用“阻抗變換”分析2016年高考物理變壓器問題

李志雄

變壓器是中學物理中的熱點和難點問題，各種文獻和復習材料也較多，概括其所總結的求解理想變壓器問題基本思路有：（1） 通過變壓器原、副線圈的磁通相等；（2）變壓器的輸入功率與輸出功率相等；（3）由上述二點推得的原、副線圈的電壓關系，電流關系.

但分析變壓器問題還有一種教輔中鮮有提及的思路：原副線圈電路中負載電阻的等效關系， 2016年全國卷Ⅰ高考物理第16題正適合采用此思路.

1 理想變壓器原副線圈電路中負載電阻的等效關系

在交流電路中，理想變壓器除了有改變電壓、電流的作用外，從等效思想的角度看，還有變換負載阻抗的作用，以下簡稱阻抗變換.

如圖1，假設理想變壓器原副線圈的匝數比n1n2=k， 接在副線圈的電阻為R，不妨把變壓器和副線圈的負載看成一個“黑箱”，這個黑箱僅露出二個接線端a和b，測得當加在其兩端的交流電有效電壓是U1時，流經兩端的有效電流是I1，則有：

Rab =U1I1=kU2I2k=k2U2I2=k2R

顯然，當U1、I1變化時，上式總成立，故可把這個“黑箱”看作大小為k2R的電阻.

說明1 變壓器的初、次級阻抗比等于初、次級匝數比的平方，對于升壓變壓器，k<1，起縮小阻抗作用，對于降壓變壓器，k>1，起放大阻抗作用.

說明2 實際應用中，阻抗變換常用于在電子線路實現阻抗匹配.而在有關高中變壓器習題的解答中，可利用阻抗變換，把一些含理想變壓器的電路問題，等效轉換為高中生常見的純電阻電路來分析.

2 解題應用

例1 （2016年全國卷Ⅰ高考理綜第16題）一含有理想變壓器的電路如圖2所示，圖中電阻R1、R2和R3的阻值分別為3Ω 、1Ω 、4Ω，A為理想交流電流表， 為正弦交流電壓源，輸出電壓的有效值恒定.當開關S斷開時，電流表的示數為I；當S閉合時，電流表的示數為4I.該變壓器原、副線圈匝數比為

A.2 B.3 C.4 D.5

解析 本題涉及的是副線圈電路中阻抗變化對原線圈電路中電流的影響，若由原副線圈電壓電流的關系去分析顯得隱晦復雜.設變壓器原副線圈匝數比為k，利用阻抗變換，去掉變壓器，開關閉合前后的等效電路如圖3.

開關S斷開時有：U=I[R1+k2（R2+R3）]，

代入數值，U=I（3+5k2）

開關S閉合時有：U=4I（R1+k2R2），

代入數值，U=4I（3+k2）

將兩式相比消去U、I得：k2=9，故k=3，選B.

例2 已知交變電源電動勢有效值為E=4 V，內阻為r=1 Ω，經過變壓器給電阻為R=16 Ω的負載供電，可通過調整原副線圈的匝數比使負載R獲得的功率變化， 求負載R上能獲得的最大功率和獲得最大功率時原副線圈的匝數比.

解析 設原副線圈的匝數比為k，利用阻抗變換，去掉變壓器，相當于直接接上阻抗為k2R的負載，等效電路如圖4.

由于在純電阻電路中，交流電壓和交流電流的有效值與電阻之間關系同直流電路類似，可應用全電路歐姆定律中推論：當內阻與負載大小相等時，負載的功率最大，即r=k2R，求得k=rR=14.

此時等效負載與內阻同為1 Ω，等效電路電流I=E2r=2A，負載功率P=I2k2R=4W.

例3 如圖5所示，輸出變壓器的副線圈繞組有中央抽頭，以便接負載阻抗為8 Ω或3.5 Ω的揚聲器，為了使兩者都能達到阻抗匹配，求副線圈繞組中兩部分線圈的匝數之比n2n3.

解析 利用阻抗變換，依題意有：

（n1n3）2·3.5=（n1n2+n3）2·8，

消去n1，展開后有：

7n22+14n2n3-9n23=0，

兩邊同除以n23得：

7（n2n3）2+14（n2n3）-9=0

利用二次方程求根公式得：

n2n3=47-77≈12