電流變夾層振動控制和拓撲優化研究

陳春強, 陳 前

(南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京 210016)

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電流變夾層振動控制和拓撲優化研究

陳春強, 陳 前

(南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京 210016)

為電流變夾層板設計了半主動的變剛度控制算法，并對其進行了夾層結構的拓撲優化。首先，建立了電流變夾層結構的動力學模型，基于開關控制策略發展了適用于ER夾層板的模態控制算法。隨后，構造了電流變夾層結構的單階模態和綜合模態的頻率變化率為優化目標函數，再采用粒子群優化方法，以這兩個函數為目標，對結構進行了拓撲優化，并且得到了一定材料使用率限制下相應的拓撲布置構形。最后，采用變剛度控制的等效阻尼比和多種激勵下的時域響應對比兩種手段對拓撲優化的結果進行了驗證，數值算例證實了該拓撲優化結果以及變剛度控制的有效性。

電流變夾層板；模態頻率變化率；粒子群優化；拓撲優化；等效阻尼比

電流變液夾層板(Electrorheological sandwich plate，ER夾層板)是一種振動控制新型的智能結構，這種結構可實現被動(加載恒定電場或不加載電場)/半主動控制技術一體化，具有集被動控制安全、可靠和半主動控制適應性強、控制效果顯著的優點于一體，特別是半主動控制技術能在較小的能量代價下，具有優越的減振、降噪性能。最早的ER夾層結構的探索開始于CHOI等[1]。后來，YALCINTAS等[2]分析了ER夾層梁的動力學特性，討論厚度對模態損耗因子的影響。孟光等[3-4]對ER夾層梁、板結構也有相關的建模、實驗研究，分析了電場強度、厚度比等對結構特性的影響，得到了豐富的結論。近年來，YEH等[5]研究則關注了ER夾層梁、矩形板以及環形板等結構。JAFAR等[6]則討論邊界約束條件對ER夾層結構瞬態響應的影響，電場增強瞬態響應線性衰減，可見眾多的研究還是集中在試圖通過施加外場，提高結構阻尼從而達到減振的目的。

另一方面，作為一種新的智能振動控制技術，其在實際工程應用上還有幾個關鍵問題未能解決，例如適用于無限自由度系統的半主動控制算法、在材料利用率限定條件下拓撲優化等。事實上，半主動控制算法來源于主動控制策略或振動響應分析，并且在懸架機構、建筑抗震等領域已有相當的實際應用[7]，只是算法都是應用在單自由度系統，對耦合系統考慮得較少。粒子群優化(Particle Swarm Optimization Algorithm，PSO)在模式識別[8]、控制優化[9]和任務分配等優化領域得到廣泛應用，研究[8]指出相對于GA方法，PSO方法具有更快的收斂速度，從而能節約計算資源。作為一種智能優化算法，PSO方法也被用于結構的拓撲優化[10-11]。總之，對于ER夾層結構，控制算法設計和拓撲優化工作還很少見。

采用零場振型對控制系統進行解耦，在此基礎上開發了新的變剛度控制算法，并且在限定的ER材料使用率條件下進行拓撲優化。首先，基于單自由度的開關控制策略發展了適用于板的變剛度模態控制算法。隨后，基于粒子群優化方法，以電流變夾層結構的單階模態和綜合模態的變剛度性能最優為目標，對結構進行了拓撲優化，并且給出了相應的拓撲構形。最后，采用了數值方法驗證了控制算法的有用性和優化構形的合理性。

1 系統模型

如圖1所示的電流變液夾層板振動控制系統，將ER夾層處劃分為4節點7自由度單元，而無ER處劃分為4節點5自由度板單元，限于篇幅，有限元建模過程從略，得到如下的ER夾層板系統的控制方程：

(1)

式中:零電場下的復剛度矩陣K*=K1+jK2，G(E)是由外加電場強度決定的剛度變化系數陣。

圖1 電流變夾層板振動控制系統Fig.1 The orthotropic sandwich plate with an ER fluid core and a constraining layer

2 模態控制算法

2.1 算法設計準備

開關控制算法[12](Bang-Bang control，also called On-Off control)，是變剛度控制(Active Variable Stiffness，AVS)中最成熟的算法，其以位移和速度輸入，當兩者符號一致時，控制輸出為1，系統附加上剛度；否則控制輸出為零，即撤去附加剛度，從而舍棄相應的彈性應變能。從以上描述可知，變剛度控制利用是剛度實部的變化，那么可以做以下模型簡化，略去剛度的虛部，即

(2)

記Φ是K1、M的關于M歸一化了的特征向量陣，用δ=ΦQ變換上式，并兩端左乘ΦT，可得：

ΦTK1G(E)ΦTQ=ΦTF

(3)

式中:左邊兩項的系數矩陣均是對角陣，第三項系數陣ΦTK1G(E)ΦT一般而言不會是嚴格對角的，但研究[3]表明，ER夾層板結構的固有振型基本不隨電場強度變化而變化，這說明用任意電場工況下的振型進行解耦，得到的第三項系數陣也是對角占優的，略去其非對角元素，有：

(4)

式中:fi是ΦTF向量的i元素，qi(t)是近似的實模態坐標，控制中該值由Q(t)=ΦTMδ(t)獲得，其中ΦTM是控制前獲得的系統參數，δ(t)則在控制中每個采樣周期內實測而得。

在控制算法設計之前，系統相關的參數，如質量矩陣M、剛度矩陣K1以及包含主要振動能量的前p階模態的振型φ1,φ2,…,φp，應當首先獲得。那么相應階次的模態質量、模態剛度就能獲知：

(5)

(6)

2.2 模態算法

(7)

式中:Us通過式(6)獲得。

(8)

按照式(5)的分析，綜合考慮到前p階次模態的輸出要求，控制器輸出電場的綜合平均值為：

(9)

式中:Qs是權重系數向量Q中的元素。

考慮到電場強度有其邊界條件限制，即不能超過最高強度Eb且保持非負，所以半主動模態控制算法(semi-active modal control algorithm)的輸出的控制電場是：

(10)

3 拓撲優化

3.1 優化目標函數

一般地，減振結構的優化目標是明確的，阻尼比即是目標函數，但這里的優化目標是ER夾層結構在變剛度控制下具有最優的減振效果，所以首先需要構造一個目標函數。早期的變剛度控制可追溯到KOBORI[12]，之后有學者指出變剛度控制效果與變剛度變化率、固有頻率變化率的關系。用AVS控制的等效阻尼比表達其振動控制效果：

(11)

(12)

一般的，結構前幾階模態涵蓋了系統的大部分振動能量，所以考慮前n個模態，構造綜合模態頻率變化率作為拓撲優化的適應值：

(13)

式中,Q1,Q2…Qn是模態權重向量QT的元素, 可以對不同工況條件配比不同的模態權重，以利于著重體現某些模態的影響。式(12)和式(13)給出了單階和綜合模態兩種拓撲優化的目標函數。

3.2 粒子群優化

粒子群優化算法(Particle Swarm Optimization，PSO)將每個個體看成搜索空間中以速度飛行的一個微粒，由M個粒子組成的群體在D維空間中，其中第i個粒子的標準速度進化方程為：

si(t+1)=si(t)+Vi(t+1)

(14)

Vi(t+1)=λVi(t)+c1r1(Pi(t)-

si(t))+c2r2(Pg(t)-si(t))

(15)

式中,si,Vi,Pi(i=1,2,…,M) 和Pg均為D維的向量，si(t)和Vi(t)分別是i粒子的第t代的位置和速度，Pi(t)和Pg(t)分別是i粒子和群體歷史最優位置，c1和c2分別是粒子認知系數和社會系數，r1和r2是[0,1]上均勻分布的隨機數，λ是慣性權重。

3.3 ER夾層板的拓撲優化

在如圖(1)所示的ER夾層板(a×b)上布置Ng個電流變層單元，第j個單元的位置坐標為(xj,yj)，在離散坐標下xj,yj(j=1,2,…,Ng)均是自然數，相應的搜索空間為2Ng維，每個粒子代表著一種布置方案。假設粒子群的規模為M，則式(19)中第i個粒子的相關向量為：

(16)

式中:第i粒子的向量si(或Vi或Pi或Pg)由水平分向量Xi(或Vxi或Pxi或Pxg)和垂直分向量Yi(Vyi或Pyi或Pyg)組合而成，分向量的維度是ER單元個數Ng。

以式(12)和式(13)函數最大化為目標，建立電流變夾層結構的拓撲優化模型如下：

find:X,Y

Max:κrorκQ

(17)

式中:以式(12)κr或式(13)κQ的值最大為優化目標，則式(15)中i粒子歷史最優值Pi和粒子群最優值Pg的更新方式為：

(18)

或者

(19)

這里,i=1,2…,M。

利用上述的標準粒子群優化算法實現電流變夾層單元的優化布置。參考RATNAWEERA[13]的結論，c1和c2隨時間動態調整，c1從2.5線性減至0.5，而c2從0.5增至2.5。慣性權重采用線性遞減權值(Linearly Decreasing Weight, LDW)策略，λmax=0.9,λmin=0.4。按照粒子群優化過程，進行隨機初始化，限制Vxi(Vyi)的最大速度的絕對值為2，反復更新粒子群的位置直至兩次最優適應值增幅小于0.1%或者最大迭代次數200，迭代停止。

4 數值結果和討論

如圖1所示，ER夾層板左邊固支，其余三邊自由，其幾何、物理參數見表1，ER材料參數參考DON[14]的研究。

表1 ER夾層板的幾何、物理參數

注意到，前幾階模態包含了結構大部分的振動能量，所以控制器的模態n取為3。為了便利，下面列出了優化中的相關參數：a=9,b=6,M=10,Ng=26,D=52,n=3,QT=[1,1,1]。圖2給出了ER夾層結構的兩類優化布置構形。圖2(a), (b)和(c)分別是以第一、二和三階模態頻率變化率最大為目標的優化構形；而圖2(d)是以綜合模態頻率變化率最大化為目標的優化構形，采用權重QT。

(a) Set1(1stmode)(b) Set2(2ndmode)

(c) Set3(3rdmode)(d) Set4圖2 優化構形Fig.2Optimizationbymaximizingthemodalfrequencymobility

下面，討論優化布置(Set1～4，材料利用率48%)對半主動控制效果的影響，主要采用等效阻尼比和時域響應對比兩種手段。以滿鋪布置(Set0)為對照基準，等效阻尼比和綜合阻尼比均列在表2中。根據式(11)計算各階次模態的等效阻尼比ζ(eq)體現了變剛度控制的減振性能。從表中可知，針對各階模態的優化構形獲得了各自階次的最大等效阻尼比。比如，Set1的第一階等效阻尼比ζ1(eq)達到了0.075，這是Set0的等效阻尼值的65.2%，而在Set3的第三階等效阻尼比ζ3(eq)是Set0時的68.8%。表中最后一列，是前三階等效阻尼比與模態權重QT之積，優化布置中最大值0.113是Set4布置給出的，這也顯示了綜合模態最優布置的合理性。

表2 多種構形在變剛度控制下的等效阻尼比

另外，在多種激勵工況、多種優化構形下，時域響應對比可以更為直接顯示控制效果。激勵點和位移采集點均是自由度1/3處，如圖1所示。所有工況下均采用式(10)的模態控制算法，時域響應對比如圖3和4所示。采用第一、二階模態頻率附近的快掃頻作為激勵，同樣的把滿鋪布置(Set0)設為對照基準，如圖3(a)和(d)所示。p點處位移的均方根(RMSP)降幅用來評價優化布置的半主動控制減振效果。對比相關時域響應，可以得到幾個結果。首先，變剛度控制能有效降低結構振動響應，比如Set0的RMSP 降幅達到了88.69%和88.29%，如圖3 (a)和3(d)所示。第二，針對各階模態的拓撲優化能在相應激勵工況下取得最優的減振效果，例如圖3 (b)和(e)中的RMSP 降幅達到了86.18%and77.00%，這兩個值比Set4相應的降幅稍大。最后，以綜合最優的優化布置Set4也能取得很好的控制效果，其RMSP 降幅達到了85.63%和71.41%。這些結論與表2中的結論是一致的。

除了上述的分析中采用的頻率快掃頻，隨機激勵也是常用的激振載荷。下面采用帶寬為2～50 Hz的隨機激勵，為保證可比性，Set0、1、2和4中的載荷保持相同，有控、無控的響應對比如圖4所示。同樣的，Set0的減振效果作為對照基準，其RMSP降幅為82.78%，如圖4(a)所示。最為顯著的是，Set4的RMSP降幅高達89.12%，這個降幅甚至超過了Set0工況。Set1的減振幅度是較高的，這主要是因為第一模態響應在總響應中占比較高，而第二階響應相對的占比較小，所以Set2的降幅稍小些，如圖4(b)、(c)所示。

(a) Set0(aroundits1stmode,4.0～4.6Hz)(b) Set1(aroundits1stmode,4.6～5.2Hz)(c) Set4(aroundits1stmode,4.4～5.0Hz)

(d) Set0(aroundits2ndmode,13.7～14.5Hz)(e) Set2(aroundits2ndmode,16.2～17.0Hz)(f) Set4(aroundits2ndmode,14.2～15.0Hz)圖3 簡諧激勵下的時域響應.(點線,無控E=0;實線,semi-modal控制,Eb=1kV/mm)Fig.3TimeresponsesofpointPoftheERsandwichplateundersinusoidalexcitation.(pointline,uncontrolledE=0;realline,semi-modalcontrolledEb=1kV/mm)

(a) Set0(random2～50Hz)(b) Set1(random2～50Hz)

(c) Set2(random2～50Hz)(d) Set4(random2～50Hz)圖4 隨機激勵下的時域響應(點線,無控E=0;實線,semi-modal控制,Eb=2kV/mm)Fig.4TimeresponsesoftheERsandwichplateunderrandomexcitation(pointline,uncontrolledE=0;realline,semi-modalcontrolledEb=2kV/mm)

5 結 論

關注了電流變夾層板結構的半主動振動控制和拓撲優化問題。采用有限元方法建模和分析了結構的模態頻率和損耗因子。基于開關變剛度控制策略，設計了一種適用于ER夾層系統的變剛度控制算法。另外，通過粒子群優化算法得到了分別關于單階、綜合模態頻率變化率最大的優化構形。最后，采用變剛度控制的等效阻尼和變剛度控制的時域響應對比，對優化構形進行了數值檢驗。下面是總結出的幾個結論：

(1) 變剛度模態控制能適應多種激勵工況，取得較好的振動控制效果，當系統呈現模態振動時，控制算法退化成開關變剛度控制，控制效果更為顯著。

(2) 在相同材料適用率條件下的多種構形中，針對單階模態的拓撲優化構形，能取得該階模態上最優的變剛度控制效果。

(3) 采用綜合模態頻率變化率的優化布置更能適應復雜激振工況，特別是有帶寬的噪聲激勵時，如圖4(d)所示。

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Topological optimization and vibration control for an ER sandwich plate

CHEN Chunqiang, CHEN Qian

(State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

The semi-active variable stiffness control algorithm for an electrorheological (ER) sandwich plate was designed and the topology optimization was performed for this sandwich structure. Firstly, the dynamic model for the ER sandwich plate was built. The modal control algorithm for this ER plate was developed based on the on-off control strategy. Then, the modal frequency rates for a single mode and multi-mode of the ER sandwith structure, respectively were taken as the optimization objectives, the ER structure was optimized topologically with the particle swarm optimization (PSO) method. The corresponding topological configuration of the ER structure under the contraint of a certain amount of material used were obtained. At last, the equivalent damping ratio of variable stiffness control and the time-domain responses of the ER structure under multi-excitation were adopted to validate the topological optimization results for the ER sandwich plate. Numerical examples showed that the topological optimization results are correct and the variable stiffness control method is effective.

electrorheological(ER) sandwich plate; modal control algorithm; modal frequency rate; particle swarm optimization (PSO); topology optimization; equivalent damping ratio

中央高校基本科研業務費專項資金；江蘇高校優勢學科建設工程資助

2015-05-05 修改稿收到日期：2015-11-20

陳春強 男，博士生，1987年4月生

陳前 男，教授，博士生導師，1951年11月生 E-mail：Q.chen@nuaa.edu.cn

O328;TP273

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.21.021