一道電源輸出功率變化問題的七種解法

張洪明

題目 （2014浙江東陽市高三模擬第15題）

兩電源電動勢分別為E1，E2（E1>E2），內阻分別為r1，r2.當這兩個電源分別和一個阻值為R的電阻連接時，電源輸出功率相等.若將R增大到R′，電源輸出功率為P1，P2則

A.r1P2

C.r1>r2，P1r2，P1>P2

分析 由題目已知條件可得

I0=E1R+r1=E2R+r2 （1）

即E1E2=R+r1R+r2>1r1>r2， 所以答案在C，D中選擇，當R增大到R′時，

I1=E1R′+r1，I2=E2R′+r2.因此，不能直接判斷出I1與I2的大小關系，所以不好選擇了.

解 比值比較法

令P1=（E1R′+r1）2×R′，P2=（E2R′+r2）2×R′ （2）

則P1P2=（E1E2）2（R′+r2R′+r1）2=（E1E2）2（1+r2-r1R′+r1）2，

令y=1+r2-r1x+r1，當x=R時，y=1；r2-r1<0（3）

此函數為增函數（由y=kx，k>0減函數，k<0為增函數推出）

所以，當R′>R時，P1P2>1，即P1>P2，答案選擇D， 同理可以推出R′

點評 此方法是根據題目中的問題是比較功率大小，所以回憶起數學中常用的比較方法有比值比較法，此方法利用了數學中函數的函數知識（增函數與減函數），根據初始時P1=P2時的結論進行演算推理，其中判斷函數的增減性是關鍵性步驟.

解2 差值比較法

P1-P2=（E1R′+r1）2×R′-（E2R′+r2）2×R′ （4）

由（1）、（2）、（4）式可得

P1-P2=E21R′（RR′+r1R′+r2R+r1r2）2-E21R′（RR′+r2R′+r1R+r1r2）2[（R′+r1）（R′+r2）（R+r1）]

（5）

r1>r2，R′>R

由（r1-r2）R′>（r1-r2）R，

即RR′+r1R′+r2R+r1r2>RR′+r2R′+r1R+r1r2 （6）

由（5）、（6）式可得P1-P2>0P1>P2， 結論同上.

點評 此方法也是比較法中常用的差值比較法，此方法中進行的推理計算過程比較復雜，然后根據已知條件聯系到比較的表達式進行變化是此方法的難點，此方法思路簡單清晰計算復雜.

解3 導數的幾何意義法

函數的一階導數表示函數在這點切線的斜率，因此如果函數f（x）的一階導數大于零，則f（x）為增函數，如果函數f（x）的一階導數小于零，則f（x）為減函數，如果函數f（x）的一階導數等于零，則f（x）有極值.

令R=x，由（1）、（2）式子得

f（x）=p1P2=（E1E2）2（x+r2x+r1）2 （7）

對（7）式自變量x求一階導數得

f ′（x）=p1P2=（E1E2）2（r1-r2）（x=r1）2 （8）

因為r1-r2>0，所以f ′（x）>0，函數為增函數.

當x=R時（7）式等于1，所以x=R′>R時（7）式p1P2>1P1>P2，結論同上.

點評 利用此方法需要兩個數學基礎，一是要知道函數某一點導數的幾何意義即表示某一點切線的斜率；二是要熟練掌握求導函數的相應數學公式和求導法則.此方法比較巧妙的將數學的導數與增減函數應用到解決物理實際問題當中，是應用數學知識解決物理問題的典范.

解4 畫曲為直法

由閉合電路歐姆定律I=ER+r可知I與R非線性變化，兩側同時取倒數有

1I=RE+rE （9）

由（9）式可得當R′=R+ΔR（ΔR>0）時，對兩個電源分別應用（9）式有

1I1=R+ΔRE1+r1E1=ΔRE1+R+r1E1

1I2=R+ΔRE2+r2E2=ΔRE2+R+r1E2 （10）

由（1）、（10）和E1>E2可以推出I1>I2， 此時P1=I21× R′>P2=I22×R′.

即P1>P2，結論同上.

點評 此方法十分巧妙的利用了題目中的初始條件，將本來無法直接判斷的曲線問題轉化為直線問題來解決，畫曲線為直線的方法是解決物理問題中經常使用的方法.特別是設后來的電阻R′+R+ΔR（Δ>0） 將本來無法比較的問題變得十分容易比較.

解5 U-I圖象法

根據閉合電路歐姆定律E=U+Ir變形可以得

U=-rI+E （15）

將U看成I的函數可知是線性變化關系，圖象的斜率的絕對值代表內阻，圖象的截距代表電源電動勢.而外電阻滿足U=IR在同一個坐標系中將兩個函數同時畫出來，由（15）式可知得U=-r1I+E1，U=-r2I+E2，U=IR，滿足P1=P2初始條件點就是兩個函數的交點狀態，外電阻的大小由U=RI直線的斜率來表示，根據題意后來電阻R′>R與兩個電源的交點就分別代表了此時的狀態，由圖1直接可以看出后來電流關系為I1>I2，路端電壓關系為U1>U2，則關系P1=U1I1>P2=U2I2，即當R′>R時，有P1>P2，結論同上.

點評 此方法是將教材中熟悉的知識（測電源電動勢與內阻試驗數據處理知識）遷移到具體的情景之中，用此方法需要對U=-rI+E對應的U-I圖象的物理意義掌握的十分清楚，對于圖象中的外電阻U=RI 在同一圖象中構建出來是解決問題的關鍵步驟.同時對于圖象中的電源內阻是斜率的絕對值要掌握，外電阻消耗的功率就是矩形的面積.

解6 功率圖象法

由P=（ER+r）2R=E2R+r2/R+2r

（11）

是高中常見的電源輸出功率公式對應函數關系為

f（x）=E2x+r2/x+2r

當x=r時，電源輸出電功率最大為P=E2/4r，對應的函數圖象為圖2所示.要滿足初始條件功率相等也就是函數

P1=E21R+r21/R+2r1P2=E22R+r22/R+2r2 （12）

對應兩個函數有交點，同時由于r1>r2所限制，所以兩條曲線相交的交點只能存在三種可能就是如圖3所示A，B，C三個點，無論哪種情況，在取R'>R時總有P1>P2結論同上.

點評 此方法是從我們熟悉的電源輸出功率問題進行討論，要知道電源輸出功率最大時，就是當外電阻（外電路是純電阻）等于電源內阻時，同時要知道函數圖象的變化趨勢，從極限分析可以知當R=0時，電源電路輸出功率等于零（相當于短路），R=+∞時，輸出功率也是零（相當于斷路），當外電阻等于電源內阻時，有最大值.這樣變化趨勢圖自然就畫出來了，同時兩曲線有一個交點（R>0時），結論就一目了然了.

解7 電流圖象法

由（1）式可得當功率相等時外電阻的阻值為

R=E2r1-E1r2E1-E2 （13）

令E1=4V，E2=3V，r1=2Ω，r2=1Ω，

代入（13）式可以得到 R=2Ω

由閉合電路歐姆定律 I=ER+r （14）

可知I與R非線性關系，代入以上數據可以得到 i1=E1R+r1=1A

同理 I2=E2R+r2=1 A

當R=1Ω和R=3Ω分別代入（14）式計算得到對應的電流值分別為I1′=0.8A，I1″=1.33A，

I2′=0.75A， I2″=1.5A.

根據以上數據定性畫出電流隨電阻變化趨勢圖（圖4），從圖象分析可知，當R′>R時I1>I2總有P1>P2 結論同上.

點評 此方法屬于特殊值檢測法，實際上所取得電阻的初始值滿足題目中要求，然后通過定量計算來分析那個答案是最可能的，由于學生知道反比例函數的圖象是減函數，所以結合題目條件可以選擇特定的點來作圖解決問題，體現的是作圖法與特殊值相互結合來解決物理問題.