三教三探 尋根究底
——“百分數的意義”教學例談

江蘇南京市天正小學（瑯小分校）（210000） 王 軍

三教三探 尋根究底
——“百分數的意義”教學例談

江蘇南京市天正小學（瑯小分校）（210000） 王 軍

數學概念是小學數學課堂的重要教學內容，可是目前重定義輕理解、重形式輕本質的現象普遍存在。在“百分數意義”的概念教學的嘗試中，從生活出發聯系實際、從需要出發以人為本、從知識本質出發尋根究底，旨在說明小學數學概念教學要精讀教材，抓住概念教學的根，讓學生充分體會其價值，學會溝通聯系，形成體系。

數學概念 百分數 生活 需要 本質

數學概念是進行數學推理、判斷、證明的依據，是建立數學定理、法則、公式的基礎，也是形成數學思想方法的出發點。因此，數學概念的教學是重要環節。百分數在學生生活、社會生產中有著廣泛的應用，是小學數學中重要的基礎知識之一。

對于“百分數的意義”這一概念具體該怎么教，仁者見仁，智者見智。百分數是表示一個數是另一個數的百分之幾的數，也叫百分率或百分比。從這個意義講，百分數具備“率”的意義，歸類到分數集合。如何讓學生深入理解百分數的意義呢？我在執教這一課時，進行了“三教三探”，感受頗深：只有精讀教材，立足知識的本質，尋起源之“根”，才能真正讓百分數的意義在學生心中扎根。

一教：從生活出發，聯系實際

【案例描述】

師∶課前老師讓每位同學到生活中找百分數，現在先小組交流，然后選代表參加信息發布會，大家一起交流。

生1∶我在網上查到“盈科護眼燈新產品比舊產品省電80%”。

生2∶我在衣服的標簽上找到“一件上衣的布料，棉的含量是65%，滌綸的含量是35%”。

生3∶我在酒瓶貼的標簽上找到“瀘州老窖的酒精度是52%”。

生4∶我在牛奶盒上找到“100%純牛奶”。

生5∶我在藥品的說明書上找到……

師∶聽到這么多，你們想到了什么？

生6∶百分數在生活中無處不在。

生7∶生活離不開百分數。

師∶有的同學是在生活中找到百分數，有的同學是對生活當中的一些現象做了一些分析，經過計算后得到了百分數。總之，說明一個問題，百分數在生活當中有著廣泛的應用。

師∶老師也找了幾個，（大屏幕展示）你能說說這幾個百分數的意思嗎？

師∶請觀察并比較，每一個百分數都是幾個量在進行比較？這些百分數所表達的意思有沒有什么相同之處？

總結∶表示一個數是另一個數的百分之幾的數，叫做百分數。

【反思】

密切聯系學生的生活實際，通過“信息發布會”的形式讓學生交流自己收集的生活中的百分數后用自己的語言描述百分數表示的意義，使學生在真實的情景中理解百分數的意義，逐步建立百分數的認知框架，同時體驗百分數在日常生活中的廣泛應用，這樣做能充分發揮學生的主觀能動性。而將數學和生活放在同一平臺，能讓學生體會到兩者的密切聯系，激發學生的學習熱情，符合課程標準中“人人學游泳的數學”這一大眾數學教學理念。

對于“百分數意義的認識”，如果就定位在讓學生會用“表示一個數是另一個數的百分之幾”描述具體百分數的意義上就行了嗎？在案例中，很多學生通過模仿就能順利說出百分數的意思。事實上，要深入理解百分數的意義，不僅要會解釋生活中百分數的具體意義，更要能描述抽象百分數的意義，更重要的是理解百分數是表示兩個數量相比的關系。特級教師張勇成說過：“我們教學，要教清楚知識的來龍去脈。”教學的成功之處就在于不僅要使學生“知其然”，更重要的是讓學生“知其所以然”。為什么要有百分數呢？百分數有什么好處呢？百分數是怎么產生的？在第一節課結尾時學生果然提出了這樣的疑問。因此，讓學生經歷百分數產生的過程，產生對百分數的需要，應該是這一概念教學課不可或缺的重要部分，也符合概念教學的要求，于是我進行了第二次教學。

二教：從需要出發，以人為本

【案例描述】

1.情境引入，引發探究

學校體育組組織籃球聯賽（學校活動），我們班要選拔參賽選手（課件出示表1，只有“投中次數”和“姓名”兩欄）。

表1

師∶老師對他們三人的投籃成績進行了統計。你會選擇誰參賽？為什么？

生1∶選擇張睿，因為張睿投中的次數最多。

生2∶不告訴我們投籃總次數就不好選，萬一他們三個人投的總次數不一樣呢？

（課件出示表2，增加“投籃次數”一欄）

表2

師∶現在可以比較了嗎？

生3∶選王欣宇，因為他只有7個沒投中。

生4∶我不同意，那如果只投2個，1個沒投中，難道他投籃最準嗎？

生5∶我覺得可以算出投中次數占投籃次數的幾分之幾后再比較……

教師引導學生比較各種方法，集體討論后確認“看誰投中的比率高，也就是求出投中次數占投籃次數的幾分之幾后再進行比較”這一方法是合理的。（在表2中增加“投中的比率”一欄；計算三名隊員投中的比率；板書：

2.合理比較，引發需求

（1）通分成分母是100的分數。

師∶可以直接比較了嗎？

生1∶可以化成小數后再比較。

生2∶可以化成分數后再比較。首先比較和化成比小和通分成分母都為100，得所以王欣宇成績最好。

師∶能三個都通分成同分母嗎？

師∶現在可以直接看出誰投中的比率更高一些嗎？

（2）引發需求，形成方法。

（課件出示表3，增加老師的投籃成績）

表3

師∶老師也經常和他們三個人切磋球技，有了老師的加入，你覺得誰更厲害一些？

生3∶老師的成績不好通分成以100為分母的分數。

生4∶可以都通分成以200為分母的，即

師∶是呀，這樣也可以比較，只是如果再出現不好找公分母的分數的時候會比較麻煩。為了便于統計和比較，通常把這些分數都用分母是100的分數來表示。

表4

【反思】“學生的學習內容應該是現實的、有趣的、富有挑戰性的。”從學生的知識經驗和生活經驗出發，利用學生熟悉的籃球聯賽，創造性地使用教材，創設“選拔誰做投籃選手”的問題情境，設置引發學生認知沖突的一個個問題，特別是增設老師也參加投籃的情況，讓學生體會到通分的局限性，進而引發學生認知的沖突，從而引出本節課的主要教學內容。這樣的引入，從百分數產生的需要出發，從現實情境需要出發，便于比較，真正做到以人為本，使學生知其然也知其所以然，從而充分體驗百分數產生的必要與作用，感受百分數的價值。

通過不同標準量的幾個部分的比較，引導學生將不同標準量轉化成100，從而引出“百分數”，不僅讓學生知道百分數的意義，更讓學生知道產生百分數的必要性。但我們不僅要問：“只要比較出來就行了，為什么非要分母是100呢？而且有的數通分不出分母是100時又該怎么辦？”案例中就有學生利用小數或者其他方法進行比較，還有的學生把分數通分成分母是200的，這樣就規定通分成100太牽強了，另外投籃總數分別為“25、20、5”，這為學生想到“公分母100”鋪好了臺階，人為痕跡過于明顯。

百分數到底是怎么產生的呢？我仔細翻閱教材，查閱了很多資料，只查閱到這樣一段話“200多年前，瑞士數學家歐拉在《通用算術》一書中說，要想把7米長的一根繩子分成三等份是不可能的，因為找不到一個合適的數來表示它。如果把它分成三等份，每份是米，像就是一種新的數，我們把它叫做分數。而后，人們在分數的基礎上又以100作為基數，發明了百分數。”顯然，這種關于百分數的由來太過籠統。

仔細翻閱教材，蘇教版教材98頁有這樣一句話“為了便于統計和比較，通常把這些分數用分母是100的分數來表示”。由此不禁想到，百分數雖然屬于分數范疇，但是不是也和統計有關，屬于統計領域呢？如果和統計無關，為什么不直接說為了便于比較呢？

無獨有偶，在《小學數學教師》雜志中看到一段話：“在工農業生產和科學研究中，人們經常要收集有關數據，以便進行必要的數量統計、數量比較、質量分析和效果檢查等各項工作，有時用一般的分數形式來表示很不方便，于是人們就選擇了分數中的一部分——分母為100的分數，并書寫成A%的形式，冠以它特定的含義，簡稱‘百分數’。”這段文字給了我這樣的啟示：百分數是在“工農業生產和科學研究”中產生的，和統計有一定的聯系。這應該是“百分數的意義”這一課真正的知識本源，基于這個因素，我進行了第三次教學。

三教：從本源出發，尋根究底

【案例描述】

1.第一次“質量萬里行活動”——認識“統一標準”的必要。

師∶臨近歲末，為了保護消費者權益，省質檢部門舉行“質量萬里行活動”，對甲、乙、丙3家鞋業公司的某個產品進行質量檢測，派出3位質檢員分別到3家公司，10天后檢測結果如下。請問∶哪家鞋業公司的產品質量最好？

抽檢數量（雙）95 178 123公司名稱甲乙丙合格數量（雙）90 167 115

生1∶丙最高，因為它合格的數量最多。

生2∶我覺得應該是甲，因為它只有5雙不合格。

生3∶我不同意，照你這樣說，如果生產的總量很少，不合格的當然也就越少了。

生4∶我覺得應該算出合格數量占抽檢數量的幾分之幾，即

師∶現在好比了嗎？該怎么辦？

生5∶通分。

（學生面露難色，感覺很麻煩）

師∶遇到什么問題了？

2.檢測工作交流反思會——確定一個合適的標準量。

師∶如果你是質檢部門的負責人，看到這個表格，你有什么想法？

生6∶一眼看不出來誰的質量好。

生7∶要是一目了然就好了。

師∶第一次“質量萬里行活動”結束后，你覺得他們會交流什么？

生8∶這些數據太復雜了，只要統一抽檢的數量就很好比較了。

師∶大家同意嗎？

師∶抽測數量統一為多少合適？請小組討論后交流。

生（匯報）∶統一成100，因為100比較好算。

生9∶我們也認為是100。

生10∶我們商量的結果是100。因為100既不是太多，也不是太少，正好。

師∶王老師在《社會調查中樣本容量的確定》這本中讀到這樣一段話，希望能給大家一些啟發∶抽檢數量過大，會增加調查的工作量，造成人力、物力、財力、時間的浪費；抽檢數量過小，則樣本對總體缺乏足夠的代表性，從而難以保證推算結果的精確度和可靠性。

師∶為了便于統計和計算，一般我們選擇100這個數值，更有利于比較。

3.第二次質量萬里行活動——介紹“百分數的意義”。

師∶下個月將派出3位質檢員分別到3家牛奶公司，對各家公司的純牛奶產品進行質量檢測。（出示抽檢數量統一為100之后的檢測結果）

師∶怎樣表示每種牛奶的合格情況？請求出合格數量占檢測總數量的幾分之幾。這樣的表示你有什么感受？

生10∶這樣很清楚，很好比較。

師∶有時為了節約時間或者成本，并不一定把樣本容量定為100。（出示教材例題）誰投中的比率高一些？為了便于比較，你想給王老師提出什么修改建議？

4.教學百分數的讀法和寫法。

5.小組交流課前搜集的百分數，進一步學習百分數的意義。

【反思】

對于百分數的意義的教學，創設的情境既要能反映百分數的意義，又能體現應用百分數的必要性，也就是“百分數是怎么產生”的。對于第三次教學設計的情景，主要有兩方面的考慮：一是情景要使人產生“統一標準量”的必要，但不能人為的痕跡過重；二是為什么“標準量”統一為100。這是最難的地方，從我的理解來看，這個100除了計算簡單外，應該和統計學中的“樣本容量”有一定的關系。我想這也是教材定義百分數產生時所描述的，可是教材并沒有提及便于統計的情境和內容。

從《社會調查中樣本容量的確定》一書中合理確定樣本容量的意義是這樣說的：樣本容量過大，會增加調查工作量，造成人力、物力、財力、時間的浪費；樣本容量過小，則樣本缺乏足夠的代表性，從而難以保證推算結果的精確度和可靠性；樣本容量確定的科學合理，可以在既定的調查費用下，使抽樣誤差盡可能小，以保證推算的精確度和可靠性，在既定的精確度和可靠性下，使調查費用盡可能少，保證抽樣推斷的最大效果。

從教學現狀看，六年級的學生對不同標準的比較已經具有了一定的經驗，所以我引進了樣本容量這個概念，不過六年級學生是否需要這么做是值得商榷的。這三種教學方式本身并沒有好壞、優劣之分，只是對于概念的教學，教師應該更多地從知識本源出發，抓住“百分數意義”這一概念的根。

在當前的小學課堂教學中，重定義輕理解、重形式輕本質的現象仍然普遍存在。在“百分數的意義”的課后訪談中，我曾經問學生：“什么是百分數？”學生基本能對答如流：表示一個數是另一個數的百分之幾的數叫做百分數。可是過幾天再問，學生回答起來就有些茫然，甚至有學生說有百分號這樣的數。究其原因，學生只記住了形，沒有從本質上理解概念。那么數學概念本身有哪些特點？學生對數學概念有著怎樣的學習與認識過程？我們該如何進行概念教學呢？這有待我們進一步的研究。

（責編 金 鈴）

G623.5

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1007-9068（2016）35-004