關于連接體問題中的一個有趣結論的推理及其巧用

王小華

高中物理常出現有關連接體問題的力學題，常常用整體法和隔離法解析.但學生在應試考場上常受考場時間的約束和限制，往往會憑直覺猜答案.若能在平時練習中尋找到一些有用的結論和規律，這樣會在解題時帶來事半功倍的效果.

下面筆者就從高中物理試題中簡單常見的連接體問題設置系列情境題，并進行推證.以想得到一個有趣的結論.

情境一 如圖1所示，現有兩物塊質量分別為m和M，由輕繩連接，在水平外力F作用下沿光滑的水平面運動，求細線的拉力大小T.

解析 以兩物體及輕繩組成的整體為研究對象，由牛頓第二定律得：

F=（m+M）a（1）

又以m為研究對象，由牛頓第二定律得：

T=ma（2）

由（1）解得a=Fm+M，將其代入（2）式得：

T=Fm+M（3）

情境二 如圖2所示，現有兩物塊質量分別為m和M，二者由輕繩連接，在水平外力F作用下沿水平面運動，已知兩物塊m和M與水平面的動摩擦因數分別μ1和μ2，求細線的拉力大小T.

解析 以兩物體及輕繩組成的整體為研究對象，由牛頓第二定律得：

F-μ1mg-μ2Mg=（m+M）a（1）

又以m為研究對象，由牛頓第二定律得：

T-μ1mg=ma（2）

由（1）解得a=F-μ1mg-μ2Mgm+M ，將其代入（2）式整理得：

T=μ1mMg+mF-μ2Mmgm+M（3）

在（3）式中，當μ1=μ2，則有：

T=mFm+M（4）

情境三 如圖3所示，現有兩物塊質量分別為m和M，二者由輕繩連接，在平行于斜面的外力F作用下沿斜面加速運動，已知兩物塊m和M與斜面的動摩擦因數分別為μ1和μ2，斜面的傾角為θ，求細線的拉力大小T.

解析 以兩物體及輕繩組成的整體為研究對象，由牛頓第二定律得：

F-mgsinθ-Mgsinθ-μ1mgcosθ-μ2Mgcosθ

=（m+M）a（1）

又以m為研究對象，由牛頓第二定律得：

T-mgsinθ-μ1mgcosθ=ma（2）

由（1）式變形得：

a=F-mgsinθ-Mgsinθ-μ1mgcosθ-μ2Mgcosθm+M

將其代入（2）式整理得：

T=μ1mMgcosθ+mF-μ2Mmgcosθm+M（3）

對（3）分析可以得到以下結論：

（1）若μ1=μ2，則T=mFm+M（4）

（2）若θ=0°則T=μmMg+mF-μ2Mmgm+M，即情

境二.

（3）若θ=90°則T=mFm+M（5）

即如圖4的情境.

分析以上的三種情境中T的大小式可以得出，由兩個物體m和M組成的連接體，在外力F的作用下一起加速運動，無論是在水平面上，還是在斜面上，甚至豎直加速上升，無論接觸面粗糙還是光滑，只要兩物體與接觸面間的動摩擦因數相同，則均有兩物塊之間的作用力大小等于后一物體的質量與兩物體的總質量的比值再乘以外力的大小.可簡單記為T=mFm+M，其中T為兩物體之間的相互作用力大小，m為后一物體的質量，M為前一物體的質量，F為外力大小.

下面就分別用常解方法即整體法和隔離法與上述結論法對比同解一題，以感受結論法在快速解選擇題的優越性.

題 如圖5所示，a、b兩物體的質量分別為m1、m2，由勁度系數相同的輕質彈簧相連.當用恒力F豎直向上拉著a，使a、b一起向上做勻加速直線運動時，彈簧伸長量為x1，加速度大小為a1；當用大小仍為F的恒力沿水平方向拉著a，使a、b一起沿光滑水平桌面做勻加速直線運動時，彈簧伸長量為x2，加速度大小為a2.則有

A.a1=a2，x1=x2 B.a1

C.a1=a2，x1>x2D.a1x2

方法一 以兩物體及彈簧組成的整體為研究對象，豎直向上運動時，F-（m1+m2）g=（m1+m2）a1；沿水平桌面運動時，F=（m1+m2）a2，比較兩式可得：a1

解得：x1=x2=m2Fk（m1+m2），所以B項正確.

方法二 由本文所述結論T=mFm+M直接知

Fk=m2F（m1+m2）， 可輕易得出圖5中兩彈簧的拉力是相等的，又因兩彈簧勁度系數相同，所以伸長量應當是相等的，從而排除C、D答案，又由整體法可知道

a1

由上兩種方法對比不難看出，用結論解題快捷，省去了繁瑣推理過程.

其實，高中物理解題時，特別是學生在考場應試時，為了贏得考試時間，可以適當記住一些有用的物理二級推論.如在解平拋運動或類平拋運動問題時可巧用tanα=2tanθ，其中α為速度偏角，α為位移偏角；又如在解電磁感應的試題中通過導體的電荷量時，可用二級結論q=nΔΦR導引思路以便最快地聯系已知量和未知量，從而快速解.總之，只要準確記住各二級結論的使用前提條件，學生應試時巧用二級結論可以起到事半功倍的效果.