解讀物系的關(guān)聯(lián)速度策略

劉習(xí)聰

在高中物理教學(xué)改革的今天，教學(xué)大綱重視開發(fā)學(xué)生大腦右半球的優(yōu)勢(shì)，發(fā)揮其直覺、預(yù)感與技能，增強(qiáng)學(xué)生解答物理問題的時(shí)間速度性與準(zhǔn)確性，及時(shí)進(jìn)行反饋，正確運(yùn)用強(qiáng)化方法.教學(xué)在理解物理概念前提下，建學(xué)習(xí)目標(biāo)，開發(fā)動(dòng)力，注重養(yǎng)學(xué)生超越邏輯分析的思維能力，促進(jìn)學(xué)生積極排解問題干擾，克服學(xué)習(xí)困難，努力強(qiáng)化分析問題技巧.在機(jī)械能知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)過(guò)程中，經(jīng)常涉及到物系的速度關(guān)系.在這方面，速度約束關(guān)系上往往許多同學(xué)會(huì)產(chǎn)生疑惑，本文加以闡述.

1 接觸型約束

例1 如圖1所示機(jī)械傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，當(dāng)連桿系統(tǒng)A在軸套中豎直移動(dòng)時(shí)，下部接觸的半圓柱體隨之水平移動(dòng).設(shè)連桿與半圓柱體的接觸點(diǎn)和圓心O的連線傾角為θ時(shí)，連桿A的速度為vA，半圓柱體的速度為vB，則下列關(guān)系式正確的是

A.vA=vBsinθ

B.vA=vBcosθ

C.vA=vBtanθ

D.vA=vBcotθ

解析 方法一 相對(duì)運(yùn)

動(dòng)法

連桿下端點(diǎn)相對(duì)水平面的運(yùn)動(dòng)速度vA，等于該點(diǎn)相對(duì)半圓柱體的速度u與半圓柱體相對(duì)水平面的速度vB的矢量和.而連桿下端點(diǎn)相對(duì)半圓柱面的速度u沿圓的切向，作出速度矢量關(guān)系如圖2所示，故得：

vA=vBcotθ

方法二 速度分解法

連桿下端點(diǎn)與半圓柱面始終緊密接觸，故垂直接觸面方向的分速度（即圓柱面半徑方向的速度）始終相等，如圖3所示，故有

vAsinθ=vBcosθ

即vA=vBcotθ

答案：D

點(diǎn)評(píng) 對(duì)接觸物的接觸點(diǎn)，速度關(guān)聯(lián)的特征是：沿接觸面法向的分速度始終相等，而沿接觸面切向分速度不一定相等（當(dāng)有相對(duì)滑動(dòng)時(shí)）.接觸點(diǎn)的關(guān)聯(lián)速度也可用相對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解.

2 涉及關(guān)聯(lián)速度的物系動(dòng)能問題例析

例1 如圖4所示，質(zhì)量為m、擺長(zhǎng)為L(zhǎng)的單擺豎直懸掛時(shí)，擺球剛好與放在光滑水平面上的斜劈M接觸，斜劈的傾角為θ=53°，斜面光滑，質(zhì)量也為m.現(xiàn)由靜止開始，用F=mg的水平恒力向左推斜劈，到擺線與斜面平行時(shí)，擺球的速度多大？

解析 如圖5所示，設(shè)斜劈推至擺線與斜面平行時(shí)，斜劈M的速度為v1，位移為s1，擺球的速度為v2，對(duì)系統(tǒng)，根據(jù)動(dòng)能定理，有

Fs1-mgL（1-sinθ）=12mv21+12mv22

題設(shè) F=mg，

斜劈的位移為s1=Lcotθ=Lcot53°=34 L

難點(diǎn)在求二者的關(guān)聯(lián)速度，有兩種方法：

方法一 相對(duì)運(yùn)動(dòng)法

擺球相對(duì)水平面的速度v2，等于擺球相對(duì)斜面的速度u與斜劈相對(duì)水平面的速度v1的矢量和.如圖6所示，圖中v2垂直擺線，擺線平行于斜面，故

v1sinθ=v2

θ=53°，v1=54v2

方法二 速度分解法

利用擺球和斜劈二者在垂直斜面方向的分速度相等，由于v2垂直擺線，擺線平行于斜面，故v1垂直斜面的分速度和v2相等，如圖7所示，即

v1sinθ=v2

聯(lián)立以上各式解得：擺球速度

v2=88205gL

小結(jié) 示例可見，掌握了物系關(guān)聯(lián)速度特征，問題也就迎刃而解.

例2 已知一根不能伸長(zhǎng)的輕繩，當(dāng)繞過(guò)不產(chǎn)生摩擦的兩個(gè)輕質(zhì)小定滑輪O1、O2和質(zhì)量mB=m小球相互連接，如圖8所示，另一端和套在光滑直桿上質(zhì)量m=mA小物塊相連接，如果直桿兩端固定，和兩定滑輪在同一豎直平面內(nèi)，那么水平面的夾角θ=60°，兩定滑輪和直桿上C點(diǎn)都在相同高度，C點(diǎn)到定滑輪O1的距離為L(zhǎng)，重力加速度為g，若直桿是足夠長(zhǎng)，小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不存在與其他物體相碰.現(xiàn)將小物塊從C點(diǎn)由靜止釋放，求：

（1）物塊下滑時(shí)的最大距離.

（2）物塊在下滑距離是L時(shí)的速度值.

（3）若小球在下降最低點(diǎn)時(shí)候，小物塊的機(jī)械能（取C點(diǎn)所在的水平面為參考平面）.

解析 （1）設(shè)小物塊下滑的最大距離為sm，該過(guò)程小球升高Δh=L′-L，如圖9所示，系統(tǒng)內(nèi)僅重力和彈力做功，無(wú)其它力做功，機(jī)械能守恒ΔEA=ΔEB，得：

mAgsmsin60°=mBgΔh

式中mA=mB=m，又依余弦定理可得：

L′=L2+s2m-2Lsmcos60°=L2+s2m-Lsm

或根據(jù)勾股定理得：

L′=（Lsin60°）2+（sm-Lcos60°）2=L2+s2m-Lsm

聯(lián)立解得：sm=4（1+3）L

（2）設(shè)小物塊下滑距離L時(shí)速度為v，此時(shí)小球回到初始位置且有向上

的速度vB，如圖10所示，由系統(tǒng)機(jī)械能守恒ΔEp=ΔEk，得：

mAgLsin60°=12mAv2+12mBv2B.

式中mA=mB=m，又沿繩方向的分速度大小相等，故

vB=vcos60°，

聯(lián)立解得：v=203gL5.

（3）小物塊釋放后下滑，滑輪O1左側(cè)細(xì)繩先縮短，小球下降；小物塊通過(guò)滑輪O1左側(cè)細(xì)繩垂直桿的位置后，O1左側(cè)細(xì)繩開始伸長(zhǎng)，小球上升.故小物塊到達(dá)滑輪O1左側(cè)細(xì)繩垂直桿的位置時(shí)，小球下降到最低點(diǎn)且速度為零.此時(shí)，小物塊勢(shì)能雖可求，但因小球初始位置未知，導(dǎo)致小物塊的動(dòng)能無(wú)法求出，故需通過(guò)轉(zhuǎn)換，利用過(guò)程系統(tǒng)機(jī)械能總量不變求解.

設(shè)小球初始位置在滑輪O2下方h處，取C點(diǎn)所在的水平面為參考平面，此時(shí)系統(tǒng)的機(jī)械能為E1=-mBgh； 小球下降到最低點(diǎn)時(shí)，設(shè)小物塊的機(jī)械能為EA，小球的機(jī)械能為EB=-mBg[h+L（1-sin60°）]，則系統(tǒng)的機(jī)械能為

E2=EA+EB=EA-mBg[h+L（1-sin60°）]，

由E1=E2得：

-mBgh=EA-mBg[h+L（1-sin60°）]

解得：EA=mgL（1-32）