呼吸性橢圓裂紋轉子彎曲剛度模型

劉 政， 王建軍

(北京航空航天大學 能源與動力工程學院，北京 100191)

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呼吸性橢圓裂紋轉子彎曲剛度模型

劉 政， 王建軍

(北京航空航天大學 能源與動力工程學院，北京 100191)

通常轉子軸上的疲勞裂紋為橢圓形尖端，而國內外現有文獻大多關注直裂紋轉子，很少對橢圓裂紋呼吸行為建立模型。提出了新的圓柱軸橢圓裂紋呼吸模型，修正中性軸位置確定裂紋張開面積，并基于裂紋應變能計算出橢圓裂紋附加柔性系數，建立了該類裂紋轉子彎曲剛度模型。進一步，與文獻和有限元結果進行對比，裂紋呼吸規律完全符合，裂紋附加柔度、轉子無量綱撓度滿足計算要求，驗證了該模型有效可行。

裂紋轉子；橢圓裂紋；呼吸性；彎曲剛度

航空發動機等旋轉機械轉子系統的轉軸處于彎曲、拉伸、剪切交變載荷復雜作用下，若材料有微小缺陷，或長期高負荷工作，就可能萌生裂紋，進而擴展成疲勞裂紋。出現裂紋后，轉子系統的動力響應和穩定性發生變化，結構強度也偏離設計狀態。如果裂紋不被及時發現，最終導致轉子失穩斷裂，造成災難性后果。因此，近年來裂紋轉子受到學術界和工程界高度重視。

現有文獻對直裂紋轉子動力特性研究很多。突出的有，DIMAROGONAS[1]首先基于應變能提出開裂紋附加柔性系數，研究了帶有張開的直裂紋轉子軸向與彎曲耦合振動。JUN[2]考慮應力強度因子為零劃分裂紋張開、閉合邊界，研究了呼吸性直裂紋轉子的穩態振動。DARPE等[3-4]進一步研究了直裂紋轉子系統的瞬態振動和非線性動力學特性。

然而，實際裂紋尖端通常是弧形的，(半)橢圓形尖端裂紋是較接近實況的一種弧形裂紋模型。近年來，國內外學者開始對橢圓裂紋轉軸剛度進行深入的研究。RUBIO[5]研究了完全張開裂紋的附加柔度和簡支、懸臂圓柱裂紋梁的靜撓度，并基于有限元法和實驗進行了驗證。HAN[6]進一步給出了橢圓裂紋圓軸受拉伸、彎曲作用的裂紋附加柔度。

裂紋呼吸是指在轉軸旋轉過程中，裂紋連續周期交替張開、閉合。這類情況接近真實轉子運轉的環境。在弧形裂紋呼吸機制研究方面，目前學者們多采用有限元法。KULESZA[7]采用剛性有限元(rigid finite element method)數值方法，模擬圓柱軸上裂紋的呼吸和擴展過程。ABELLA[8]基于人工神經網絡(artificial neural networks)計算了偏心軸在旋轉彎矩作用下的直裂紋應力強度因子，分析了偏心轉軸上直裂紋的呼吸機制及其對裂紋擴展的影響。RUBIO[9]采用帶橢圓裂紋轉軸有限元模型，研究了橢圓裂紋張開的面積、質量偏心角、裂紋幾何尺寸等變化關系。結果表明，裂紋在呼吸過程中，張開范圍要大于閉合范圍。

理論上的橢圓裂紋呼吸模型方面尚未有較多的關注。HAN[10]考慮裂紋呼吸性，建立了轉軸彎曲振動方程，研究了橢圓裂紋轉軸參數穩定性問題。該文獻實際上只給出轉軸彎曲方向的裂紋附加柔度，而未考慮裂紋的交叉柔度以及另一垂直方向的轉軸剛度。當橢圓裂紋較大時，交叉剛度不能忽略；當轉子發生瞬態振動時，垂直彎曲方向還有慣性力的作用。

鑒于以上原因，本文基于已有文獻研究結果，提出圓柱軸上帶有橢圓尖端的裂紋呼吸模型，并與文獻和有限元結果進行對比驗證模型有效可行，進一步根據Dimarogonas方法計算出橢圓裂紋附加柔性系數，建立橢圓裂紋轉子彎曲剛度模型。

1 呼吸性橢圓裂紋轉子剛度模型

如圖1所示，本文建立橢圓裂紋轉子剛度模型的主要思想為：① 在裂紋張開、不完整的圓柱軸含裂紋橫截面上不考慮應力集中，根據截面靜矩平衡計算中性軸位置；② 考慮到裂紋尖端應力集中，引入修正參數，修正中性軸到渦動坐標系Y′ 軸的代數距離，從而以修正后的中性軸確定裂紋張開與閉合分界；③ 在裂紋張開面積上對橢圓裂紋應力強度因子進行積分獲得Griffith應變能；④ 根據Castigliano定理將應變能對集中力求兩階偏導，得到由裂紋引起的附加柔性系數，再疊加上無裂紋圓柱軸的柔度，求出帶橢圓尖端裂紋轉子系統的剛度。以下為呼吸性橢圓裂紋轉子剛度模型的具體實現過程。

圖1 橢圓裂紋轉子剛度建模思路Fig.1 Procedure of stiffness modeling of a breathing elliptical cracked rotor

圖2 橢圓尖端裂紋軸截面幾何示意圖Fig.2 Geometric sketch of cross profile ofelliptical cracked shaft

Oξη為自轉坐標系，OX′Y′為渦動坐標系，O′ξ′η′為裂紋幾何坐標系，a,b分別為橢圓裂紋半軸長，其余符號如文中所述

將尺寸對圓半徑R歸一化后，單位圓O′方程：

ξ′2+η′2=1

(1)

描述弧形裂紋尖端的橢圓O″方程：

(2)

描述中性軸的直線DE方程：

ξ′cosβ+η′sinβ-δ=0

(3)

此時，δ為不考慮應力集中的中性軸DE與渦動坐標系O′X′Y′軸Y′的代數距離，β為渦動坐標系O′X′Y′與旋轉坐標系Oξη的轉角差(渦轉差角，whirl rotation angle difference)，即截面形心O′在旋轉坐標系中的相位角

(4)

裂紋張開區域APEA(圖2中陰影部分)表示為

(5)

裂紋Griffith應變能表示為

(6)

即在這裂紋張開面積上積分。根據材料力學理論，截面應力平衡等價于截面上未張開各點到中性軸的靜矩為零，有

?D(ξ′cosβ+η′sinβ-δ)dξ′dη′=0

(7)

其中D表示圓截面內除裂紋張開面積APEA外的區域，因此，

πδ+?Ac(ξ′cosβ+η′sinβ-δ)dξ′dη′=0

(8)

求解方程(8)得δ=δ*。

考慮裂紋尖端應力集中效應，引入修正參數ε，令

δ=(1+ε)δ*

(9)

代入式(5)中重新描述裂紋張開面積。令w=ξ′，h=1+η′，則dAc=dhdw。

根據文獻[2]，橢圓裂紋尖端P點的應力強度因子可表達為

KI=KI,ξ+KI,η

(10)

KI,ξ(a/b,a/R,w/w0)=

(11)

KI,η(a/b,a/R,w/w0)=

(12)

式中:FI,ξ采用文獻[11]的數據擬合，FI,η采用文獻[12]的研究結果。這里，

(13)

(14)

W=πR3/4

(15)

令橢圓裂紋參數短、長半軸比μ=a/b，相對深度α=a/R，點P在w方向相對位置χ(a)=w(a)/w0(a)。在裂紋局部坐標系中:

w0(a)=acosθ0(α)/μ

(16)

θ0(α)=

(17)

根據Castigliano定理，裂紋引起的附加柔性系數為

(18)

(19)

(20)

橢圓裂紋轉子系統的總柔度由無裂紋轉子柔度疊加上裂紋附加柔度，因此

(21)

當質量點位于軸正中央時，k為無裂紋軸中點處剛度，k=48EI/l3，慣性矩I=πR4/4，則轉子的剛度比

(22)

(23)

(24)

2 橢圓裂紋呼吸模型驗證

為驗證第1節提出的橢圓裂紋呼吸模型有效可行，本節首先與現有文獻的研究進行對比，然后與橢圓裂紋圓柱軸的有限元模型計算結果進行對比。

新生兒疾病篩查是早期發現某些先天性、遺傳性疾病的有效方法，隨著篩查技術的不斷進步，串聯質譜技術［1］也得到了廣泛的應用。2000年10月臺州市正式開展了新生兒遺傳代謝性疾病篩查，僅限于對先天性甲狀腺功能減低癥（congenital hypothyroidism，CH）和 苯 丙 酮 尿 癥 （phenylketonuria，PKU）進行篩查。2009年10月在原篩查病種的基礎上又開展了采用串聯質譜技術對多種遺傳代謝病篩查的工作。為了解本市新生兒遺傳代謝疾病篩查現狀，筆者特對2000年10月－2012年9月篩查情況進行了回顧性分析，現將結果報道如下。

本文取表征應力集中的修正參數ε=-0.4。圖3為橢圓裂紋幾何參數μ=0.5的中性軸與渦動軸代數距離δ隨渦轉差角β的變化曲線，其中依曲線μ=0.5，α=0.6畫出橢圓裂紋呼吸示意圖，如圖4所示。

圖3 修正后的中性軸位置變化曲線Fig.3 Position curves of neutral axis modified

圖4 本文模型裂紋呼吸行為(陰影部分表示裂紋張開區域)Fig.4 Breathing behavior of elliptical crack proposed (gray parts denote open area of crack)

對比文獻[9]關于裂紋呼吸機制的研究(圖11 balanced)，文獻計算的裂紋張開與閉合邊界為弧形，本文模型為直線。但是，裂紋呼吸的過程和基本規律完全相同。主要有：

(1) 裂紋隨渦轉差角變化而交替張開、閉合，存在半開半閉的過渡區；

(2) 在任意渦轉差角下，裂紋更傾于張開的趨勢；

(3) 在整個周期來看，完全張開范圍明顯比完全閉合范圍大，且裂紋越深越明顯；

(4) 在一個周期內，裂紋完全張開、閉合各一次，且呼吸狀態關于β=±π/2(以本文模型)軸對稱。

進一步，本文與文獻[10]計算結果進行對比。文獻[10]實質上計算的是渦動坐標系X′方向上的裂紋附加柔度。按文獻[10]的無量綱比例，根據第1節計算呼吸性橢圓裂紋在渦動系X′向的附加柔度，并與文獻[10]提出的橢圓裂紋附加柔度比較，如圖5所示。可見，兩曲線在整個周期內大致重合，但由于考慮了橢圓裂紋的交叉柔度，當裂紋接近完全閉合時，本文模型變化得更快。

圖5 本文與文獻[10]計算的裂紋附加柔性系數Fig.5 Cracked additional flexibility coefficients calculated by Han and now proposed

下面基于ANSYS實體有限元模型計算裂紋呼吸表現，驗證本文的理論模型。

建立長l=200 mm，半徑R=10 mm，正中央帶有橢圓裂紋圓柱軸實體有限元模型，如圖6所示。兩端簡支，在距離右端1/4軸長處截面中心點處加載橫向集中力載荷Q。此時，裂紋局部彎矩M=(Ql)/8，Q對軸中央中心點無裂紋剛度k=(16/11)*(48EI/l3)，如圖7所示。圖8給出了有限元模型計算的裂紋呼吸過程。分別采用有限元模型和本文提出的理論模型，計算不同方向載荷Q作用下的中央裂紋處截面中心點的位移，并除以同載荷無裂紋軸的撓度歸一化，得到橢圓裂紋軸的無量綱撓度，對比兩者隨渦轉差角的變化曲線，如圖9所示。

圖6 橢圓裂紋圓軸有限元模型及裂紋局部放大圖Fig.6 FE model of elliptical cracked shaft and partial enlarged crack detail

由圖8可見，實體有限元模型的橢圓裂紋在不同載荷作用下表現出了呼吸行為，裂紋張開范圍明顯大于閉合范圍，說明裂紋在呼吸過程中總是傾向于張開；圖9表示的本文模型與有限元模型計算結果走勢一致，裂紋張開與閉合點吻合，無量綱撓度值大范圍相同。需要說明的是，選取合適的修正參數ε值即可調節本文模型計算精度。

圖7 有限元驗證的載荷結構Fig.7 Load structure of FE model used for validation

圖8 有限元模型橢圓裂紋圓柱軸的裂紋呼吸行為(注：這里β為Q與ξ軸的夾角，黑色表示張開，白色表示閉合)Fig.8 Breathing behavior of FE elliptical crack model (Note: β denotes angle between Q and axis ξ, and black area stands for open part, white for close)

(a) 直裂紋μ=0,α=0.5(b) 直裂紋μ=0,α=1.0(c) 橢圓裂紋μ=0.4,α=0.5

(d) 橢圓裂紋μ=0.4,α=0.9(e) 橢圓裂紋μ=0.8,α=0.6(f) 橢圓裂紋μ=1.0,α=0.6圖9 本文與ANSYS計算的裂紋圓軸彎曲撓度變化曲線Fig.9BendingdeflectioncurvesofcrackedshaftcalculatedbypaperandANSYS

3 結 論

本文針對圓軸上橢圓裂紋呼吸特性，考慮了裂紋尖端應力集中效應，修正中性軸位置來建立裂紋呼吸模型；基于Dimagaranas計算裂紋附加柔度的思想，在裂紋張開面積上對應力強度因子積分得到裂紋釋放的應變能，再對集中力兩階偏導獲得裂紋附加柔性系數，疊加無裂紋轉軸柔度得到橢圓裂紋轉子受力彎曲的剛度模型。

為了檢驗本文模型的有效性，首先與參考文獻進行對比，結果表明裂紋呼吸規律相同，考慮了交叉柔度后裂紋附加柔性系數在裂紋即將閉合時變化快于文獻值；然后基于ANSYS建立了橢圓裂紋轉軸的實體有限元模型，加載不同方向載荷計算出圓軸中央的無量綱撓度，同時采用本文模型計算同載荷的無量綱撓度，兩者走勢一致，結果吻合。驗證了本文提出的裂紋呼吸模型和橢圓裂紋轉子彎曲剛度模型有效可行。

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Bending stiffness model of a breathing elliptical cracked rotor

LIU Zheng, WANG Jianjun

(School of Energy and Power Engineering, Beihang University, Beijing 100191, China)

Usually a fatigue crack on a rotor shaft has an elliptical tip, while the current literatures at home and abroad mostly focus on straight-tip crack rotors, very few articles built models to study elliptical-tip crack breathing behavior. Here, a new breathing model of an elliptical crack on a cylindrical shaft was proposed to modify the neutral axis’s position and determine crack open area. Based on the crack strain energy, the elliptical crack’s additional flexibility coefficient was calculated, and the bending stiffness model of the elliptical cracked rotor was also established. It was shown that the proposed crack’s breathing laws agree well with those of literatures and the finite element results, the crack’s additional flexibility and rotor’s dimensionless deflection both meet the requirements of computing, the effectiveness and feasibility of the model are validated.

cracked rotor; elliptical crack; breathing mechanism; bending stiffness

2015-07-10 修改稿收到日期：2015-10-24

劉政 男，碩士生，1991年生

王建軍 男，博士，教授，1956年生

TH113.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.21.029