分類討論思想在數學教學中的應用

江蘇省鹽城交通技師學院 (224000)

沈桂蘭●

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分類討論思想在數學教學中的應用

江蘇省鹽城交通技師學院 (224000)

沈桂蘭●

分類討論作為一種邏輯方法，是一種重要的解題策略，通過分類討論，可以將問題化難為易，便于學生理解數學問題，使問題得到解決.本文對此進行了分析研究.

分類討論；數學；教學；應用

一、分類討論思想在函數中的應用

函數是數學學習階段最重要的知識，也是難度最大的知識，學生理解和掌握的難度比較大.無論是在教學階段還是復習階段，對函數的教學展開都比較困難.教師在進行函數教學的時候，結合函數的特點，適當發揮出分類討論思想的重要作用，讓學生掌握分類討論的解題方法，就可以讓學生掌握解題技巧，將函數化繁為簡，為學生理解和掌握函數知識提供充分的保障.

例題1 某商場推出兩種優惠方法，甲種方法：購買一個書包贈送一支筆；乙種方法：購買書包和筆一律按九折優惠，書包20元/個，筆5元/支，小明和同學需購買4個書包，筆若干(不少于4支).(1)分別寫出兩種方式購買的費用y(元)與所買筆支數x(支)之間的函數關系式；(2)比較購買同樣多的筆時，哪種方式更便宜.

教師先提示學生用一次函數知識解答數學問題，根據一次函數的特點，以及題目中“甲種方法”和“乙種方法”學生確定用分段函數的思想解答數學問題.其解題過程為：

解 (1)由題意，得y甲=20×4+5(x-4)=5x+60，y乙=90%(20×4+5x)=4.5x+72.(2)由(1)可知當y甲>y乙時5x+60>4.5x+72，解得：x>24，即當購買筆數大于24支時，乙種方式便宜．當y甲=y乙時， 5x+60=4.5x+72 解得：x=24，即當購買筆數為24支時，甲乙兩種方式所用錢數相同即甲乙兩種方式都可以．當y甲

由此可見，函數本身就包含分類討論思想，在解決函數相關問題的時候，教師引導學生正確運用分類討論思想解決數學問題，就可以迅速找出解題方法和解題思路，從而正確解答出數學問題.

二、分類討論思想在排列組合中的應用

能否靈活運用所學知識解答實際問題，是關系學生學習水平能否迅速提高的關鍵性因素.數學解題實踐應用中，發現大部分學生都不能靈活運用所學知識解決實際問題，使得解題目標難以實現，對提高學生的數學水平也形成了不利影響.排列組合是數學知識中既簡單又繁雜的數學知識，學生理解難度比較小，但解題中需要注意的細節比較大，學生把握好各個細節問題，才能正確解答出數學問題.以教師引導學生學習習題2為例：

例題2 某條鐵路線上，包括起點和終點在內原來共有7個車站，現在新增了3個車站，鐵路上兩站之間往返的車票不一樣，那么，需要增加多少種不同的車票？

由于題目中的限制條件比較大，要確保答案的完整性和準確性，需要學生用分類討論的方法解決數學問題.

方法二：1.新站為起點，舊站為終點有3×7=21種，2.舊站為起點，新站為終點有7×3=21種，3.起點、終點均為新站有3×2=6種，以上共有21+21+6=48種.

由此可見，學生結合所學知識，靈活運用分類討論思想，就可以正確解答出數學問題.同時，學生掌握分類討論思想，可以讓學生對數學問題的思考更加全面，有利于確保解題的準確性和可靠性.

三、分類討論思想在數列中的應用

分類討論思想在數列中的應用也比較廣泛，數列主要分為等差數列和等比數列，在解決數列相關數學問題的時候，通常都會對不少于兩種情況進行分類討論，最后將答案集合起來，根據題目的要求，最終確定正確答案.

例題3 數列{an}的前n項和記為Sn，a1=1，an+1=2Sn+1(n≥1).(1)求{an}的通項公式；(2)等差數列{bn}的各項為正，其前n項和為Tn，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比數列，求Tn．

解 (1)因為an+1=2Sn+1，所以an=2Sn-1+1(n≥2).將①②兩式相減得an+1-an=2an，即an+1=3an(n≥2)，又因為a2=2S1+1=3，所以a2=3a1，故{an}是首項為1，公比為3的等比數列,∴an=3n-1．

(2)設{bn}的公差為d，由T3=15，可得b1+b2+b3=15，可得b2=5，故可設b1=5-d，b3=5+d.又因為a1=1，a2=3，a3=9，并且a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比數列，所以可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2，解得d1=2，d2=-10.∵等差數列{bn}的各項為正，∴d>0，∴d=2，∴Tn=n2+2n.

由此可見，將分類討論思想滲透到數學教學中，使學生掌握并靈活運用分類討論思想解決實際問題，就可以為學生迅速明確題意，找出解題方法，進而為解答出數學問題提供充分的保障.

[1] 果宏宇. 數學中的分類討論思想[J]. 數學學習與研究，2012(17)

[2] 江寶龍. 例說分類討論思想在數學新教材習題中的滲透[J]. 考試周刊， 2012(21)

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