用等比數列對秒針分針相遇問題再探討

徐飛翔

在輔導資料中有這樣一道題：

一般指針式鐘表中的時針、分針與秒針都可視為勻速轉動，分針與秒針從第一次重合至第二次重合，中間經歷的時間為

A.1 min B. 59/60 min C. 60/59 min D.61/60 min

解析 本題是一道經典的圓周運動的追及問題.常規思路是秒針再次和分針重合，必定秒針比分針多轉了一周即2π弧度，設秒針的角速度為ω1 分針的角速度為ω2，ω1=2π1min-1 ，ω2=2π60min-1 . 由圓周運動的追及條件，列方程得：（ω1-ω2）t=2π，則得

t=6059min. 故答案為：C.

這種解法比較常規，在有的物理類期刊中，也有介紹圓周運動的追逐和相遇問題，這里就不再贅述.

而上述習題在該資料中所給的答案是這樣分析：秒針轉動一周回到原出發位置的時間是1分鐘，但此時分針也向前轉動了一分鐘（160圈），秒針要跟分針再次重合，需要繼續前進一格（160圈），故D正確.

顯然第一種解法是沒有問題的.為什么兩種解法的結果不同呢？那么第二種解法的錯誤原因何在？這里我們對本題輔導資料中所給的答案重新分析，來探究其中的問題.

本題可以運用數學歸納的方法來分析.我們先來進行邏輯推理，分針轉一周要60分鐘，秒針轉一周需要時間1分鐘.也就是說從重合處出發再經過1分鐘秒針回到原位置，而分針已經從原位置前進了160周，秒針再用160分鐘前進160周，而分針又前進了1602周，秒針再用1602分鐘前進1602周，依次遞推，當分針前進160n周時，秒針再往前追160n周用時間160n分鐘，直到重合為止.由此可知，秒針追上分針所用的總時間為：

t=1+160+1602 +1603+…+160n（單位：min）這里n→∞. 觀察此表達式可知，此表達式為等比數列求和，聯系等比數列求和的通項公式Sn=a11-qn1-q；這里a1=1， 公比q=160，即得：t=a11-qn1-q ，代入數據：t=1×1-160n1-160 ；當趨近于無窮大， t=6059min.

總結：該輔導資料上所給的答案，只考慮到秒針轉動一周，分針跟進六十分之一圈的情況，而沒有繼續向下考慮，秒針跟進，分針繼續轉動的情況，從而導致錯誤結論.在本題中根據實際情況，結合數學知識，進行遞推、分析、歸納得出規律，然后，利用等比數列，列出方程，得到結論.在物理習題教學中抓住問題的生成，擇機滲透數學知識，促進物理與數學知識的融合，對于培養學生的綜合思維能力，不同學科的整合能力，為學生的能力發展提供思維的空間.可以把上述問題繼續拓展，發展學生的思維.

拓展1 若上述問題中，秒針與分針從重合時計算，到秒針與分針夾角成π弧度時，需多長時間呢？

分析 若仍用第一種解法，結合圓周運動的追及相遇問題的思想，則有（ω1-ω2）t=π，則得

t=12×6059min=3059min.

那么，運用第二種方法如何分析呢？可以這樣來思考，秒針和分針都是均勻的勻速轉動，從重合時開始，轉到夾角為π時，應該為從重合時開始到再次重合（即夾角為π時）所用的時間的一半.仍然由前面的等比數列公式求得時間，乘以1/2即可.

下面我們把前面的問題拓展到任意的情況.

拓展2 若上述問題中，秒針與分針從重合時計算，到秒針與分針夾角成θ弧度時，需多長時間呢？

分析 若仍用第一種解法，結合圓周運動的追及相遇問題的思想，則有（ω1-ω2）t′=θ，

則得：

夾角）的勻速直線運動，所以x=v真實 cosθt.

豎直方向為豎直上拋或豎直下拋運動，仍是勻變速直線運動，所以yBC -yAB =gT2.兩式聯立得

v實際 =xcosθByBC -yAB .

由此可見無論是斜上拋還是斜下拋測量值均偏小.

2 完整軌跡

2.1 斜下拋時

在軌跡上任取一點，其橫、縱坐標分別為x，y（圖2）.

理論上：水平方向為v0的勻速直線運動，所以

x=v測量 t.

豎直方向為自由落體運動，所以y=12gt2.兩式聯立得

v測量 =xB2y.

實際上：水平方向為v0cosθ （θ是v0與水平方向夾角）的勻速直線運動，所以

x=v真實 cosθt.

豎直方向為豎直下拋運動，所以

y=v實際 sinθt+12gt2.

兩式聯立得

v實際 =xg2ycos2θ-xsin2θ，

比較上述兩個結果可得測量值偏小.

2.2 斜上拋時

理論上：水平方向為v0的勻速直線運動，所以

x=v測量 t.

豎直方向為自由落體運動，所以y=12gt2.

兩式聯立得v測量 =xg2y.

實際上：水平方向為v0cosθ（θ是v0與水平方向夾角）的勻速直線運動，所以x=v真實 cosθt.

豎直方向為豎直上拋運動，所以

-y=v實際 sinθt-12gt2.

兩式聯立得

v實際 =xg2ycos2θ+xsin2θ，

當2ycos2θ+xsin2θ>y即xy>tanθ時測量值偏大，當2ycos2θ+xsin2θ

由于我們初速度的測量是通過v0=xt進行計算的，其中x是水平位移，t是通過豎直運動的測量計算得出.在利用不完整軌跡求時間時無論是平拋、斜上拋還是斜下拋，由于豎直運動都是勻變速直線運動所以都可以用yBC -yAB =gT2求，水平位移x除以時間得到的是水平速度，所以和初速度比一定偏小；在利用完整軌跡求時間時理論上是用自由落體運動求，但實際上在斜下拋運動中由于具有向下的分速度所以由自由落體運動求出的時間偏大，這樣求出的速度小于水平分速度，更小于初速度，所以也是一定偏小；在斜上拋運動中由于具有向上的分速度所以用自由落體求出的時間偏小，這樣求出的速度大于水平分速度，但不一定大于初速度，

當xy>tanθ時測量值偏大，此條件下由于運動的時間短時間測的誤差大，使結果偏大，當xy

綜上可以發現三種情況有三種不同的結論：第一種情況下測的就是水平速度，第二種情況下測的不是水平速度但一定比水平速度小，第三章情況下測的不是水平速度但比水平速度大，而對應的結論是前兩種情況下一定偏小，第三種情況下可能偏大也可能偏小.由此可見殊途未必同歸.例如在探究彈簧彈力與彈簧伸長量的關系時，如果忘記減彈簧原長了，在利用F=kx計算k值時結果會偏小，而利用F-x圖象的斜率求就不受影響，同樣在利用單擺測定當地重力加速度的實驗中忘記測小球半徑，不同的數據處理方法會有不同的結果.所以我們一定要明確實驗原理，明確理論上如何計算，實際上應該如何計算，然后進行對比，做到實事求是.殊途不能同歸，但同樣能做到加深學生對所學知識的深刻理解、鍛煉學生思維的廣闊性和深刻性、靈活性.