具有執行器飽和不確定線性系統的控制

景 麗, 董秋陽

(沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034)

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具有執行器飽和不確定線性系統的控制

景 麗, 董秋陽

(沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034)

主要研究了一類具有執行器飽和不確定線性系統的控制問題,探索當執行器飽和與不確定項同時存在時,系統漸近穩定的條件,并證明所得結論。首先,根據扇形區域法將飽和函數的飽和項表示出來。同時,根據Lyapunov穩定性理論,給出具有執行器飽和的線性系統漸近穩定的充分條件,并設計相應的狀態反饋控制器,使系統漸近穩定。然后,借助橢球體參考集,進行系統吸引域大小的估計。為了便于使用Matlab軟件進行求解,將上述系統漸近穩定的充分條件轉化為線性矩陣不等式的形式,進而利用LMI工具箱進行求解,得到相應數據。最后,給出仿真算例,證明了結論是有效可行的。

連續系統; 執行器飽和; 不確定; 線性矩陣不等式

0 引 言

飽和在工業過程和實際生活中是十分常見的。其中,執行器飽和更是影響著絕大多數系統。而系統包含的不確定性,也極大地影響著系統的穩定。因此,本文針對具有執行器飽和不確定線性系統的控制問題進行研究是十分必要的。飽和系統是在1969年由A.T.Fuller首次提出的,他提出如果輸入飽和系統的積分器長度大于或等于2,不能使線性飽和系統全局穩定。對于飽和系統,其研究成果是顯著的,如文獻[1-5]等。對于執行器飽和系統的研究,其重點在于如何處理飽和項。文獻[6]研究執行器飽和系統,運用扇形區域法對飽和項進行了適當處理,從而得到了執行器飽和系統的穩定性條件。文獻[7]首次運用凸組合方法對飽和項進行處理。文獻[8]提出了一種“組合Lyapunov函數”法。文獻[9-10]主要運用Finsler’s引理和Lyapunov函數法。應用不同方法,以上文獻均實現了對飽和項的處理,得到了系統穩定的條件。

目前,國內外學者對執行器飽和系統的研究多是基于確定性線性系統上,其研究成果仍然具有很強的保守性,例如文獻[11-12]都是研究執行器飽和系統的穩定問題,并沒有研究當系統帶有不確定項時,系統想要達到穩定所需要的條件。本文則研究在執行器飽和的基礎上,系統各參數均含有不確定項的情況。另外飽和項的處理,控制器的設計等方面均有良好的突破。

1 問題描述

考慮不確定線性飽和系統:

(1)

其中:x∈Rn為系統狀態向量;u∈Rm為控制輸入向量;A、B為適當維數的常矩陣;ΔA、ΔB為相應維數的不確定矩陣;且飽和非線性函數sat(·)定義如下:

sat(u)=[sat(u1),sat(u2),…,sat(um)]T

其中δ>0。

令ΔA=D1EF1,ΔB=D2EF2,其中D1,D2,F1,F2為已知適維矩陣。

引入狀態反饋控制律:

(2)

其中η∈Rn×1,則式(1)的閉環系統:

(A+D1EF1)x+(B+D2EF2)[Kx+ηsat(x)] =

(3)

本文的研究目的是設計適當狀態反饋控制器,使系統漸近穩定。

下面給出進行本文研究需要的相關定義、定理等。

定義2 橢球集合[13]:P>0,P∈Rn×n,ρ>0為標量,定義橢球體

定義3 吸引域[13]:假設系統的初始點x(0)=x0∈Rn,系統的解定義為φ(t,x0),因此它的吸引域是

引理1[14]給定矩陣A、L、E、F, 若FTF≤I,則有以下不等式成立

其中:α>0,P>0.

1) S<0

引理3[15]A,D,E和F為適當維數的實矩陣,其中A是對稱的,A+DFE+ETFTDT<0,對所有滿足FTF≤I的矩陣成立,當且僅當存在一個常數ε>0,使得A+εDDT+ε-1ETE<0。

2 不確定執行器飽和系統的控制及吸引域估計

2.1 不確定執行器飽和系統的控制

定理1 對于不確定飽和線性系統(1),在控制器(2)作用下,其中η∈Rn×1,若存在矩陣Q∈Rm×n以及正定矩陣N>0滿足不等式

則不確定飽和線性系統(1)是原點局部漸近穩定的。

證明 對于式(2),由范數的三角不等式性質可得

令‖Kx‖∞<1-‖η‖∞,ρ1=1-‖η‖∞, 則

假設V=xTPx是系統(3)的李雅普諾夫函數,則其沿著該系統對時間的導數為

(4)

其中

(5)

式(5)應用引理1,可得

(6)

因此,式(4)可以轉換為

(7)

由引理3,對上式進一步整理,可得

(8)

在式(8)兩端同乘P-1,得

(9)

令N=P-1,Q=KP-1,將N,Q代入式(9)得

由引理2得到

2.2 吸引域估計

根據前一部分給出的系統穩定條件,通過橢球體參考集進行吸引域的估計,進而獲得最大的吸引域,從而找出系統漸近穩定的最大區域。

此部分的研究應滿足以下幾個式子:

(10)

(11)

(12)

其中式(10)是上文求得的系統穩定的條件,式(11)將區域限制在橢球體內,式(12)表示橢球包含在多面體內。

式(11)等價于

(13)

式(12)等價于

(14)

于是優化問題可以轉化為

(15)

其中γ=σ-2。

利用LMI工具箱即可求出式(15)的解。

3 仿真算例

對于不確定飽和線性系統(1)

設系統狀態矩陣、輸入矩陣為

另外設

利用Matlab的LMI工具箱求解不等式組(15)得到結果:

γ=1.242 4

K=[-0.468 4;-0.640 1]

其中K是控制器增益矩陣。

系統初始狀態選為:x=(2,0.5)T,則在上述狀態反饋控制器作用下,系統漸近穩定,0.940 8x1x1+0.290 2x1x2+0.592 5x2x2=1。如圖1、圖2所示。

圖1 系統狀態軌跡圖

圖2 系統吸引域圖

4 結 論

本文研究了一類具有執行器飽和不確定線性系統的控制問題。通過查閱相關書籍與文獻并根據國內外學者的諸多研究成果,了解到大多數對控制系統的研究都是針對執行器飽和系統進行的,而對于將執行器飽和與不確定性相結合的情況,到目前為止,國內外學者所進行的研究仍然較少。本文正是研究執行器飽和與不確定項同時存在時,要使系統達到穩定所需要滿足的條件。因此,本文研究具有一定的創新性。首先,借助扇形區域法處理飽和項。然后,根據Lyapunov穩定性理論及相關引理,設計適當的狀態反饋控制器,給出系統漸近穩定的條件。最后,通過仿真算例驗證了結果的有效性和正確性。

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Control of uncertain linear systems with actuator saturation

JINGLi,DONGQiuyang

(College of Mathematics and Systems Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

In this paper, we study a class of uncertain linear systems with actuator saturation. We mainly explore the stability criterion of the system when actuator saturation and uncertainties exist at the same time, and prove the conclusion. Firstly, the study uses the sector region method to dispose saturation. At the same time, according to the Lyapunov stability theory, the study gets the stability criterion and designs the state feedback controller to make the system asymptotically stable. Secondly, with the help of ellipsoid

et, the study estimates the attraction domain size of the system. In order to use MATLAB toolbox, the study changes the stability criterion into linear matrix inequality, and gets the corresponding data. Finally, the study gives out a numerical example and it proves that the conclusion in this paper is effective and feasible.

continuous system; actuator saturation; uncertainly; linear matrix inequality

2016-10-02。

遼寧省教育廳科學研究一般項目(L2014435)。

景 麗(1967-),女,遼寧沈陽人,沈陽師范大學副教授,博士。

1673-5862(2016)04-0413-06

O436

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2016.04.007