整體把握方差教學

趙存宇

(北京市朝陽區(qū)八十中學，北京 100102)

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整體把握方差教學

趙存宇

(北京市朝陽區(qū)八十中學，北京 100102)

教學內容分析從整體把握的角度出發(fā)，進行數(shù)學概念教學時，我們應該首先引導學生認識此概念在整個數(shù)學理論體系中的地位，以及在實際應用中的價值，具體來說，方差是概率論和數(shù)理統(tǒng)計的重要概念之一，數(shù)據(jù)的方差是反映樣本數(shù)據(jù)分布的數(shù)字特征，而隨機變量的方差是反映隨機變量取值分布的特征數(shù)．學習方差將為今后學習概率統(tǒng)計知識做鋪墊．同時，它在市場預測、經濟統(tǒng)計、風險與決策等領域有著廣泛的應用．

其次，引導學生從教學目標設定、教學過程實施和教學結果評價這個整體的角度，去看待相關概念的學習．從近幾年的高考情況看，本節(jié)是高考的熱點內容之一，連續(xù)三年以解答題的形式出現(xiàn)．試題聯(lián)系實際，設問新穎，突出考查學生對概念本質的理解，注重直觀理解和歸納猜想，淡化純粹的代數(shù)運算，體現(xiàn)了新課程改革下考試對教學的正向引領作用．

最后，應該引導學生從研究問題的方法這個高度去學習具體的知識，因此，在教學時，一方面引導學生重視概念理解，避免死記硬背，避免過分模式化的訓練，將課堂定位于讓學生作為主體在問題分析、探究和解決的過程中加強理解、提高能力．另一方面，強調直觀感覺和歸納猜想之后的理性分析過程，做到有理有據(jù)．

學情分析對學生學情的整體把握體現(xiàn)在如下兩個方面：首先，應該把握學生在小學、初中、高中整個學習過程中對相關知識的認知程度，學生在初中已經學習過數(shù)據(jù)的方差，高中又進一步學習了用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征以及隨機變量的方差，而且已經做了復習．其次，從學生知識、能力和思維方法的整體框架下評估學生的當前水平，學生知道方差的定義，對方差的含義有基本的了解，會解決一些基本的問題，但理解比較膚淺，還停留在感覺的層面，缺少理性的分析做支撐．本節(jié)授課班級是理科普通班，學生有一定基礎，但不夠扎實．

教學目標

1.能說出數(shù)據(jù)方差的定義公式，能準確理解方差的含義并利用其比較兩組數(shù)據(jù)的方差大小．

2.經歷研究問題的過程，體會從特殊到一般的思想，提高通過演繹推理進行驗證的意識．

3.通過創(chuàng)設情境激發(fā)學生探究問題的興趣，在學生分析問題、解決問題的過程中培養(yǎng)其積極探索的精神，培養(yǎng)嚴謹治學的態(tài)度．

教學重點 通過解決估計方差大小等相關問題，進一步準確深入理解方差的含義．

教學難點 從直觀感覺深化為理論分析．

教學方法 引導探究．

教具 多媒體設備．

學法指導

注重發(fā)揮學生的主體性，讓學生在問題探究過程中澄清概念，加深理解，并學會怎樣發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題．

教學過程

一、創(chuàng)設情境引出課題

教師活動：前面我們已經復習了數(shù)據(jù)的方差，請回顧概念，完成如下填空：

(2)方差描述了樣本數(shù)據(jù)的大小，反映了樣本數(shù)據(jù)到________的一種平均距離．

學生活動：回顧概念，完成填空．

設計意圖：回顧基本概念，完成知識提取過程．

教師活動：我們對方差的概念和含義已經有了一定程度的理解，請嘗試完成如下問題．

引例(2013年全國高考北京卷理科文科)

下圖是某市3月1日至14日的空氣質量指數(shù)趨勢圖，空氣質量指數(shù)小于100表示空氣質量優(yōu)良，空氣質量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，某人隨機選擇3月1日至3月15日中的某一天到達該市，并停留2天．

(Ⅲ)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質量指數(shù)方差最大？(結論不要求證明)

設計意圖：以最近的高考題為例提出問題，激發(fā)學生解決問題的興趣，引出課題，從一個側面讓學生體會所學內容的重要性．

二、分析思路展開探究

問題1 需要比較多少組數(shù)據(jù)？每組數(shù)據(jù)由幾個數(shù)構成？

設計意圖：引導學生分析題意，認清要比較的對象．

將第1天開始連續(xù)三天的數(shù)據(jù)記為第1組，第2天開始連續(xù)三天的數(shù)據(jù)記為第2組，以此類推，直到第12天開始連續(xù)三天的數(shù)據(jù)記為第12組，共12組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)有3個數(shù)．

問題2 你認為哪組數(shù)據(jù)方差最大？請說出你的判斷依據(jù)．

學生活動：學生思考，尋找解決問題的切入點．

預設回答：

(1)計算出每連續(xù)三天的方差，然后比較．

教師活動：你如何評價這種思路？

計算出每組的方差是一種非常直接的方法，但對于問題共需比較12組數(shù)據(jù)的方差，每組數(shù)據(jù)有3個數(shù)．如果有信息技術的輔助，可以很快地得到結果，但如果沒有技術手段，則會因計算量太大而幾乎無法進行．那么如何結合已有知識，尋找運算量更小，更行之有效的方法呢？

設計意圖：數(shù)學中的很多問題表面上有很直接的方法，但如果不借助于信息技術等輔助手段，這些方法會因為太過復雜或計算量太大而缺乏可行性，這時應引導學生通過對問題的深入分析，尋找更可行的方法．

(2)比較極差

教師活動：對于兩組數(shù)據(jù)，極差大的一組數(shù)據(jù)其方差一定大嗎？

A：0，0，9；

B：0，5，10．

設計意圖：極差和方差都是描述數(shù)據(jù)離散程度的數(shù)字特征，但二者并不等價，應該幫助學生澄清這一問題．

(3)按照對方差含義的理解，方差描述數(shù)據(jù)波動的大小，因此第6組數(shù)據(jù)(第6天開始連續(xù)三天的數(shù)據(jù))方差大．

教師活動：你同意這種對方差的理解方式嗎？

比較第5組和第6組數(shù)據(jù)，事實上第5組方差更大，可見數(shù)據(jù)的方差描述的是數(shù)據(jù)偏離均值的離散程度，不能理解為日常生活中按時間順序或數(shù)據(jù)順序的“波動”大小，例如股票隨時間的波動等，即樣本的方差與樣本中數(shù)據(jù)的排列順序無關．

設計意圖：注意引導學生對方差含義的正確理解．

(4)根據(jù)對方差含義的理解，方差描述的是數(shù)據(jù)偏離均值的離散程度，感覺應該選第5組數(shù)據(jù)．

教師活動：從直觀感覺以及對方差含義的理解，我們選擇第5組數(shù)據(jù)，能更清晰地說明你的依據(jù)嗎？從比較第5組和第6組數(shù)據(jù)過程中，你能得到哪些啟發(fā)？

學生活動：這兩組數(shù)據(jù)的特點是有兩個數(shù)相同，第三個數(shù)不同，因此我們可以考慮如下問題．

探究一

問題3 對3個數(shù)據(jù)x1,x2,x3構成的樣本，考慮當x1,x2固定，改變x3時方差的大小如何變化？

教師活動：我們先通過一個具體的例子入手，并注意從中提煉更一般的規(guī)律．

例1 下列各種數(shù)據(jù)中，

方差從大到小的順序是____________．

學生活動：學生通過畫散點圖或對方差含義的理解，解決這一具體例子，并嘗試從中歸納更一般的結論．

直觀解釋：如果x3離x1,x2的中點越遠，則s2越大．

證明：設三個數(shù)分別為x1,x2,a+x，求s2的表達式，并完成證明．

事實上有

將結論推廣至多個數(shù)據(jù)的情形，并證明你的猜想：

推論1 對n個數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn，其中x1,x2,…,xn-1固定，記

設計意圖：教會學生如何分解困難的任務，先提出較簡單的情形，即探究一的問題．通過解決具體的例子，歸納猜想更一般性的結論，并注意加以驗證．既提高學生的合情推理能力，也注意培養(yǎng)學生嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度．同時，讓學生體會如何用函數(shù)的思想解決與變化相關的問題．

學生活動：分析引例可知，相鄰的兩組數(shù)據(jù)都符合結論1的條件，因此，利用結論1完成相應數(shù)據(jù)方差的比較．

通過比較，我們可以得到如下結果：

第1組方差<第2組方差第2組方差<第3組方差第3組方差>第4組方差第4組方差<第5組方差第5組方差>第6組方差第6組方差=第7組方差第7組方差>第8組方差第8組方差>第9組方差第9組方差<第10組方差第10組方差<第11組方差第11組方差>第12組方差

由此可知，我們只需比較第3組、第5組和第11組的方差．

觀察數(shù)據(jù)可知，第3組和第5組數(shù)據(jù)有一個數(shù)相同，而且兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一樣，因此我們提出如下問題．

探究二

問題4 對3個數(shù)據(jù)x1,x2,x3，當x1固定，x2+x3固定，即三個數(shù)平均數(shù)固定，改變x2和x3時方差的大小如何變化？

教師活動：我們仍然從一個具體的例子入手，并注意從中提煉更一般的規(guī)律．

例2 下列各組數(shù)據(jù)中，

A.1,3,5；B.1,4,4；

C.1.9,1,6.1；D.1,0,8．

方差從大到小的順序是____________．

將結論2推廣至多個數(shù)據(jù)的情形，并加以證明：

設計意圖：考慮一組數(shù)據(jù)中,保持均值不變的前提下，改變其中兩個數(shù)據(jù)時方差大小的變化．

分析引例可知，

第3組方差<第5組方差

最后，我們只需比較第5組數(shù)據(jù)和第11組數(shù)據(jù)的方差即可，前面我們知道極差大的樣本，方差不一定大，但這兩組數(shù)據(jù)的極差相差很大，直觀上感覺第5組數(shù)據(jù)的方差大于第11組數(shù)據(jù)的方差，你能嚴格說明嗎？

探究三

問題5 對包含有3個數(shù)據(jù)的樣本，極差和方差之間有怎樣的聯(lián)系？

例3 完成下列問題

設計意圖：極差和方差相比較而言，極差更簡單，更易于計算，因此如果能由極差的大小去估計方差的大小，則問題會大大簡化，對三個數(shù)據(jù)而言，我們在一定程度上可以做這種估計，但對于更多的數(shù)據(jù)，這種估計的實際意義將變得很?。瑫r，讓學生體會不等式的思想．

分析引例可知，第5組數(shù)據(jù)的極差是180，第11組數(shù)據(jù)的方差是79，由結論3可知,

第5組方差>第11組方差

至此，我們知道第5組數(shù)據(jù)的方差最大．

設計意圖：通過觀察、猜想和實驗驗證數(shù)據(jù)改變對方差大小的影響，深化對數(shù)據(jù)方差的含義的理解．

三、深化認識鞏固練習

變式練習假設有三個非負實數(shù)a,b,c,其中a>0，a+b+c=600．當數(shù)據(jù)a,b,c的方差s2最大時，寫出

a,b,c的值(結論不要求證明)，并求此時s2的值．

四、課堂小結回顧收獲

1．通過本節(jié)課的學習，在知識和技能方面你有哪些提高？

2．在研究問題過程中，你收獲了哪些思想和方法？

3．通過本課題的探究，你覺得研究問題一般要經歷哪些步驟？

4．你覺得本節(jié)課的哪些方面比較有意思，或者比較重要？

五、課后練習加深理解

1.(1)對4個數(shù)據(jù)0,x,y,1，其中0≤x≤1，0≤y≤1，則x,y為何值時，s2最大？(結論不要求證明)

(2)對5個數(shù)據(jù)，你能提出類似于(1)中的問題并給出解答嗎？

(3)從(1)和(2)出發(fā)，你能歸納出更一般的結論嗎？

2.隨機變量X服從如下兩點分布：

X01P1-pp

當p為何值時，D(X)達到最大？

(責任編輯：李 珺)