量子與經典對應:Dirac方程中的速度算符

張治國, 封文江, 鄭 偉, 陳 皓, 崔 崧

(沈陽師范大學 物理科學與技術學院, 沈陽 110034)

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量子與經典對應:Dirac方程中的速度算符

張治國, 封文江, 鄭 偉, 陳 皓, 崔 崧

(沈陽師范大學 物理科學與技術學院, 沈陽 110034)

由量子力學中的Bohr對應原理可知,在大量子數情形下,量子力學應過渡到經典力學。在經典極限下,由Heisenberg對應原理可知,厄密算符的量子矩陣元對應經典物理量的Fourier展開系數。利用Heisenberg對應原理研究相對論效應的自由粒子和在勻磁場中的帶電粒子的量子經典對應問題。將Heisenberg對應原理應用到相對論領域的Dirac方程,計算出自由粒子的Dirac方程中的α算符及其經典近似,并且研究自旋1/2的帶電粒子在勻磁場中的Dirac方程情形。對于相對論效應的自由粒子和在勻磁場中的帶電粒子,Dirac理論中的α算符將對應經典的速度。

Heisenberg對應原理; Dirac方程; 速度算符

0 引 言

自量子力學誕生起,人們就開始利用波函數或Schr?dinger方程來研究量子與經典的對應問題[1-8]。Bohr原理指出,在大量子數近似下量子力學應過渡到經典力學。在后來的研究中,人們逐漸發現Heisenberg對應原理(HCP)在量子與經典的對應問題的作用[9-15]。HCP以量子矩陣元為基點,認為在經典極限下,量子矩陣元對應于經典物理量的Fourier展開系數。由HCP可知,物理量所有可能的矩陣元之和將給出經典運動方程的解,即在大量子數近似下,有

(1)

式中ψn(x,t)為體系中的波函數,厄密算符F應該對應于一個經典物理方程的解。

在Hilbert空間中,粒子與反粒子在各自獨立的空間里運動,因此應該分別應用HCP來求解Dirac方程的正能解和負能解(對應粒子與反粒子)。本文以正能解波函數研究了相對論領域的Dirac方程里的速度算符,計算表明,在經典近似下,速度算符α對應著經典物理的速度量。

1 Dirac方程

考慮相對論情形下自旋1/2的自由粒子的哈密頓量:

相應Dirac方程:

(2)

式(2)的正能解可寫成形式為ψ(x,t)=ψ(x)exp(-iω(t-t0))

(3)

其中:χs為泡利算符σz的本征態(σzχs=sχs),s=±1;V為相空間歸一化常數。

由式(2)得:

(4)

2 磁場中的Dirac方程

相應的Dirac方程為

(5)

假設波函數形式取為

(6)

將波函數(6)代入Dirac方程(5),有

(7a)

(7b)

(8)

將式(8)代入第1個方程(7a),得

下面計算速度算符的矩陣元。

(9)

(10a)

(10b)

3 經典極限

在經典近似下n→∞,(10a),(10b)中αnx(t),αny(t)分別為

(11a)

(11b)

(12)

(13a)

(13b)

4 結 論

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Quantum and classical correspondence for velocity operator in Dirac equation

ZHANGZhiguo,FENGWenjiang,ZHENGWei,CHENHao,CUISong

(College of Physical Science and Technology, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

Due to Bohr correspondence principle in the quantum mechanics, quantum mechanics go to classical mechanics in the case of large quantum number. Based upon Heisenberg correspondence principle, quantum matrix element of a Hermitian operator reduces to the coefficient of Fourier expansion of the corresponding classical quantity in the classical limit. Using Heisenberg correspondence principle, quantum-classical correspondence of the relativistic free particle and the 1/2 spin charged particles in a constant magnetic field are studied. Applying Heisenberg correspondence principle to Dirac equation in relativistic realm, the operator of free particle in the Dirac theory and quantum-classical correspondence are obtained,and 1/2 spin charged particle in a constant magnetic field in Dirac equation is also studied. For the relativistic free particle or the charged particle in a constant magnetic field, the velocity operator in the Dirac theory will reduce to the classical velocity.

Heisenberg correspondence principle；Dirac equation；velocity operator

2016-03-17。

遼寧省教育廳科學研究一般項目(L2014442)。

張治國(1977-),男,遼寧沈陽人,沈陽師范大學講師,碩士。

1673-5862(2016)04-0441-04

理論與應用研究

O413.1

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2016.04.013