雙擾動條件下水輪機豎向振動傳導功率流分析

許新勇， 職保平， 蔣 莉,3， 吳珊珊

(1.華北水利水電大學 水利學院，鄭州 450045； 2.黃河水利職業(yè)技術學院，河南 開封 475004; 3.大連理工大學 建設工程學部，遼寧 大連 116024; 4.水利部珠江水利委員會，廣州 510611))

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雙擾動條件下水輪機豎向振動傳導功率流分析

許新勇1， 職保平2，3， 蔣 莉1,3， 吳珊珊1

(1.華北水利水電大學 水利學院，鄭州 450045； 2.黃河水利職業(yè)技術學院，河南 開封 475004; 3.大連理工大學 建設工程學部，遼寧 大連 116024; 4.水利部珠江水利委員會，廣州 510611))

為分析水電站實際振動的復雜擾動對結構動力特性的影響，在單擾動分析的基礎上，結合功率流、Kronecker代數(shù)、Hadamard積及隨機攝動理論，推導了雙擾動條件下的功率流隨機參數(shù)結構分析方法，并應用于水電站豎向振動傳導分析。通過水電站廠房結構振動分析表明，雙擾動分析方法的結果是正確的，可分析各參數(shù)擾動對能量傳導率的靈敏度問題。據(jù)此可更全面的分析水電站豎向振動的傳遞路徑，同時為解決復雜擾動的水電站振動傳遞路徑系統(tǒng)分析提供一種新的解決思路。

雙擾動；功率流；隨機參數(shù)結構；傳導路徑；水電站

振動傳遞分析屬于振動控制的范疇，以功率流為代表的能量傳導法在其領域發(fā)展迅猛，20世紀70年代后期，用功率流方法評價振動噪聲得到廣泛認可[1-2]，其中PINNINGTON等[3-4]對功率流的若干研究成果做了系統(tǒng)的歸納，并應用于機械振動傳導及噪聲分析中，并取得了顯著成果。目前，功率流理論已在船舶減振隔振[5-6]、汽車制造及其噪聲控制等研究領域得到應用，取得顯著成果。

水電站這類巨型復雜結構，各部件生產(chǎn)、安裝所導致的材料參數(shù)、幾何尺寸、邊界條件等均存在不確定性(如混凝土等材料參數(shù))，該類不確定性與參數(shù)同步存在，屬于乘性擾動，而測量所得的參數(shù)必然伴隨著由噪聲干擾(多機工作振動、橋機運行振動干擾等)、測試擾動(環(huán)境噪聲、儀器噪聲等)等引起的加性擾動[7]。水電站振動系統(tǒng)的各參數(shù)富含兩類擾動性，屬于典型的隨機結構問題。結構參數(shù)的擾動性可能引起結構動力特性和動力響應的大幅度變化，使力學參數(shù)的隨機性在一定條件下成為主導因素。

經(jīng)過近半個世紀的發(fā)展，隨機參數(shù)結構的研究主要發(fā)展了Monte-Carlo模擬[8-9]、攝動法[10-12]、隨機攝動有限元、隨機因子法[13]、區(qū)間因子法[14]等，這些方法均將各參數(shù)的擾動定義為單一擾動。但實際水電站振動分析時，各參數(shù)存在非常復雜的擾動性，針對多擾動的研究目前處于探索階段，近年來，僅本文作者等[15-16]推導了兩類擾動性的隨機攝動法，并應用于水電站簡化模型振動傳導分析。

考慮參數(shù)擾動性的水電機組振動傳導研究僅處于探索階段，馬震岳團隊引入隨機參數(shù)，針對機組-廠房耦合振動系統(tǒng)的振動傳導路徑進行解析分析[17-21]。功率流方法在傳導分析中具有明顯優(yōu)勢，在多擾動條件下的機組-廠房結構振動傳導研究中引入功率流方法能避免高階矩陣的偏導求解，為多擾動水電機組振動傳導的研究提供一種新的分析方法，也能對水電站振動控制提供可相互驗證的理論依據(jù)。

之前的研究中[15-16]，作者以攝動法為基礎，針對簡單結構，分析了復雜擾動條件下攝動法與Monte-Carlo模擬計算的差異，為本文提供了研究基礎，由于分析模型隨機參數(shù)多達42個，隨機模擬法計算量將不可估計，方法不再適用，因此，本文僅分析考慮參數(shù)隨機性的功率流分析。最終，本文在功率流理論、Kronecker代數(shù)、Hadamard積、攝動理論等方法的基礎上，結合兩類擾動性的特點，提出適用于水電機組的雙擾動功率流分析方法，并進行理論分析和數(shù)值計算，給出隨機路徑的水力振動功率流的一階矩及二階矩的一般數(shù)學表達式，為研究參數(shù)具有兩類不確定性的水電機組振動能量傳導問題提供依據(jù)。

1 振動傳遞路徑系統(tǒng)的功率流方法

功率是指單位時間內(nèi)作用荷載所做的功即公式(1)，其中，F(xiàn)i和Vi分別代表結構有限域對應的作用荷載和速度分量，功率能有效地反映出外荷載和結構響應的組合特征，也能反映出結構的阻抗特性，因此在結構振動傳導中，對復雜結構中能量傳導路徑的識別意義重大。若在時域內(nèi)對某時間段通過某截面或某區(qū)域的功率進行匯總，便可實現(xiàn)對復雜結構功率傳導規(guī)律的分析。若結構荷載可簡化為簡諧荷載，其結構速度響應也呈簡諧變化，則對某時段某點的功率流計算公式可表達為式(2)。將式(2)中的變量用復向量表示，并進行復數(shù)運算，可得式(3)的表達形式，右上角標帶有*表示向量的共軛向量。

Pi=Fi·Vi

(1)

(2)

(3)

式中:Pi為T時間段內(nèi)功率流的有效值，單位W；Fi為簡諧荷載，復向量，單位N；Vi為結構某點的響應速度值，復向量，單位m/s；ω為簡諧振動的角頻率，單位rad/s；φ為速度與荷載的相位角，單位rad。β=V/F即是結構點導納，1/β即為節(jié)點阻抗，可以通過實驗的方法測得結構功率流的傳導。若荷載激勵用一個力的功率譜密度來定義，那么P(ω)就是功率流譜密度。

圖1 傘式機組和廠房耦合系統(tǒng)簡化模型Fig.1 Simplified model of the umbrella hydrogenerator unit and powerhouse coupling system

圖2 功率流路徑示意圖Fig.2 The schematic diagram of Power flow path

圖3 多層隔振系統(tǒng)及動力傳遞示意圖Fig.3 The schematic diagram of Multi-layer vibration isolation system and power transmission

假設整個機組廠房結構只在水輪機轉輪處受豎向簡諧激勵，如圖1所示，且初始相位在整個過程中不發(fā)生改變，傘式機組的水電站水力振源的豎向振動可看作位于水輪機處的單振源多路徑振動系統(tǒng)，將其簡化成多路徑的功率流系統(tǒng)，如圖2所示。其中，軸系統(tǒng)主要包含受理源水輪機轉輪質(zhì)量、水體附加質(zhì)量和1/2轉子支架至水輪機處軸的質(zhì)量m3，轉子支架中心體質(zhì)量、1/2支臂的總質(zhì)量和1/2整個軸質(zhì)量m2，轉輪邊緣處的集中質(zhì)量m4，下機架靠近大軸處集中質(zhì)量m5，與質(zhì)量體m2通過推力軸承k51連接；勵磁機轉子帶軸和1/2大軸頂部至轉子支架的軸系質(zhì)量及其他作用在大軸頂部的質(zhì)量m1作為附加單元負載至轉子中心體m2上；頂蓋系統(tǒng)主要包含，質(zhì)量體m3、頂蓋靠近大軸處集中質(zhì)量m6，中間由密封彈簧k61連接。

將各個部件分解成減振、隔振領域中的質(zhì)量單元和隔振單元，即理論上將單元的振動能量分離計算，質(zhì)量作為剛體單獨作用，單元的剛度和阻尼組成隔振單元，此時利用功率流的相關理論計算得到兩條路徑的總功率流。由于水電站的機墩部分直接與地基部分相連，作剛性假設，因此不考慮基礎作用。各路徑內(nèi)包含多個部件，將各路徑看作多層隔振系統(tǒng)，即將圖1中各個單元分解成圖3形式，從而將各路徑進行分解，各單元利用四端參數(shù)法的功率流方法可得：

(4)

(5)

式中:Fi，F(xiàn)si，F(xiàn)i′，F(xiàn)si′分別表示各部件輸入端和輸出端的受力；Vi，Vsi，Vi′，Vsi′分別表示各部件輸入端和輸出端的速度；ksi，csi分別為隔振系統(tǒng)的剛度和阻尼。由式(4)、(5)可計算兩條路徑內(nèi)部的各個單元的功率流，并最終得到每條路徑傳遞至機墩的功率流：

(6)

(7)

式中:

(8)

(9)

由此可計算各路徑功率為：

(10)

(11)

式中:Pzhou，F(xiàn)zhou，Vzhou分別是通過軸系振動傳遞至機墩的功率流，力和速度；Pding，F(xiàn)ding，Vding分別是振動通過頂蓋系統(tǒng)傳遞至機墩的功率流，力和速度，至此可得各路徑的功率流排序。在振動傳導的分析中，功率流的方法僅關注結構輸入輸出之間的能量關系，避免了求解整體結構的動力平衡方程及傳遞函數(shù)，即無需建立結構的整體剛度、阻尼、質(zhì)量有限元矩陣，極大幅度降低了計算時間，提高了工程應用的計算效率，同時功率流方法也具有表征直觀等多種優(yōu)勢。

2 基于雙擾動的功率流路徑排序

已有的研究中，針對隨機參數(shù)結構的功率流分析都是針對單一擾動研究，且均是對加性擾動的研究。然而，實際中往往同時存在加性和乘性擾動，乘性擾動與加性擾動的處理方法不盡相同，目前沒有方法對兩類擾動量功率流的聯(lián)合分析和研究。本文針對兩類擾動量的特點，推導了計算動力特性的公式。

2.1 雙擾動形式

將同時包含乘性擾動量和加性擾動量的時不變參數(shù)表示為：

x=xmxd+xa

(12)

2.2 雙擾動功率流傳導路徑排序

根據(jù)隨機攝動法方法進行拓展，推導了含雙擾動的功率流隨機攝動法，其計算步驟如下：

受乘性擾動、加性擾動影響的參數(shù)，其數(shù)字期望為：

E(x)=E(xmxd+xa)=E(xmxd)+E(xa)=xd(13)

式中：E(x)為x的數(shù)學期望。若乘性因子與加性因子獨立不相關，根據(jù)Kronecker代數(shù)以及Hadamard積、隨機攝動理論得：

Var(x)=E{[x-Ex][2]}=E{[(xm-1)xd+

xa][2]}=(σxm)[2]°(xd)[2]+(σxa)[2]+

2×[σxm°xd]?σxa

(14)

EP=E[Pm(x)Pd(x)+Pa(x)]=

E[Pm(x)]E[Pd(x)]+E[Pa(x)]=Pd(x)

(15)

根據(jù)Taylor展式，將P在Pd處一階展開得

(16)

忽略擾動的高階項O((xm-1)xd+xa)得：

(17)

利用協(xié)相關函數(shù)得

2×[σxm°xd]?σxa}

(18)

(19)

式(19)為P對x的各項偏導數(shù)，即對各個參數(shù)的靈敏度，可利用Mathematica軟件的符號運算求得。將式(19)代入式(18)即可得到考慮對每個參數(shù)隨機量的總功率的方差。

定義功率流傳遞率為：

(20)

式(20)中:Pout，Pin分別為輸出和輸入功率流根據(jù)隨機變量概率分析的代數(shù)綜合法(algebra synthesis method)，傳遞率的期望和方差為：

(21)

(22)

式中：ρ為傳遞與輸入功率流的相關系數(shù)。正態(tài)分布除以常數(shù)時，仍為正態(tài)分布。而E(Pin)、E(Pout)對于確定系統(tǒng)而言均是可知的確定部分，因此傳遞率的方差仍服從正態(tài)分布。通過求解不同路徑的傳遞率即可得出振動路徑在頻域內(nèi)的梯度排序。

3 水電站仿真分析

某巨型水電站傘式機組為例，該機組單機引用流量為423.805 m3/s，最大水頭為226 m，最小水頭為155 m，該電站進口段蝸殼直徑達7.0 m，振動傳遞路徑如圖1所示，不考慮蝸殼及其下部結構影響，假設激勵為單頻簡諧激勵，各參數(shù)均值由水電站施工設計圖和實際質(zhì)量折算得到：m1=8.28×104，m2=1.042×106，m3=3.29×105，m4=9×105，m5=1.2×105，m6=1.15×105，m7=4.79×106，質(zhì)量m的單位為kg；k1=7.26×1010，k3=5.72×1010，k4=2.32×1010，k51=2.20×1012，k52=9.41×109，k61=1.73×108，k62=1.73×1010，剛度k單位N/m；c1=5.48×106，c3=4.11×106，c4=1.02×107，c51=2.57×107，c52=7.51×105，c61=2.23×105，c62=9.99×104，阻尼c的單位為N·s/m；隨機參數(shù)服從正態(tài)分布，其中油膜、水封剛度獲取較難，且剛度隨時間變化，取值誤差較大，因此取包含推力軸承的豎向剛度k51和頂蓋與轉輪之間的密封等效豎向剛度k61乘性隨機量的方差為0.15；頂蓋上承載的控制部件等附加部件較多，致使剛度不確定，取等效彎曲剛度k62的乘性隨機量的方差為0.1；其余參數(shù)的乘性隨機方差為0.05。加性隨機量中包含環(huán)境噪聲和測量噪聲，同時隨機量幅值的大小與測量量程有關，因此根據(jù)各參數(shù)的均值分別取質(zhì)量的加性隨機變量方差為104和剛度的加性隨機變量方差為108。公式推導采用Mathematica軟件，功率計算由Matlab程序完成，其生產(chǎn)隨機擾動樣本數(shù)為10 000，生成期望、方差的誤差小于10-4。

圖4給出采用單擾動與雙擾動形式計算能量傳遞率期望的相對誤差，可以看到在期望計算中頂蓋系統(tǒng)相對誤差在4×10-4%左右，而軸系統(tǒng)由于傳遞部件較多，相較于頂蓋系統(tǒng)其相對誤差在9×10-4%左右；圖5給出采用單擾動與雙擾動形式計算能量傳遞率方差的相對誤差，其中，頂蓋系統(tǒng)在100～300 rad/s范圍內(nèi)出現(xiàn)較大波動，且誤差范圍為-0.7%至1%，而頂蓋系統(tǒng)相對誤差在3.8×10-4%左右。

圖4 單雙擾動計算傳導率期望的相對誤差Fig.4 The relative error of single and double disturbance calculating conductivity expectations

圖5 單雙擾動計算傳導率方差的相對誤差Fig.5 The relative error of single and double disturbance calculating conductivity of variance

圖4、圖5中的差異一方面由在計算過程中引入?yún)?shù)存在極值點以及擾動相關考慮不完善等因素造成的，另一方面與擾動變量有關，多次生成擾動計算結果與圖4、圖5基本吻合。期望和方差的相對誤差圖表明，采用雙擾動形式計算與單擾動形式計算結果極為接近。

圖6給出采用雙擾動形式分析的豎向振動路徑功率傳遞率的期望排序，圖7給出振動路徑功率傳遞率的方差排序。軸系統(tǒng)傳遞率期望與方差均大于頂蓋系統(tǒng)，軸系統(tǒng)與頂蓋系統(tǒng)的傳遞能量比為142 862：1，軸系統(tǒng)與頂蓋系統(tǒng)的傳遞率期望比為213 399：1；相較于隨機攝動法計算的傳遞率而言[7,21]，兩條路徑的傳遞比約為攝動法計算的平方，這是由于功率流由力和速度構成，而傳遞力并不考慮速度的因素，因此，結果也將引入速度的倍數(shù)關系。圖6、7表明頂蓋系統(tǒng)傳遞率遠小于軸系統(tǒng)，這是符合實際規(guī)律的，在傳統(tǒng)分析中不考慮頂蓋系統(tǒng)是可以滿足精度分析要求的，但為分析高階陣型、結構振動形態(tài)、區(qū)分振動傳導路徑等問題時，特別是為使測試數(shù)據(jù)與仿真分析相對應時，考慮頂蓋系統(tǒng)是十分有必要的。

圖6 雙擾動計算各路徑傳遞率期望Fig.6 The expectations of double disturbance calculating the path passing rate

圖7 雙擾動計算各路徑傳遞率方差Fig.7 The variance of double disturbance calculating the path passing rate

4 結 論

實際測試環(huán)境中，擾動成分復雜的，干擾源也不能確定，單擾動量進行分析，存在一定的局限性，因此，在作者之前研究的基礎上，本文進一步推導了雙擾動形式的功率流隨機參數(shù)結構分析方法，并將其應用于水電站豎向振動傳導分析，其研究不僅僅完善了隨機參數(shù)結構振動分析方法，并為研究多擾動條件下水電站振動傳導問題提供了新的思路，本文主要得到以下結論：

(1) 利用功率流理論、Kronecker代數(shù)、Hadamard積、隨機攝動理論等方法，推導雙擾動功率流隨機參數(shù)分析方法，其計算與單擾動基本保持一致，表明推導形式和計算過程是正確的，可用于分析富含兩類擾動(突變信號、環(huán)境噪聲、儀器噪聲等)的路徑傳遞能量、傳遞率及其數(shù)學特征值等問題的解析計算方法。

(2) 豎向振動傳導分析中，軸系統(tǒng)傳遞率遠大于頂蓋系統(tǒng)，傳統(tǒng)分析中，忽略頂蓋系統(tǒng)是可行的，但隨著電站的巨型化，頂蓋系統(tǒng)負載的附加質(zhì)量越來越大，在進一步精確分析時，有必要考慮頂蓋系統(tǒng)對整個機組-廠房耦合結構振動的影響。

(3) 分析結果表明，參數(shù)的隨機性對結果具有一定的影響，參數(shù)擾動性的確定，特別是推力軸承、密封及其油膜力的擾動范圍，對結果影響較大，因此，參數(shù)擾動性的確立要更為慎重，也是未來工作的方向。

(4) 水電站機組與廠房的振動傳遞路徑是一個復雜的過程，通過對水電站豎向振動模型在頻域內(nèi)傳遞功率的靈敏度以及功率的傳遞率分析可以清晰了解豎向振動中各個傳遞路徑的貢獻度，為研究整個水電站機組廠房的傳遞路徑以及振動調(diào)控打下基礎。

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Vertical vibration power flow of a water turbine under double-disturbance condition

XU Xinyong1, ZHI Baoping2,3, JIANG Li1,3, WU Shanshan1

(1.School of water conservancy, North China University of Water Resources and Electric Power, Zhengzhou 450045；2. Yellow River Conservancy Technical Institute, Kaifeng 475004；3. Faculty of Infrastructure Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024；4. Pearl River Water Resources Commission of the Ministry of Water Resources, Guangzhou 510611)

Here, the effects of structure parametric disturbances on the dynamic characteristics of a practical hydropower station’s powerhouse were analyzed. The power flow analysis method of random parametric structures under double disturbances was deduced based on the analysis of single disturbance, and combining with power flow, Kronecker algebra, Hadamard product and the random perturbation theory. The application of the stochastic perturbation method was expanded. The correctness and feasibility of these formulas were validated by analyzing a hydropower station’s powerhouse vibration model. The study provided a new way to accurately analyze the transfer paths of vertical vibration in hydropower stations.

dual disturbances; power flow; stochastic perturbation method; transfer path; hydropower station

國家自然科學基金(U1404529；51379030)；河南省基礎與前沿技術研究項目(142300410176)；河南省高校青年骨干教師資助計劃項目(2015GGJS-102)；河南省教育廳重點科技項目(13A570715)；華北水利水電大學青年創(chuàng)新人才計劃(70421)；感謝水資源高效利用與保障工程河南省協(xié)同創(chuàng)新中心支持

2015-08-05 修改稿收到日期：2015-10-09

許新勇 男，博士，副教授，1978年生

職保平 男，博士，講師，1981年生

TV731

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10.13465/j.cnki.jvs.2016.21.010