個(gè)公共點(diǎn)列出誤差方程[3]

(5)

式中:vi=(vxivyivzi)T為新坐標(biāo)系下公共點(diǎn)的轉(zhuǎn)換殘差。

(6)

式中,偏導(dǎo)數(shù)和常數(shù)項(xiàng)為

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

由誤差方程式(6)組成法方程X=(BTPB)-1

1.2 附有參數(shù)的條件平差轉(zhuǎn)換模型

同時(shí)考慮新老兩套坐標(biāo)系下公共點(diǎn)的誤差,函數(shù)模型為

(13)

將式(13)按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi),并對(duì)所求的7個(gè)參數(shù)取近似值,利用附有參數(shù)的條件平差模型,列出形如AV+CX-W=0的改正數(shù)條件方程[4]:

(14)

(15)

1.3 精度指標(biāo)

2 算例

為了比較兩種三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型的精度,本文采用實(shí)測(cè)的29個(gè)GPS公共點(diǎn)坐標(biāo),按間接平差模型和附有參數(shù)的條件平差模型,分別計(jì)算從北京54坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到WGS-84坐標(biāo)系的7個(gè)轉(zhuǎn)換參數(shù),兩種計(jì)算結(jié)果一致,如表1所示。

在兩種模型下,分別計(jì)算這29個(gè)GPS公共點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換殘差,結(jié)果如表2所示。

表1 轉(zhuǎn)換參數(shù)

表2 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換殘差

根據(jù)表2結(jié)果,繪制兩種模型在新坐標(biāo)系(WGS-84坐標(biāo)系)下各個(gè)方向上坐標(biāo)轉(zhuǎn)換殘差的頻率分布直方圖,如圖1所示,該坐標(biāo)轉(zhuǎn)換殘差即為表2中的vx,vy,vz,在統(tǒng)計(jì)時(shí)各個(gè)方向均有29個(gè)殘差值進(jìn)行對(duì)比。

圖1 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換殘差的頻率分布直方圖

由圖1可知,采用附有參數(shù)的條件平差模型進(jìn)行解算,其X方向的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換殘差在[-3,2]mm,Y和Z方向的轉(zhuǎn)換殘差分別在[-4,4]mm和[-2,3]mm,與間接平差模型相比,三個(gè)方向的轉(zhuǎn)換殘差分布更集中,且殘差值越小的區(qū)域里,殘差個(gè)數(shù)分布越多。

為了更全面的分析模型精度,并驗(yàn)證模型的穩(wěn)定性,現(xiàn)依次選取前5個(gè)、10個(gè)、15個(gè)、20個(gè)、25個(gè)和全部29個(gè)GPS公共點(diǎn),分別計(jì)算其驗(yàn)后單位權(quán)中誤差σ0,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表3所示。

表3 驗(yàn)后單位權(quán)中誤差

從表3可知,采用附有參數(shù)的條件平差模型進(jìn)行三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,其驗(yàn)后單位權(quán)中誤差明顯小于間接平差模型。公共點(diǎn)數(shù)在10個(gè)以上時(shí),間接平差模型的σ0最小值為1.22,而附有參數(shù)的條件平差模型的σ0最大值僅為0.861 4,其減小幅度明顯。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文同時(shí)考慮新老兩套坐標(biāo)系下公共點(diǎn)的誤差,建立附有參數(shù)的條件平差模型對(duì)三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中涉及的7個(gè)參數(shù)進(jìn)行解算,該模型適合任意旋轉(zhuǎn)角的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。精度分析時(shí),以坐標(biāo)轉(zhuǎn)換殘差V和驗(yàn)后單位權(quán)中誤差σ0做精度指標(biāo),與間接平差模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較,通過(guò)算例可得如下結(jié)論:

1) 采用附有參數(shù)的條件平差模型,其X、Y、Z方向上的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換殘差明顯小于間接平差模型,且殘差分布區(qū)域更集中。

2) 只要公共點(diǎn)在3個(gè)以上,無(wú)論其數(shù)目多少,附有參數(shù)的條件平差模型的驗(yàn)后單位權(quán)中誤差σ0均明顯優(yōu)于間接平差模型,其σ0值約為間接平差模型的1/3到2/3.

[1] 姚吉利.3維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)直接計(jì)算的嚴(yán)密公式[J].測(cè)繪通報(bào),2006(5): 7-10.

[2] 張皓琳,林嘉睿,邾繼貴.三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度及其影響因素的研究[J].光電工程,2012,(10):26-31.

[3] 王解先,季凱敏.工業(yè)測(cè)量擬合[M].北京:測(cè)繪出版社,2008.

[4] 王穗輝.誤差理論與測(cè)量平差[M].上海:同濟(jì)大學(xué)出版社,2010.

Three-Dimensional Coordinate Transformation Model by Simultaneously Considering Both Pre-and Post-transforming Coordinate’s Error on Common Sites

WANG Ahao1,2,WANG Jiexian1,CHEN Junping2,3

(1.CollegeofSurveyingandGeo-Informatics,TongjiUniversity,Shanghai200092,China;2.ShanghaiAstronomicalObservatory,ChineseAcademyofScience,Shanghai200030,China;3.ShanghaiKeyLaboratoryofSpaceNavigationandPositioningTechnology,ChineseAcademyofScience,Shanghai200030,China)

Traditional three-dimensional coordinate transformation method, estimates seven transformation parameters,namely the translate, rotation and scale parameter, using conventional least square estimator. It considers only the coordinate error of the common sites in the transformed coordinate system. In fact, station coordinates in both coordinate systems may have errors, and the mis-modelling of such error may lead to bigger uncertainty of the estimated parameters. This paper considers the station coordinates error of the common sites in both systems, and applies the conditional adjustment model for parameter estimation. A local GPS network is used to test the new model. The magnitude distribution histogram of the coordinate transformation residuals shows that the residuals from the new model is more concentrated around zero, and its distribution area is significantly smaller than that of the traditional model. Also, the mean square error of unit weight of the new model is about 1/3 to 2/3 in the order of the traditional model.

Coordinate transformation; seven parameters; parameter adjustment; condition adjustment with parameters; residual; mean square error of unit weight

10.13442/j.gnss.1008-9268.2016.05.012

2016-06-12

P228.4

A

1008-9268(2016)05-0061-05

王阿昊 (1992-),男,碩士生,主要從事衛(wèi)星大地測(cè)量方面研究。

王解先 (1963-),男,博士,教授,博士生導(dǎo)師,主要從事衛(wèi)星大地測(cè)量方面的研究工作。

陳俊平 (1980-),男,博士,研究員,博士生導(dǎo)師,主要從事衛(wèi)星大地測(cè)量研究與應(yīng)用。

聯(lián)系人： 王阿昊 E-mail: bdserwah@tongji.edu.cn