基于Duffing振子的信號頻譜重構(gòu)隨機共振研究

賴志慧, 饒錫新, 劉建勝, 冷永剛

(1. 南昌大學(xué) 機電工程學(xué)院，南昌 330031； 2. 天津大學(xué) 機械工程學(xué)院，天津 300072)

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基于Duffing振子的信號頻譜重構(gòu)隨機共振研究

賴志慧1,2, 饒錫新1, 劉建勝1, 冷永剛2

(1. 南昌大學(xué) 機電工程學(xué)院，南昌 330031； 2. 天津大學(xué) 機械工程學(xué)院，天津 300072)

針對信號特征頻率和采樣頻率所要求的匹配關(guān)系對Duffing振子變尺度隨機共振的限制，研究一種頻譜重構(gòu)的信號預(yù)處理方法，并進(jìn)一步提出基于Duffing振子的信號頻譜重構(gòu)隨機共振方法。該方法通過引入頻譜重構(gòu)參數(shù)實現(xiàn)信號特征頻率的靈活轉(zhuǎn)化，與變尺度方法和阻尼比參數(shù)調(diào)節(jié)方法相結(jié)合，可以實現(xiàn)任意信號特征頻率和采樣頻率下的Duffing系統(tǒng)的大參數(shù)隨機共振，從而擴展其在微弱信號處理中的應(yīng)用。數(shù)值仿真和故障診斷實例分析均驗證了該方法的有效性。

Duffing振子；隨機共振；頻譜重構(gòu)；變尺度；故障診斷

隨機共振是1981年BENZI等[1-3]首次提出的，用以解釋過去70萬年間地球冰川期和暖氣候期交替出現(xiàn)的現(xiàn)象。隨后，F(xiàn)AUVE等[4-5]分別在Schimitt觸發(fā)器和雙穩(wěn)態(tài)環(huán)形激光器實驗中觀測到隨機共振現(xiàn)象，驗證了隨機共振的存在。從此以后，這一非線性現(xiàn)象得到廣泛而深入的研究[6]。

隨機共振發(fā)生的三個基本要素是非線性系統(tǒng)、微弱信號和噪聲[7]。它利用非線性系統(tǒng)，在輸入信號和噪聲的協(xié)同作用下，系統(tǒng)輸出的信噪比將會在某一噪聲強度時出現(xiàn)峰值，產(chǎn)生類似力學(xué)中人們熟知的共振輸出現(xiàn)象，故稱為隨機共振。隨機共振發(fā)生時，一部分噪聲能量轉(zhuǎn)移到信號身上，使原本微弱的信號強度大大增強，因此隨機共振模型被廣泛應(yīng)用于微弱信號檢測中，取得了豐富的研究成果[8-12]。

近十幾年的研究表明，隨機共振現(xiàn)象不僅發(fā)生在雙穩(wěn)系統(tǒng)[13]中，在單穩(wěn)系統(tǒng)[14]、三穩(wěn)系統(tǒng)[15]、混沌系統(tǒng)[16]、時延系統(tǒng)[17]中隨機共振現(xiàn)象同樣可能發(fā)生，這些研究極大地豐富了隨機共振的理論。由微弱信號和噪聲共同驅(qū)動的Duffing系統(tǒng)是一種能夠產(chǎn)生隨機共振的非線性模型[18-22]。與經(jīng)典的一維Langevin方程的隨機共振模型相比，二維Duffing系統(tǒng)同樣是一個雙穩(wěn)系統(tǒng)，而模型中可調(diào)的阻尼比又增強了系統(tǒng)對不同噪聲強度信號的適應(yīng)能力[23]。但Duffing振子的隨機共振受限于嚴(yán)格的小參數(shù)條件[24]，這大大限制了其在微弱信號檢測中的應(yīng)用。文獻(xiàn)[25]建立基于Duffing振子隨機共振的微弱信號檢測模型，提出線性幅值變換、變尺度、參數(shù)調(diào)節(jié)等方法，分別實現(xiàn)Duffing振子在大幅值、大頻率、大噪聲強度信號輸入條件下的隨機共振，擴展其在實際工程中的應(yīng)用范圍。其中，通過對待測信號進(jìn)行時間尺度變換，可實現(xiàn)大頻率信號的隨機共振。但該方法不僅要求尺度變換后的特征信號頻率滿足合適的小參數(shù)范圍，而且要求采樣頻率與特征信號頻率之間保持一個合適的比例關(guān)系。在實際工程的信號采集過程中，針對可能的特征信號頻率特意設(shè)置采樣頻率不僅是繁瑣的，甚至可能是無法實現(xiàn)的，這就限制了基于Duffing振子的變尺度隨機共振方法在實際工程中的應(yīng)用。

本文提出基于Duffing振子的頻譜重構(gòu)信號隨機共振方法，通過對特征信號進(jìn)行頻譜重構(gòu)，使變換后的信號特征頻率與采樣頻率相匹配，Duffing系統(tǒng)輸出實現(xiàn)隨機共振，從而將頻譜重構(gòu)后的特征信號頻率檢測出來，實現(xiàn)微弱待測信號的頻率特征提取。研究表明，本文所提出的方法與變尺度方法相結(jié)合，能夠在同一采樣頻率下實現(xiàn)不同頻率特征信號乃至復(fù)合頻率信號的隨機共振檢測，從而克服采樣頻率的設(shè)置困難；同時，該方法與阻尼比參數(shù)調(diào)節(jié)等方法相結(jié)合可以實現(xiàn)大參數(shù)信號的隨機共振檢測。實例分析驗證了該方法的可行性和有效性。

1 Duffing振子的隨機共振

1.1 基本理論

Duffing振子的隨機共振模型如式(1)所示：

當(dāng)sn(t)=0時，Duffing系統(tǒng)(1)的勢函數(shù)

(2)

V(x)=U(x)-xAcos(2πf0t+φ)=

(3)

圖1 Duffing系統(tǒng)的雙穩(wěn)勢函數(shù)U(x)、周期特征信號調(diào)制的勢函數(shù)V(x)及Brownian粒子運動軌跡，其中a=b=1，A=0.3。當(dāng)噪聲存在時，Brownian粒子將有可能越過勢壘。Fig.1 Bistable potential function of the Duffing system without driving force (solid line) and potential changes with driving force (dotted line) when a=b=1, A=0.3. Switching events may take place in the presence of noise as indicated by the arrow

1.2 Duffing振子的大參數(shù)隨機共振

Duffing振子隨機共振對微弱特征信號的增強特性使其成為一種潛在的微弱信號檢測模型，用于實現(xiàn)強背景噪聲下的微弱特征信號檢測。其應(yīng)用的最大困難在于Duffing振子的隨機共振受到絕熱近似理論嚴(yán)格的小參數(shù)限制，即要求方程(1)中A

所謂變尺度，是指改變待測信號的頻率/時間尺度，即在不改變離散數(shù)值的情況下，對信號的頻率/時間尺度進(jìn)行壓縮或放大。對于一組以采樣頻率fs采集的含有大頻率f0成分的待測信號sn(t)，將它輸入方程(1)所示的Duffing系統(tǒng)。引入變尺度系數(shù)R，以計算步長h=R/fs對方程進(jìn)行數(shù)值求解，則待測信號尺度變換為sn(t′)，其特征信號頻率變?yōu)閒0′=f0/R，變尺度采樣頻率fs′=fs/R。當(dāng)R取值合適時，就相當(dāng)于通過變尺度系數(shù)R將大頻率參數(shù)f0尺度變換為小頻率參數(shù)f0′。當(dāng)其他參數(shù)條件合適時，系統(tǒng)發(fā)生隨機共振，從輸出響應(yīng)識別出頻率f0′，最后通過尺度反變換即可得到原信號的特征頻率f0=R·f0′。

可以看出，該方法的本質(zhì)是將一個大頻率信號轉(zhuǎn)換成一個符合絕熱近似條件的小頻率信號，以利于隨機共振的產(chǎn)生，從而進(jìn)行特征信號的頻率提取。將Duffing方程(1)在時間尺度t′意義下重寫為

(4)

式中：t′=Rt，sn(t′)和x(t′)就是時間尺度t′下的系統(tǒng)輸入和輸出信號。方程(4)就是二維Duffing振子的變尺度隨機共振方程，它能夠通過頻率/時間尺度變換實現(xiàn)大頻率信號的隨機共振。

2 Duffing振子的信號頻譜重構(gòu)隨機共振

Duffing振子的變尺度隨機共振方法大大擴展了Duffing振子在實際工程微弱信號檢測中的應(yīng)用。但該方法不僅要求變尺度后的信號頻率f0′=f0/R滿足合適的小參數(shù)條件，變尺度采樣頻率fs′=fs/R還須同時滿足數(shù)值計算穩(wěn)定性條件(fs′不能太小)和頻率分辨力的要求(fs′不能太大)，即fs′也存在一定的取值范圍。因此實測信號的采樣頻率fs與特征信號頻率f0之間就必須滿足合適的比例關(guān)系，如文獻(xiàn)[25]中f0=0.01 Hz，fs=5 Hz和f0=40 Hz，fs=20 000 Hz兩組參數(shù)，fs/f0保持了一個500倍的比例關(guān)系。如果該比例關(guān)系不合適，就無法將f0和fs同時壓縮至合適的數(shù)值范圍內(nèi)，也就無法實現(xiàn)大頻率信號的隨機共振。

基于這個原因，在實際工程應(yīng)用中，就需要根據(jù)可能的特征信號頻率設(shè)置合適的采樣頻率進(jìn)行工程信號采集。這樣存在的問題是：首先，對特征信號頻率的估計往往是粗略的，因此采樣頻率的設(shè)置也就無法絕對精準(zhǔn)；其次，由于采樣頻率在信號采樣完成后無法更改，該方法不適用于已有信號的微弱信號檢測；再次，如果待測信號中有多個頻率成分需要檢測，需針對每一個頻率成分都設(shè)置一個相應(yīng)的采樣頻率進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，是非常繁瑣且不經(jīng)濟的。針對上述問題，本文提出一種頻譜重構(gòu)的信號處理方法，并與變尺度方法相結(jié)合，實現(xiàn)Duffing振子在任意頻率信號條件下的隨機共振，最終識別出微弱特征信號。

2.1 信號的頻譜重構(gòu)方法

sn(t)=s(t)+n(t)=

(5)

對其進(jìn)行頻譜重構(gòu)的過程如圖2所示。

圖2 信號的頻譜重構(gòu)過程
Fig.2 The reconstruction of signal spectrum

在實際工程信號的頻譜重構(gòu)過程中，需先用采樣頻率fs對連續(xù)信號s(t)進(jìn)行離散采樣，得到含有N個數(shù)據(jù)點的離散信號s(n)(n=1,2,…,N)。接下來，首先對sn(n)進(jìn)行FFT變換，得到其離散頻譜sn(f)；其次，對sn(f)進(jìn)行頻譜重構(gòu)，得到重構(gòu)后的離散信號頻譜sn′(f)；最后，對sn′(f)進(jìn)行IFFT變換，得到頻譜重構(gòu)后的信號sn′(n)。其中，頻譜重構(gòu)的含義說明如下：

圖3 信號的頻譜重構(gòu)示意圖，相應(yīng)參數(shù)fs=100 Hz，A=0.1，f0=20 Hz，φ=20，D=0.1，Δf=18 Hz， N=2 000Fig.3. The diagram of signal spectrum-reconstruction; the corresponding parameters are fs=100 Hz, A=0.1,f0=20 Hz, φ=20, D=0.1, Δf=18 Hz, N=2 000

對信號頻譜進(jìn)行重構(gòu)的過程中，我們保留了離散頻譜的所有信息，而只是對其位置進(jìn)行了重排，并通過線性的FFT變換和IFFT變換進(jìn)行轉(zhuǎn)換。顯然，將sn(n)頻譜重構(gòu)為sn′(n)，我們只改變了疊加的周期信號的頻率參數(shù)，而幅值、相位等信息都沒有發(fā)生變化。

2.2 頻譜重構(gòu)信號的隨機共振

(6)

(7)

系統(tǒng)輸出特征信號幅值A(chǔ)m表征了輸出特征信號的絕對強度，輸出信噪比SNR則表征了輸出特征信號的可識別能力，二者隨噪聲強度D的變化均呈現(xiàn)出先增大后減小的趨勢，這是典型的隨機共振特點。這說明，信號頻率f0不合適的待測信號，經(jīng)過頻譜重構(gòu)后輸入Duffing系統(tǒng)，系統(tǒng)輸出能夠?qū)崿F(xiàn)隨機共振。圖4中兩曲線均在D=0.26時取得極大值，說明D=0.26是該組參數(shù)條件下Duffing系統(tǒng)實現(xiàn)隨機共振所需的最優(yōu)噪聲強度。D=0.26時，輸入信號的波形和頻譜、頻譜重構(gòu)前后輸出信號的波形和頻譜如圖5所示。

圖4 Duffing系統(tǒng)輸出信號的信號幅值A(chǔ)m與信噪比SNR隨噪聲強度的變化規(guī)律Fig.4 Response curve of the Duffing system output signal amplitude and SNR against noise intensity

圖5 頻譜重構(gòu)信號的隨機共振Fig.5 SR for spectrum-reconstructed signal

3 討 論

信號的頻譜重構(gòu)方法能夠調(diào)整輸入信號中特征信號的頻率，使其與采樣頻率相匹配，實現(xiàn)Duffing系統(tǒng)的隨機共振。因此，頻譜重構(gòu)信號的隨機共振方法克服了傳統(tǒng)隨機共振方法用于微弱信號檢測時采樣頻率的設(shè)置困難。為進(jìn)一步擴展其應(yīng)用范圍，本節(jié)進(jìn)行進(jìn)一步討論分析。

3.1 頻譜重構(gòu)信號的變尺度隨機共振

結(jié)合變尺度方法，可以將待測信號的特征信號頻率f0和采樣頻率fs擴展到更大的范圍內(nèi)。首先考慮同一采樣頻率下不同特征頻率信號的隨機共振問題。令

sn(t)=A1cos(2πf1t+φ1)+A2cos(2πf2t+φ2)+

(8)

表示一個含三個頻率成分(f1，f2和f3)的特征信號與噪聲的混合信號，其中A1=A2=A3=0.1，f1=400 Hz，f2=2 000 Hz，f3=4 000 Hz，φ1=0，φ2=40°，φ3=120°，D=0.26，信號采樣頻率fs=20 000 Hz，數(shù)據(jù)點數(shù)N=20 000。該信號頻譜如圖6(a)所示。將其輸入Duffing系統(tǒng)(6)，設(shè)k=0.5，a=b=1。顯然，由于信號特征頻率由于f1、f2和f3均遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出絕熱近似要求的小頻率參數(shù)條件，系統(tǒng)輸出將無法實現(xiàn)隨機共振。對于大頻率參數(shù)的情況，通常采用變尺度方法進(jìn)行處理。但是，該組信號特征頻率f1、f2和f3與采樣頻率fs的比例關(guān)系均不合適，無法直接通過尺度變換將二者壓縮至合適的參數(shù)范圍內(nèi)，因此，在對待測信號進(jìn)行尺度變換之前，我們考慮進(jìn)行頻譜重構(gòu)。

圖6(b)～(d)的結(jié)果表明，系統(tǒng)輸出在不同重構(gòu)參數(shù)條件下均實現(xiàn)隨機共振，高頻噪聲能量向低頻信號轉(zhuǎn)移，從而在頻譜重構(gòu)后的低頻特征信號頻率f=0.01 Hz處出現(xiàn)明顯峰值。這一結(jié)果有兩層意義。首先，在相同的采樣頻率下，不同特征頻率的信號可以通過設(shè)置不同的頻譜重構(gòu)參數(shù)，結(jié)合變尺度方法實現(xiàn)隨機共振。其次，取不同的頻譜重構(gòu)參數(shù)，將特定的頻率成分變換為與采樣頻率相匹配，并結(jié)合變尺度方法，可以實現(xiàn)復(fù)合頻率信號的隨機共振。

圖6 頻譜重構(gòu)信號的變尺度隨機共振Fig.6 Scale-transformation SR for spectrum-reconstructed signal

因此，在實際工程應(yīng)用中，我們無需再針對特定頻率的信號設(shè)置采樣頻率，而可以通過頻譜重構(gòu)信號的變尺度隨機共振方法，實現(xiàn)待測信號的隨機共振，并最終將微弱特征信號檢測出來。

3.2 頻譜重構(gòu)信號的大參數(shù)隨機共振

圖7 不同采樣頻率下同一信號的頻譜重構(gòu)變尺度隨機共振Fig.7 The spectrum-reconstruction and scale-transformation SR for a signal under different sampling frequencies

不考慮大幅值情況。在Duffing方程(6)中，取信號參數(shù)A=0.1，f0=2 000 Hz，φ=0，D=5，fs=20 000 Hz。信號點數(shù)N=5 000，對4 096點進(jìn)行十次譜平均計算，得到輸入信號的波形和頻譜，如圖8(a)和(b)所示。從中可以看出，由于噪聲強度太大，從輸入信號頻譜圖8(b)無法識別出f=2 000 Hz的特征信號譜峰，特征信號淹沒于強背景噪聲中無法提取。如果直接將該待測信號輸入Duffing方程(6)，由于f0=2 000 Hz和D=5均遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出絕熱近似要求的小參數(shù)條件，系統(tǒng)輸出將無法實現(xiàn)隨機共振。為了在該參數(shù)條件下實現(xiàn)系統(tǒng)的隨機共振輸出，對于大噪聲情況，可以對阻尼比k進(jìn)行調(diào)節(jié)；對于大信號頻率情況，則采用頻譜重構(gòu)信號的變尺度隨機共振方法。

圖8 頻譜重構(gòu)信號的大參數(shù)隨機共振Fig.8 Large-parameter SR for spectrum-reconstructed signal

從系統(tǒng)輸出頻譜圖8(d)可以觀察到明顯的譜峰，其頻率f′=0.01 Hz，經(jīng)過變尺度和頻譜重構(gòu)的反變換，得到f=f′·R+Δf=2 000 Hz，正是原時間尺度下待測信號中特征信號的頻率。這樣，我們就將淹沒于強背景噪聲下的微弱特征信號提取出來。這說明，將頻譜重構(gòu)方法與變尺度和阻尼比參數(shù)調(diào)節(jié)方法相結(jié)合，可以實現(xiàn)大參數(shù)條件下Duffing系統(tǒng)的隨機共振，從而實現(xiàn)微弱信號檢測。

4 實例分析

實驗在圖9所示的滑動軸承轉(zhuǎn)子實驗臺上進(jìn)行，轉(zhuǎn)軸直徑為φ12 mm，其幾何中心偏離旋轉(zhuǎn)軸線0.38 mm，滑動軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)存在彎曲不平衡故障。為了模擬微弱故障狀態(tài)，在遠(yuǎn)離軸承基座0.5 m的實驗臺面上布置了一個加速度傳感器，這樣軸彎曲故障振動信號強度通過軸承和實驗臺結(jié)構(gòu)得到進(jìn)一步衰減，傳感器可采集到模擬微弱故障的振動信號。根據(jù)故障機理，具有軸彎曲故障的旋轉(zhuǎn)機械振動信號中含有明顯的基頻信號，同時常伴有二倍頻或高次諧波成分。

圖9 滑動軸承轉(zhuǎn)子軸彎曲故障模擬實驗臺示意圖Fig.9 Sliding-bearing experimental table for shaft-bending fault experiments

圖10 轉(zhuǎn)子軸彎曲故障振動信號Fig.10 Vibration signal of shaft-bending fault

圖11 Δf=18 Hz，k=13.9，a=b=1，R=1 000時，Duffing系統(tǒng)的輸出頻譜Fig.11 The output spectrums of Duffing systemwhen Δf=18 Hz, k=13.9, a=b=1 and R=1 000

從圖11中可以看出頻率f0=27.77 Hz的信號譜峰，遠(yuǎn)大于其他信號成分，是故障信號的基頻特征。這意味著滑動軸承實驗臺存在著軸彎曲故障或不對中故障，二者的最大區(qū)別在于軸彎曲故障的信號頻譜中存在著二倍頻及高次諧波成分，但我們無法從圖11進(jìn)行判斷。為了判斷待測信號中是否存在基頻信號的高次諧波成分，我們進(jìn)一步調(diào)整參數(shù)。為了使經(jīng)過頻譜重構(gòu)和尺度變換后的m次諧波信號頻率(mf0-Δf)/R滿足小參數(shù)條件，我們須在圖11的基礎(chǔ)上增大Δf、減小R。當(dāng)Δf=25 Hz，R=1 500，同時調(diào)節(jié)Duffing系統(tǒng)(6)中參數(shù)k=1.7，a=b=1時，系統(tǒng)輸出信號頻譜如圖12所示，從中可以看出明顯的基頻、二倍頻及高次諧波成分。這樣，我們就能夠判斷出該滑動軸承實驗臺存在轉(zhuǎn)子軸彎曲故障，從而實現(xiàn)故障診斷。

圖12 Δf=25 Hz，k=1.7，a=b=1，R=1 500時，Duffing系統(tǒng)的輸出頻譜Fig.12. The output spectrums of Duffing system when Δf=25 Hz, k=1.7, a=b=1 and R=1 500

5 結(jié) 論

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Signal spectrum reconstruction stochastic resonance method based on a Duffing oscillator

LAI Zhihui1,2, RAO Xixin1, LIU Jiansheng1, LENG Yonggang2

(1. School of Mechatronical & Electrical Engineering, Nanchang University, Nanchang 330031, China；2. School of Mechanical Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

The matching relation between signal characteristic frequency and sampling frequency has a restriction on the scale-varying stochastic resonance (SR) of a Duffing oscillator. Therefore, a signal pre-processing approach based on spectrum reconstruction was studied here, and a signal spectrum reconstruction SR method based on a Duffing oscillator was further proposed. This method introduced spectrum reconstruction parameters to realize the flexible varying of signal characteristic frequency. When combined with the scale varying and damping-ratio-adjustment methods, this method realized the large parametric SR of a Duffing system under any signal characteristic frequency and sampling frequency, thus its application in weak-signal detection was extended. Both numerical simulation and fault diagnosis example analysis verified the effectiveness of the proposed method.

Duffing oscillator; stochastic resonance; spectrum reconstruction; scale varying; fault diagnosis

國家自然科學(xué)基金(51275336)；江西省自然科學(xué)基金(20161BAB216111)；江西省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項目(GJJ150068)

2015-07-06 修改稿收到日期：2015-10-16

賴志慧 男，博士，講師，1989年7月生

劉建勝 男，博士，副教授，1978年7月生

E-mail: victorljs@163.com

TH17；TN911.4

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.21.002