間隙對齒輪-轉子-軸承系統彎扭耦合振動的影響分析

向 玲, 賈 軼, 高雪媛, 邸薇薇, 李媛媛

(華北電力大學 機械工程系，保定 071003)

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間隙對齒輪-轉子-軸承系統彎扭耦合振動的影響分析

向 玲, 賈 軼, 高雪媛, 邸薇薇, 李媛媛

(華北電力大學 機械工程系，保定 071003)

綜合了動態側隙、齒面摩擦、齒輪偏心及時變嚙合剛度等因素，建立了齒輪-轉子-滾動軸承系統的彎扭耦合非線性動力學模型，通過分析動態側隙及軸承間隙對系統的影響來探究軸承端與齒輪端振動之間的耦合作用關系。結果表明：相對于無間隙系統，動態側隙下軸承端的徑向振動在高速區較為強烈，而齒輪的扭轉振動在整個轉速區幅度較大，隨轉速變化時系統提前通過非線性跳躍進入主共振區。動態側隙的改變對軸承端的振動影響不大，但對扭振作用明顯；軸承間隙的大小對系統徑向和扭轉振動有著顯著影響，隨著軸承間隙的變化，兩者的時域特征及頻譜存在著規律性的變化；另外，軸承間隙直接影響著動態側隙的大小。分析結果對含間隙齒輪轉子系統的研究具有重要的理論與工程價值。

動態側隙；彎扭耦合；軸承間隙；偏心；嚙合剛度

齒輪系統是機械系統的重要組成部分，長期以來，人們對齒輪傳動系統的振動特性進行了各種各樣的理論和實驗研究，也不斷揭示了齒輪系統的運行機理及存在的一些復雜的非線性現象。其中KAHRAMAN[1-2]通過建立多樣化的動力學模型對含間隙齒輪系統的非線性動力學特性進行了一系列深入的研究，為后續學者進行相關研究奠定了理論基礎。MORADI[3]等利用多尺度法研究分析了設計參數對齒輪非線性系統主共振、超諧和次諧共振的影響。LI等[4]研究了輪齒表面粗糙度，潤滑溫度及其他工況參數對齒輪系統振動特性的影響，結果表明這些因素對系統的彎扭耦合振動及動態嚙合起著重要作用。FARSHIDIANFAR等[5]建立了含齒側間隙和徑向間隙的動力學模型，著重分析研究了齒輪系統的混沌和分岔現象。高洪波等[6]綜合考慮了動態側隙、偏心及摩擦等因素著重研究了齒輪全齒磨損和偏心磨損下系統的振動特性。李朝峰等[7]建立了含齒輪偏心及軸承非線性的齒輪-轉子-軸承系統彎扭耦合動力學模型，并分析了各設計參量對系統振動響應的影響，但該模型中并沒有考慮嚙合剛度的時變性、齒側間隙以及齒面摩擦的作用。

本文基于上述研究，綜合考慮了動態側隙、齒輪偏心、軸及軸承等非線性因素，建立了齒輪-轉子-軸承傳動系統的非線性動力學模型，并對其進行了數值仿真分析。著重研究了齒側間隙、軸承間隙對系統彎扭耦合振動特性的影響及兩者的耦合作用關系。

1 動力學模型

圖1所示為動態條件下齒輪-轉子-軸承傳動系統的集中質量模型，各軸承部分幾何坐標原點為A、B、C、D。主/從動齒輪的理想中心O和O’均位于軸承孔的理想中心線上，按圖示主坐標系(x,y,z)的方向可得到各軸承及齒輪的固定坐標系。Oi,Gi(i= 1,2)分別為主從動齒輪的形心和質心。兩軸與各相應軸承的集中質量部分對應的當量質量為mbi(i= 1,2,3,4)。主/從動齒輪的質量為mi(i= 1,2)，對應質心的轉動慣量分別為Ji(i= 1,2)。系統輸入端電動機轉子及輸出端負載轉子對應的轉動慣量為Jm、Jp。

假設不考慮齒輪的軸向竄動，在xoy平面上，現設主、從動齒輪的形心坐標為O1(x1,y1),O2(x2,y2)，對應的質心坐標為G1(xo1,yo1)),G2(xo2,yo2)，偏心距O1G1=ρ1,O2G2=ρ2。主/從動輪的轉角為φ1,φ2，對應的振動角位移分別為θ1,θ2。設主從動輪的初始旋轉角均為0。以主動輪轉動方向為正方向，則由幾何關系可得

(1)

圖1 齒輪傳動系統的動力學模型Fig.1 Dynamic model of gear transmission system

另設軸承旋轉中心的位移坐標 (xbi,ybi) (i= 1,2,3,4)，根據軸的變形協調條件可知，主被動軸在兩齒輪旋轉中心位置x,y方向的彈性變形大小可表示為

(2)

式中:ξ1=lbi/lj(i= 1,2,j= 2;i= 3,4,j= 2)，如圖1中所示，l1,l2為主從動軸在兩軸承間的長度；lbi(i= 1,2,3,4)為主從動軸上齒輪旋轉中心到相應軸承質心的距離。由系統的幾何關系可得，在某個嚙合時刻輪齒的嚙合力如式(3)；f(…)為間隙性非線性函數。

DTE=rb1φ1-rb2φ2+y2-y1+ρ2sinφ2-ρ1sinφ1

(3)

1.1 摩擦力及摩擦力矩

齒面摩擦力可由齒輪嚙合的動態嚙合力得到，如式(4)，其中，λi,μi分別為摩擦力方向系數和時變摩擦系數，對于λi，嚙合點在節點以上取“+1”，反之則取“-1”。

(4)

對于μi，其大小隨嚙合位置作周期變化，為了接近現實，本文采用經典的Buckingham半經驗公式[8]：

(5)

其中Vsi為齒廓接觸點的相對滑動速度，由文獻[8]可知

Vsi=w1×S1i-w2×S2i

(6)

式中:S1i,S2i為齒對i之間的摩擦力對齒輪1、齒輪2的摩擦力臂，由圖1(c)可知，w1,w2分別為兩齒輪的角速度；對于S1i/S2i，當i=1時為K1N1/K1N2，當i=2時為K2N1/K2N2；當0<ε<1, 力臂可表示為

(7)

式中:ra1,ra2為主從動輪的齒頂高半徑，t1為一個雙齒嚙合時間，Pb為基圓節距，α為壓力角。

1.2 動態側隙

齒輪安裝時要留有一定的齒側間隙，其隨著齒輪中心距或齒厚的變化而變化，當齒輪系統由于軸承振動或偏心引起中心距變化時，齒側間隙可表示為:

b=2b0+2a0cosα0(tanα′-tanα0+α0-α′)

α′=arccos(a0cosα0/a′)

a′=

(8)

式中:a0,α0為初始中心距和壓力角，a’,α’為實際嚙合過程中的中心距和壓力角，b0為初始單邊齒側間隙，這樣動態嚙合力式(3)中的非線性函數表示為

(9)

1.3 時變嚙合剛度

在直齒輪傳動時，輪齒的變形及剛度均作周期變化且存在突變；有不少研究將嚙合剛度近似為矩形波或傅里葉級數的形式，但與實際結果存在一定差異，本文采用文獻[9]的能量法并結合文獻[10]的修正法進行計算。這里僅給出一對齒綜合嚙合剛度的計算公式：

k=

(10)

各參數的定義及計算公式詳見文獻[9-10]。當兩對齒同時參與嚙合時，另一對齒的嚙合剛度計算同上式，將兩對齒嚙合剛度相加即為齒輪副的綜合嚙合剛度。為了后續分析，這里給出經計算得到的一個嚙合周期內的時變剛度曲線(圖2)，齒輪參數如表1所示。

圖2 時變嚙合剛度Fig.2 Time-varying mesh stiffness

1.4 非線性軸承力模型

圖3為滾動軸承模型示意圖，假定軸承的內圈與旋轉軸、外圈與軸承座均為剛性連接，滾動體等間距排列且與滾道之間為純滾動。軸承變形主要是滾珠和滾道的接觸變形。

圖3 滾動軸承模型Fig.3 Rolling bearing model

圖3中第j個滾珠與滾道的法向接觸變形可表示為

δj=xbcosφj+ybsinφj-r0

(11)

式中:xb,yb分別為內圈中心在x,y方向的振動位移，r0為滾動軸承間隙，φj為第j個滾珠的位置角。軸承的非線性力可由軸承運動學和赫茲基理論推得[11]。

(12)

式中:nb為滾珠個數；Kc為赫茲接觸剛度系數；H(x)為Heaviside函數，當x>0，該函數返回值為1，反之，返回值為0，其反映著接觸變形與接觸力的關系。

根據以上分析，進一步引入系統的廣義坐標列陣[φmx1y1φ1x2y2φ2xb1yb1xb2yb2xb3yb3xb4yb4φb]T，求得系統的動能，勢能和耗散函數，根據拉格朗日方程可得系統的非線性動力學方程，如式(13)。

式中xi,yi為主/從動輪沿x,y方向的振動位移；xbi,ybi則對應主/從動軸軸承在x,y方向的振動位移；ksi,kti(i=1,2)分別為輸入軸和輸出軸的彎曲剛度和和扭轉剛度；csi,cti(i=1,2)則對應軸的彎曲阻尼和扭轉阻尼；cbxi,cbyi(i=1,2,3,4)為軸承的徑向阻尼；Fbxi,Fbyi為軸承的非線性力；M1,M2為輸入端和輸出端扭矩。

2 間隙對系統彎扭耦合振動的影響

間隙對系統振動特性及嚙合狀態有著重要影響，有必要對系統的動力學響應及各間隙的作用進行詳細分析。因為，式(13)綜合考慮了時變剛度和動態側隙等強非線性因素，方程參數量級差別較大，求解時易出現病態和不收斂問題，因此，采用求解穩定性及精度較高的ode15s對其進行求解，首先將方程寫成狀態方程的形式(降階)，然后設置求解精度(相對和絕對精度均為1.0×10-9)進行計算。系統參數如表1所示，軸承均選擇SKF6200，查閱軸承手冊可得軸承的詳細參數。

2.1 齒側間隙的影響分析

齒側間隙直接影響著輪齒的嚙合狀態，為了分析齒側間隙大小對系統動力學響應的影響規律，分別取初始齒側間隙b0為0 μm，0.05 μm，0.1 μm，并以無間隙作為對比對系統進行數值仿真，此時主從動軸軸承的間隙分別為1 μm，2 μm。

首先在整個轉速內分析系統的動力學響應，圖4是主從動軸上軸承(編號1和3)沿x,y方向振動位移、動態傳動誤差(DTE)隨主動軸轉頻(f)變化的RMS(均方根值)曲線。從圖中看出，無間隙時，系統在f=100(嚙頻fm=1 900) 和f=192(fm=3 648)發生扭轉方向的共振，軸承端在f=100和f=202(fm=3 838)發生x方向的共振在y方向未發現共振峰的存在，注意到扭振和軸承端徑向振動主共振頻率略有差別。而對于動態間隙系統，同樣在f=100和f=166處出現了共振峰，且彎振和扭振的峰值頻率基本接近；當增大b0時，峰值及固頻變化微弱。另外，扭振的RMS隨b0增大明顯增大(圖4(a))，同時動態側隙也隨之增大(如圖4(f))，但軸承端的徑向振動變化較小，說明了初始齒側間隙對于軸承端振動影響較弱。其次，由圖可知，對于扭振，動態側隙下的RMS比無間隙時大很多，這是因為動態側隙綜合考慮了橫向和徑向振動，其促使了扭振的加強，由式(8)也可判斷；而對于軸承端振動，在低速區，動態側隙下的均方根值和無間隙時相差不大，而在高速區，前者明顯比后者大，如圖4(b)～圖4(e)所示。總之，相對于無間隙模型，動態側隙在整個轉速區內對系統的扭振影響顯著，而在高速區則對軸承端徑向振動影響較大。另外，系統在進入主共振區(第二個峰值區域)時產生了跳躍，這種跳躍并沒有隨b0的增大而變化，但對于無間隙系統，系統在進入此區域時是連續的，這側面反映了間隙的非線性作用。

對于輪齒的嚙合狀態，對比圖5曲線可知，在主共振區域，無間隙系統嚙合力的各項指標明顯偏大，但共振區出現滯后；而在其他轉速區域，嚙合力各指標相差較小。并且，由圖5(c)可知，在共振區，有/無間隙系統均處于雙邊沖擊狀態，而動態間隙的嚙合力相對較小，其存在減弱了共振區的輪齒沖擊；在其他區域，輪齒處于無沖擊狀態，動態側隙的改變并未影響該狀態。

(13)

圖4 各參量的RMS曲線Fig.4 RMS curve of all vibration variables

圖5 嚙合力的均方根值、最大值及最小值曲線Fig.5 RMS、Maximum and Minimum curve of dynamic mesh force

進一步分析動態側隙對系統振動特性的影響，設置f=30 Hz，b0=0.1 μm，這里從頻譜的角度進行分析。首先確定該工況下各振動量的頻率成分，圖6為軸承端徑向振動的時間歷程圖及頻譜圖，以下主/被動軸軸承端分別用B1和B2表示。對于橫向(x)振動：B1處以2f1(f1=30 Hz，軸頻)頻率為主，并出現了高倍軸頻、嚙頻(fm=N1*f1=570 Hz)及其二倍頻成分，如圖6(a2)；與之類似，B2處以2f2(f1*N1/N2=11.875 Hz)頻率為主，并出現了fm及其二倍頻成分，如圖6(c2)。對于縱向(y)振動：B1處以2f1頻為主，且存在fm及其倍頻成分，如圖(b2)；B2處以2f2頻為主，且存在fm及其倍頻成分，如圖6(d2)。另外注意到，B1/B2徑向(x,y)振動在低頻處的頻帶較寬且連續，同時存在其他頻率成分，這應該與軸承的非線性有關。對于扭轉振動：時域圖(圖7)中可明顯看到沖擊的存在，且DTE及動態嚙合力(DMF) 的頻帶較寬。

DTE頻譜以fm及其倍頻為主，且存在2f1、2f2及其他隨機頻率成分(表現為低頻)。DMF頻譜以fm及其倍頻為主，且出現了f1、f2及以其倍頻為頻率間隔的頻率成分，另外也存在一些隨機頻率成分，總之DMF頻帶的頻率成分較復雜。

圖6 軸承端徑向振動的時域波形及頻譜Fig.6 Transverse vibration waveform and spectrum diagram of bearing end

圖7 DTE和動態嚙合力的時域波形及頻譜Fig.7 Waveform and spectrum diagram of DTE and DMF

為了全面了解動態側隙的作用，圖8給出了各振動量隨初始齒側間隙b0變化的三維頻譜圖。對比各圖可知，當b0變化時，無論軸承端的徑向振動或是齒輪的扭振，各頻譜中主要頻譜成分沒有明顯的增減。結合圖4可知，b0的變化對于軸承端的振動影響并不大。另外，b0對于扭振 (DTE)幅度有顯著的影響，但對DMF影響較小，同時結合式(3)及式(9)可知，初始側隙對動態側隙系統扭振的影響類似于一個線性增加的常量，其并未對DMF產生較大影響，同時該常量在頻譜中相當于直流分量，因此各頻率成分并未隨b0的變化明顯改變。當然，上述結果僅限于初始側隙在允許范圍內變化時得到。

圖8 各振動參量的三維頻譜圖Fig.8 Three-dimensional spectrum of all vibration variables

2.2 軸承間隙的影響分析

首先主/從動軸軸承用C1/C2表示，主/從動齒輪用G1/G2表示。為了分析軸承間隙的影響規律，分別取C1間隙r1為0.5 μm，1 μm，2 μm及4 μm，為了保持C1/C2間隙的定量關系，C2間隙設為2r1，b0設為0.1 μm。圖9為G1/G2徑向振動位移、DTE及動態側隙隨主動軸軸頻f變化的RMS曲線。

由圖可見，對于G1/G2的橫向(x)振動(如圖9(b)、(d) 所示)：系統在f=100 Hz(fm=1 900 Hz) 和f=166 Hz(fm=3 154 Hz)處出現共振峰，隨著C1/C2間隙的增加，在中高轉速區，曲線均小幅上移，對應振動的加強；而在低速區(多為工作轉速區)，G1/G2的各振動曲線相差較小；僅在r1=4 μm時，主動輪振動明顯較弱，而被動輪振動較強，這是由于間隙相對過大而引起軸承非線性力劇烈變化而造成的。對于G1/G2的縱向(y)振動(圖9(c)、(e))：振動在該方向上隨轉速變化比較平穩且未出現共振峰；隨著C1/C2間隙的增加，曲線整體上移，振動明顯加強，說明了間隙的增加使得該向的軸承力或軸的彎曲力明顯增加。對于扭振 (圖9(a),(f))：當軸承間隙增加時，DTE及動態側隙的RMS曲線均整體下移，扭振幅度逐步減弱。

關于軸承間隙對嚙合狀態的影響，圖10給出了DMF均方根值，最大值及最小值隨軸頻f的變化曲線。圖中可看到共振峰及跳躍現象的存在；隨著C1/C2間隙的增加，各曲線并未明顯變化，嚙合沖擊狀態變化很小，說明軸承間隙雖引起徑向振動的改變，但這種改變所引起力或力矩的變化并不足以使輪齒嚙合狀態發生大的改變。

同樣，從頻譜的角度進一步分析軸承間隙的影響，這里設f=30 Hz，b0=0.1 μm；圖11為各振動量隨C1間隙r1(r2=2r1)變化的三維頻譜圖。由于G1/G2徑向振動頻譜成分基本與軸承端(圖6,7)相同，在此不再贅述。

圖9 各振動參量的RMS曲線Fig.9 RMS curve of all vibration variables

圖10 嚙合力曲線Fig.10 RMS、Maximum and Minimum curve of dynamic mesh force

對于G1/G2的橫向振動(圖11(c), (e))，各倍頻成分變化不大，以主頻和嚙頻變化為主。主動輪：主頻2f1幅值隨r1呈現先增后減再增的趨勢，在r1=3.5 μm取最小，如圖12(a)；嚙頻fm幅值變化如圖12(c)，呈現先減后增的趨勢，在r1=1.5 μm取最小，但幅值變化不大；被動輪：主頻2f2幅值變化同主動輪主頻2f1，在r1=1.5 μm取最小(圖12(b))，fm幅值在r1=0.4 μm取最小(圖12(d))。對比可知G2主頻平均幅值比G1大，而G1嚙頻平均幅值較G2大，G2振動相對較強。

對于G1/G2的縱向振動(圖11(d), (f))，仍以主頻和嚙頻為主。主動輪：主頻2f1幅值隨r1呈現先增后減的趨勢，在r1=2.8 μm取最大，如圖13(a)所示；嚙頻fm幅值變化規律性不強，但波動較小(圖13(c))。被動輪：主頻2f2幅值先增后減再增，在r1=2.8 μm最小(圖13(b))；而嚙頻fm幅值則隨r1不斷跳變，但變化幅度較小(圖13(d))。

圖11 各振動量的三維FFT譜圖Fig.11 Three-dimensional spectrum of all vibration variables

對于G1/G2的扭振(圖11(a), (b))，振動頻帶較寬，以嚙頻及其倍頻為主。當r1變化時，扭振頻帶以G1/G2徑向振動的主頻(2f1,2f2)變化為主。主動輪：2f1幅值呈現先增后減再增的趨勢，同圖12(a)中x1向振動，在r1=3.2 μm取最大，如圖14(a)；2f2幅值也呈現先增后減再增的趨勢，同圖12(b) 中x2振動，在r1=1.5 μm取最小 (圖14(b))；嚙頻fm幅值總體上呈遞增趨勢，幅值較大(圖14(c))。對于嚙合力，嚙頻fm幅值則隨r1不斷跳變，無明顯規律，變化幅度較小(圖14(d))。

圖12 主/被動輪沿x方向振動的主頻幅值隨軸承間隙的變化Fig.12 The main frequency amplitude curve via bearing clearance along the X direction

圖13 主/被動輪沿y方向振動的主頻幅值隨軸承間隙的變化Fig.13 The main frequency amplitude curve via bearing clearance along the Y direction

圖14 扭振的主頻幅值隨軸承間隙的變化Fig.14 The main frequency amplitude curve of torsional vibration via bearing clearance

綜上所述，合理范圍內增大軸承間隙，齒輪縱向(y向)振動明顯增強；橫向(x向)振動在中高速區內增強，而在低速區內變化較小，而當間隙相對較大時，才會有較大變化；對于扭振，其幅度隨軸承間隙的增大則逐漸減小，動態側隙隨之也逐漸減小，但輪齒的嚙合狀態并未明顯變化；另外，軸承間隙的改變并未對系統扭振或彎振的固有頻率有所影響；而在頻域內，齒輪徑向振動的主頻(2f1,2f2)幅值受軸承間隙影響較大，其隨間隙變化時出現了最值，嚙頻(fm)幅值同樣受間隙的影響，但其變化幅度較小。扭振頻譜中包含齒輪徑向振動的主頻成分(2f1,2f2)，軸承間隙對其影響主要表現在對這兩種頻率成分的影響，而對于譜中嚙頻及其倍頻成分的影響較弱。

3 結 論

本文建立了直齒輪傳動系統的彎扭耦合非線性動力學模型，主要研究了初始側隙對齒輪扭振和軸承端振動的影響、軸承間隙對齒輪扭振和徑向振動影響，以此來探究軸承端振動與齒輪端振動之間的作用關系。所得結論如下：

(1) 相對于無間隙系統，動態側隙下齒輪扭振幅度明顯較強；對于軸承端的徑向振動，在高速區，動態側隙系統的振動幅度較無間隙系統大，而在低速區(大部分系統的工作區域)，兩者相差較小；動態側隙的影響作用與齒輪轉速有著密切的關系。另外，動態側隙下系統的主共振較無間隙時有所提前，且在進入主共振區域時出現常見的非線性跳躍現象。再者，隨著初始側隙的增加，系統的扭振幅度隨之增大，但軸承端的徑向振動變化較小；而初始側隙的增加對系統振動的各主要頻率成分影響并不大。

(2) 軸承間隙對齒輪的徑向振動和扭轉振動影響較大，隨著軸承間隙的增加，齒輪的徑向振動整體上均有所加強，但扭振的幅度有所降低；軸承間隙對齒輪的嚙合力、嚙合狀態及系統的彎、扭固有頻率影響很弱。而在頻域內，隨著軸承間隙的增加，齒輪徑向振動的主頻成分均呈現規律性的變化，且在此過程中有最值的出現；扭振頻譜的變化表現在以徑向振動主頻為頻率成分的規律性變化，同樣有最值的存在。而在各頻譜中，嚙頻及其倍頻成分變化較小。這對軸承間隙的選擇具有一定的理論指導意義。

(3) 總體上，初始側隙的變化(動態側隙隨之變化)對軸承端的徑向振動影響不大，而軸承端的間隙變化則對齒輪端的徑向和扭轉振動的影響顯著，且軸承間隙直接影響著動態側隙的大小。

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Effects of backlash on bending-torsion coupled vibration of a gear-rotor bearing system

XIANG Ling, JIA Yi, GAO Xueyuan, DI Weiwei, LI Yuanyuan

(Mechanical Engineering Department, North China Electric Power University, Baoding 071003, China)

A dynamic model for bending-torsion coupled vibration of a gear-rotor-bearing system was developed considering dynamic backlash, tooth face friction, gear eccentricity and time-varying mesh stiffness. The coupled vibration relationship between bearing end and gear end was investigated by analyzing effects of dynamic backlash and bearing clearance on the system. The results showed that compared with a system without backlash, the radial vibration of the bearing end of the system with dynamic backlash is stronger within a high rotating speed zone, while the amplitude of the gear torsional vibration is larger within the whole rotating speed range; the system with dynamic backlash enters the main resonance region in advance through nonlinear jump; the change of dynamic backlash has little effect on the vibration of bearing end, but it has an obvious effect on the gear torsional vibration; the magnitude of bearing clearance has a significant influence on the radial and torsional vibrations of the system; with the variation of bearing clearance, the time-domain characteristics and frequency spectra of two vibrations vary regularly; moreover, the bearing clearance directly affects the magnitude of dynamic backlash. The results had important theoretical and engineering values for studying gear-rotor systems with clearances.

dynamic backlash; bending-torsion coupling; bearing clearance; eccentricity; mesh stiffness

國家自然科學基金資助項目(51475164)

2015-09-07 修改稿收到日期：2015-11-07

向玲 女，博士,教授，1971年生

TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.21.001