對易拉罐的優化設計研究

向國銳

(成都七中實驗中學，四川 成都 610000)

S1=πr2,S2=πr2,S3=2πrh

S=S1+S2+S3

S=2πr2+2πrh

minS=2πr2+2πrh

V2=V3=2πr2a

V材=V1+V2+V3=2πrha+8πra2+hπa2+4πa3+4πr2a

V材≈V=2πrha+4πr2a

minV=2ahπr+4aπr2

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對易拉罐的優化設計研究

向國銳

(成都七中實驗中學，四川 成都 610000)

本文考慮了生活中已知容積(體積)的易拉罐材料最省問題，在容積不變的情況下，分別討論了易拉罐材料的表面積以及體檢的最優模型。利用極值存在原理，通過求導數的方法，分別給出了在不同情形下的易拉罐最優設計，同時得到用料最少時罐體的高與半徑的關系。

容積；設計；易拉罐

1 問題介紹

在生活中隨處可見的如加多寶、王老吉、可口可樂等易拉罐飲料，如果我們仔細觀察，發現他們的形狀大小極其相似,皆大體是一個直圓柱形狀。那么為何規格也極其相似，我將就此形狀建立相應的數學模型來說明材料最省的規格，給出優化方案。

2 模型的建立與求解

2.1 易拉罐的體積測量

選啤酒罐(罐上標量355毫升)作為材料，測量其真實容積，為了避免一次測試造成的人為誤差，多次測量并求平均值作為最終容積。

將啤酒罐裝滿水后倒入500毫升量筒內，平視液面凹處并讀數。重復上述操作十次，記錄每次的讀數，數據如表1所示。算出十次測量的平均值作為最終容積。

表1 啤酒罐容積的10次測量數據

求十次測量平均值并作為真實體積，得到容積平均值為364.95毫升。為了便于計算，下面將罐體容積按V0=365毫升進行計算。

2.2 易拉罐模型的建立與求解

易拉罐的上下底面可近視為圓面，側壁是平滑的柱形，其底面與側壁連接處的卷邊以及上底面的拉環等小技巧設計所用的材料統統忽略，即把該易拉罐形狀假設為圓柱體，只考慮構成這圓柱體所用的材料，并以此建立模型求出最優時的解。

2.2.1 忽略厚度的圓柱體模型的建立與求解

假設圓柱體各個面的厚度相同，并將厚度忽略不計。此時，設圓柱體高為h,底面半徑為r，表面積為S(如圖1所示)。圓柱體表面積大小即所用材料多少。

圖1 忽略壁面厚度的罐體圓柱體模型

設S1,S2代表上下底面面積，S3代表側面面積，則有

S1=πr2,S2=πr2,S3=2πrh

因為圓柱體的表面積為上、下底面面積和側面面積之和，即

S=S1+S2+S3

故有，

S=2πr2+2πrh

從而得到在容積一定的情況下，表面積的優化模型為

minS=2πr2+2πrh

(1)

為了求解上述優化模型，先從(2)式中求得

(4)

將(4)式帶入(1)式中，得

(5)

解得

(6)

將r的取值帶入(4)式，得到

(7)

2.2.2 計入圓柱體厚度的模型建立與求解

在實際中圓柱體各面厚度并不相同，上下兩底面厚度基本相同且大于側壁的厚度,通過對易拉罐的實際測量,管壁厚度約為0.1毫米，罐蓋和罐底的厚度是其他部分厚度的2倍左右。設側壁厚度為a,上下兩底面厚度為2a。圓柱體內部空間高為h,圓柱體內半徑為r，易拉罐所用材料體積為V材(如圖2所示)，易拉罐所用材料的體積V材大小即材料的用量。

圖2 考慮壁面厚度的罐體圓柱體模型

V1代表考慮厚度后易拉罐側壁的材料體積，V2，V3分別代表罐頂蓋和罐低的材料體積，則有

V1=[π(r+a)2-πr2](h+4a)=2πrha+8πra2+hπa2+4πa3

(8)

V2=V3=2πr2a

(9)

用，可得易拉罐所用材料的體積

V材=V1+V2+V3=2πrha+8πra2+hπa2+4πa3+4πr2a

(10)

因為壁面厚度a相對于罐體半徑r很小，因此(10)中的含有a2,a3的項可以忽略，得到

V材≈V=2πrha+4πr2a

從而得到在容積一定的情況下，所用材料體積的優化模型為

minV=2ahπr+4aπr2

(11)

類似于模型(1),(2)和(3)的求解，從(12)中求得，

(14)

將(14)帶入(11)中，并利用極值原理求解，得到方程

(15)

求解(15),得到

(16)

將(16)帶入(14)可得

(17)

[1] 徐茂良,鄧啟良,劉睿,鄭波.易拉罐形狀和尺寸的最優設計模型[J].成都大學學報(自然科學版),2008,27(2):105-108

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