分析2016年高考

馬靖恬

所謂“細繩連接體”就是指兩個或多個物體通過不可伸長的細繩相互連接、物體與物體之間的運動狀態相互關聯的系統.由于“細繩連接體”問題涉及的知識面廣，能夠全面考查學生的綜合能力，因而備受高考命題老師的的青睞，近年來在各地的高考試題中有著很高的出現幾率.

1 功能分析法的基本思路

對于“細繩連接體”問題的處理方法，一般有兩種，即整體法和隔離法.整體法就是將兩個或兩個以上的物體看成一個整體來分析，該方法只考慮系統之外的物體對系統的作用力，而不考慮系統內部物體之間的相互作用力.隔離法就是將所研究的系統內各個物體隔離出來作為研究對象，分別進行受力分析，以確定其運動過程的方法.隔離法對隔離出來作為研究對象的物體進行受力分析時，通常只考慮該研究對象以外的物體對該對象的作用力，而對于該對象對其他物體的作用力不考慮.

然而，在很多情況下，“細繩連接體”運動時會導致各物體位置高低的變化、摩擦損耗及速度的改變等，這些過程往往會造成整個“細繩連接體”能量的變化，因此，對于“細繩連接體”問題，注意抓住系統運動過程中能量變化關系，運用功能分析法來處理，往往能化難為易，有助于問題的解決.具體來說，從能量守恒角度來看，做了多少功，就有多少的能量發生轉化，因此，對于整個系統而言外力所做的功，等于體系總能量的改變量，即有：

W外=ΔE總=Q+ΔEP+ΔEk （1）

其中Q為摩擦損耗發熱，可表示為Q=f摩·s，ΔEP為系統勢能的改變量，可包括重力勢能、彈性勢能等，ΔEk為系統動能的改變量.下面我們通過實例對功能分析法在“細繩連接體”問題中的應用進行闡述.

2 典型案例應用分析

例1 （2016年高考全國理科綜合卷24題）如圖1所示，兩固定的絕緣斜面傾角均為為θ，上沿相連.兩金屬棒ab（僅標出a端）和cd（僅標出c端）長度均為L，質量分別為2m和m；用兩根不可伸長的柔軟輕導線將它們連成閉合回路abdca，并通過固定在斜面上沿的兩光滑小定滑輪跨放在斜面上，使兩金屬棒水平.右斜面上存在勻強磁場，磁感應強度大小為B，方向垂直于斜面向上.已知兩根導線剛好不在磁場中，回路電阻為R，兩金屬棒與斜面間的動摩擦因數均為μ，重力加速度大小為小為g.已知金屬棒ab勻速下滑.求（1）作用在金屬棒ab上的安培力的大小；（2）金屬棒運動速度的大小.

解法一（隔離法） （1）對金屬棒ab進行受力分析，可知金屬棒ab受到的力有重力2mg、

斜面的支持力N1=2mgcosθ、摩擦力f1=μN1=2μmgcosθ、柔軟輕導線的拉力T及安培力F作用，因金屬棒ab勻速下滑，由平衡條件可知沿平行斜面方向有：

2mgsinθ=μ2mgcosθ+T+F （2）

同樣，對金屬棒cd受到的力有重力mg、斜面的支持力N2=μmgcosθ、摩擦力f2=μN2=μmgcosθ、柔軟輕導線的拉力T，從而沿平行斜面方向有：

mgsinθ+μmgcosθ=T （3）

聯立（2）、（3）式得作用在金屬棒ab上的安培力

F=mg（sinθ-3μcosθ）.

（2）根據安培力公式：

F=BIL=B2L2vR （4）

可得金屬棒ab的運動速度為：

v=mgRB2L2（sinθ-3μcosθ） （5）

解法二（功能分析法） （1）把安培力F視為外力，假設金屬棒ab經過一定的時間沿斜面勻速下滑的長度為x，由于金屬棒ab、cd都做勻速運動，系統動能不發生改變，因此只需考慮摩擦損耗及重力勢能的改變量，設初始時整個系統的勢能為零，金屬棒ab勻速下滑的x的長度時，其重力勢能減小了2mgsinθ·x，而金屬棒cd的重力勢能增加了mgsinθ·x，同時考慮到安培力F沿斜面向上，安培力做負功，故有：

W安培力 =-F·x

=f1·x+f2·x+mgsinθ·x-2mgsinθ·x （6）

易知安培力F=mg（sinθ-3μcosθ）.

同理可得金屬棒ab的運動速度為：

v=mgRB2L2（sinθ-3μcosθ） （7）

可見，采用功能分析法求解“細繩連接體”有時可以大大簡化過程，快速解決相關物理問題.

例2 由光滑豎直桿、不可伸長的輕繩、輕彈簧、理想滑輪、質量分別為m1、m2的滑塊P和Q組成如圖2所示裝置.彈簧的勁度系數為k，自然長度等于水平距離BC，滑塊Q與桌面間的摩擦因數為μ，最初滑塊P靜止于A點，且AB=BC=h，繩已拉直.現令滑塊P落下，求滑塊P下落到B處時的速度.

解 視重力為外力，利用功能分析法進行處理.假設滑塊P下落到B處時的速度為v，彈簧處于自然長度時彈性勢能等于零，則滑塊由A下落到B處的過程中，系統的摩擦損耗為μm2gh，動能增量為12（m1+m2）v2，彈性勢能減小量為12k（Δl）2，其中Δl為彈簧在A點時比原長的伸長量，故重力所做的功：

W重力 =m1gh=μm2gh+12（m1+m2）v2-12k（Δl）2 （8）

易知Δl=AC-BC=（2-1）h，故有：

v=2（m1-μm2）gh+kh2（2-1）2m1+m2 （9）

3 結語

近年來，“細繩連接體”問題備受高考命題專家的關注，因此探討除了常規的整體法和隔離法之外的方法是非常有意義的.通過上面兩則典型案例可以發現，應用功能分析法解決“細繩連接體”問題，重點在于把握整個系統的外力做功及能量變化關系，通過考慮整個系統在某個外力作用下運動狀態的改變而引起的動能、勢能的變化及摩擦損耗，構建能量變化關系式，從而可以化難為易，快速解決相關問題.