變質量完整系統Tzénoff方程Mei對稱性的共形不變性與守恒量

鄭世旺

(商丘師范學院 物理與電氣信息學院，河南 商丘 476000)

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變質量完整系統Tzénoff方程Mei對稱性的共形不變性與守恒量

鄭世旺

(商丘師范學院 物理與電氣信息學院，河南 商丘 476000)

針對變質量的完整約束力學系統建立了相應的Tzénoff方程,給出了Tzénoff方程Mei 對稱性共形不變性成立時所需的條件,進一步研究了Mei對稱性共形不變性所能導出的守恒量，得到了直接用Tzénoff函數來表達的該守恒量的表達式和能夠導出這種守恒量的判定方程,最后用實例來說明研究結果的應用.

變質量；完整約束系統，Tzénoff方程，共形不變性，守恒量

0 引 言

眾所周知，動量守恒、動量矩守恒、能量守恒等物理量的守恒規律，不但具有明顯的物理意義，而且在工業革命、航空航天技術、國防科技等領域有著廣泛應用.其實，在不同的動力學系統中，也存在著具體的、形式不同的守恒量，在這些守恒量中，有的物理意義明顯，有的物理意義不明顯，還有的守恒量須進一步探究其潛在的物理意義及其應用．通過什么方法來尋找實際力學系統的守恒律呢？德國科學家Noether給出了一種方法[1].進入新的世紀以來,對稱性和守恒量的研究成為了我國學者的一個熱點,并取得了豐碩成果[2-10].上世紀末,俄羅斯學者Galiullin等人首次研究了Birkhoff 系統的共形不變性或共形對稱性，提出了共形不變性和共形因子的概念[11].我國學者從2008年開始研究了Lagrange 系統的共形不變性及其守恒規律[12]，從此推動了共形不變性及其守恒量的研究，現已擴展到許多領域[13-17]．Tzénoff方程如同Lagrange方程、Appell方程、Birkhoff方程、Nielsen方程一樣是動力學微分方程的一種，近10年來關于該動力學方程對稱性與守恒量的研究取得了不少成就[18-24],但關于Tzénoff方程共形不變性的研究成果不多，目前才剛剛起步[25-26]．

由于空中飛行的導彈、火箭、衛星、噴氣飛機等航天器一般都是屬于質量變化的動力學系統，故變質量動力學系統的研究對航空、航天領域有重要的理論價值，但由于系統的質量在不斷變化之中，使其動力學研究變得更復雜、更困難，常質量系統僅僅是其特殊情況．本文針對完整約束力學系統在質量變化的條件下，研究了Tzénoff方程Mei對稱性的共形不變性及其守恒量，力求給出該系統Mei對稱性共形不變性的判定方程及其所能導出守恒量的具體形式及產生這種守恒量的必備條件，最后給出了研究結果的一個應用．

1 變質量完整系統的Tzénoff方程

若系統的質點數量為N，時刻t時第i個質點的質量和位矢分別為mi和ri,，在時間變化微量dt后,質點質量的變化量為dmi．則質點的質量可由廣義坐標、廣義速度和時間來確定，即

(1)

系統的Tzénoff函數為[27]

(2)

(3)

變質量完整約束力學系統的Tzénoff方程應為[24]

(4)

由方程(4)得

(5)

通過(5)式可直接求出廣義加速度[21]

(6)

(6)式對時間求導可得到廣義加加速度

(7)

若構造Tzénoff函數為

(8)

則變質量完整系統的Tzénoff方程將有更簡單的形式

(9)

方程(4)和方程(9)雖然表面形式不同，其實是等價的．

2 變質量完整約束力學系統Tzénoff方程Mei對稱性的共形不變性

設時間和廣義坐標的無限小變換

或

(10)

其中ε是一無限小參數，ξ0,ξs為無限小生成元.于是有

(11)

(12)

(13)

其中

則稱這種方程的形式不變性為變質量完整約束力學系統Tzénoff方程的Mei對稱性．

若把(11)～(13)式代入方程(4)和(9)可得到

判據 若質量變化的完整約束力學系統Tzénoff函數K，在生成元ξ0,ξs變換下，滿足方程

(14)

或

(15)

則Tzénoff方程具有Mei對稱性.

(16)

或

(17)

(18)

或

(19)

成為

(20)

反之,若Tzénoff方程(4)成立共形不變性,方程(16)和(18)相減得到

(21)

3 變質量完整約束力學系統Tzénoff方程Mei對稱性的共形不變性所產生的守恒量

完整約束力學系統在質量變化時，Tzénoff方程Mei對稱性的共形不變性由于限制條件較多,尋找守恒量較為困難,但若滿足下列條件，也可產生守恒量.

定理 完整約束力學系統在質量變化時，對于Tzénoff方程Mei對稱性共形不變性的生成元ξ0,ξs，若存在函數G使

(22)

或

(23)

則系統直接產生一種新守恒量

(24)

或

(25)

(22)、(23)式中

下面僅以第一種情況進行證明

證明 把(24)式對時間求導并考慮到方程(4)和Mei對稱性共形不變性的判定方程(14)、(16)成立，有

4 應用例子

已知變質量完整力學系統的Tzénoff函數為

(26)

其中

m(t)=m0e-γt, (m0和γ為常數)

(27)

微粒分離的相對速度為

(28)

試研究該力學系統Mei對稱性的共形不變性和其導出的守恒量.

解 由式(27)、(28)和(3)可知P1=0, P2=0，把Tzénoff函數(26)代入變質量完整系統的Tzénoff方程(4)，得

(29)

有

(30)

取ξ0=0,ξ1=q1,ξ2=q2,則有

(31)

有

(32)

所以,共形不變性的判定方程(16)成立,變質量完整約束力學系統具有Mei對稱性的共形不變性,其共形因子

(33)

由(29)、 (32)式的關系,有

(34)

(35)

故Mei對稱性判據方程(14)成立,系統同時也具有Mei對稱性.

根據結構方程(22)得到.

(36)

由(36)、(24)式得新守恒量

5 結 論

針對完整約束力學系統在質量變化的狀態下，給出了兩種等價的Tzénoff方程，探究了該狀態Mei對稱性的共形不變性及其產生的守恒量，并給出了Mei對稱性共形不變性的兩種等價的判定方程及其所能產生的守恒量．該研究結果對探究變質量系統在共形不變性條件下的守恒規律有一定的參考價值．

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[責任編輯：徐明忠]

Conformal invariance and conserved quantity of Mei symmetry for Tzénoff equations in holonomic systems with variable mass

ZHENG Shiwang

(School of Physics and Electrical Information,Shangqiu Normal University,Shangqiu 476000,China)

The corresponding Tzénoff equation is established for the holonomic systems with variable mass.Then the conditions which needed to form the conformal invariance and conserved quantity of Mei Symmetry for Tzénoff equations are given.The conserved quantity derived from conformal invariance of Mei symmetry is further explored.By using the Tzénoff functions,the discriminating functions of conserved quantities and the criterion equations which deduce the conserved quantities are directly obtained.Finally,an example is given to illustrate the application of the research results.

variable mass;holonomic constraint systems;Tzénoff equations;conformal invariance;conserved quantity

2016-09-22

國家自然科學基金資助項目(11372169)

鄭世旺(1963—)，男，河南蘭考縣人，商丘師范學院教授，主要從事分析力學的研究.

O316

A

1672-3600(2016)12-0032-05