基于MDADT方法的離散切換系統L2增益分析

劉玉忠, 王嘉慧

(沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034)

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基于MDADT方法的離散切換系統L2增益分析

劉玉忠, 王嘉慧

(沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034)

主要研究一類離散時間的線性切換系統的穩定性和L2增益問題,將應用一種模式依賴平均駐留時間(MDADT)的方法來分析這類離散時間線性切換系統的L2增益屬性。模式依賴平均駐留時間是指在系統每個切換模式下都有自己的平均駐留時間,這使得駐留時間與系統的模式相關。因此,旨在找到一個準確的可容許的切換信號下的MDADT值,使得整個系統是穩定的。利用多Lyapunov函數方法得到系統穩定及L2增益屬性的充分條件,該條件是典型的線性矩陣不等式,可用LMIs直接來求解。MDADT方法的引入,使得駐留時間小于一般情況下的平均駐留時間,從而使得系統全局一致指數穩定的條件具有更少的保守性。

指數穩定; 模式依賴平均駐留時間; 離散線性切換系統;L2增益

0 引 言

切換系統是由一系列有限的子系統和一個切換規則構成,其切換規則決定哪一個子系統被激活。帶有某種限制的切換信號可以看作穩定或鎮定這類切換系統的一種有力的工具[1]。

在這些切換策略中,平均駐留時間(ADT)切換是較普遍也非常典型的一種,它保證了在有限時間內僅有限個切換,并且在任意2種連續的切換模式中切換所需的平均時間應不小于一個常量[2]。在近些年,ADT已經在文獻[3-6]多次被用來分析很多切換性系統的穩定問題。

然而,ADT切換的特性是計算在2種相鄰的不同切換中切換的平均時間,使之不小于一個正常數τa,文獻[7]介紹的就是應用這種ADT切換來研究系統的穩定性。由于平均駐留時間依賴于2種獨立模式切換的子系統類Lyapunov函數的增長率和Lyapunov函數的衰變率,從而產生了一定的保守性。為了更好的解決這一問題,文獻[8]中介紹了一種新的模式依賴平均駐留時間(MDADT),使得ADT的保守性大幅度降低。

盡管利用MDADT方法分析這種切換系統的穩定已經有了一些研究[8-9],但如何應用MDADT方法來解決離散時間切換系統的L2增益問題仍然并不多見,這也促使了本文的研究。

1 問題描述

考慮如下的離散線性切換系統:

(1)

其中:x(t)∈Rn和Z(t)∈Rm分別表示狀態變量和控制輸出;w(t)∈L2[0,∞)是擾動輸入;σ(t)是切換信號,在有限集合S={1,…,M}中取值,M是子系統個數。在切換序列0

記號:Rn表示n維歐氏空間,P>0(≥0)表示P是正定實對稱矩陣(半正定)。

定義1 對切換信號σ(t),t2≥t1≥0,設Nσ(t1,t2)表示在區間(t1,t2)上的切換次數,若存在正數N0和τa,使Nσ(t1,t2)≤N0+(t2-t1)/τa成立,則τa叫做平均駐留時間。

定義3 對切換信號σ(t),?T≥t≥0,設Nσp(T,t)表示在區間[t,T]上第p個子系統被激活的切換次數,Tp(T,t)表示在區間[t,T]上第P個子系統的運行時間,其中p∈S,如果存在正數Nop和τap使得Nσp(T,t)≤Nop+Tp(T,t)/τap?T≥t>0,可以稱σ(t)有模式依賴平均駐留時間(MDADT)τap,稱Nop為模式依賴振動界。

引理 考慮線性切換系統(1),令γ>0,0<λ<1,μ≥1。如果存在矩陣Pp>0,?(p,q)∈S×S,p≠q,使得

(2)

(3)

則滿足ADT

(4)

的任意切換信號下,系統有L2增益屬性,且當w(t)=0時全局一致指數穩定。

證明 對于系統(1),定義Lyapunov函數如下:

(5)

這里Pp為正定矩陣且滿足式(2)、式(3)條件,則由式(1)、式(2)、式(5)和Schur補引理可得到

對于?T>0,令t0=0,t1,t2,…ti,ti+1,…表示區間[0,T]上的切換時刻,則通過上式可得

(6)

令L(t)=γ2wT(t)w(t)-ZT(t)Z(t),另一方面,可由式(3)和式(5)得到

則由式(6)可知

然后,結合定義1和上式可得到

假設系統(1)零擾動輸入,并且對于?j∈[t0,T),L(j)=0,于是由上式得

于是可得到結論,如果ADT滿足條件(4),當T→∞時,Vσ(t)(t)趨近于零,因此系統全局一致指數穩定。

接下來分析系統(1)的L2增益屬性,在零初始狀態下,可以得到

(7)

對式(7)兩邊同時乘以eα·(tk-1-t0),得

由定義2可以斷定,當系統(1)在任意切換信號下帶有式(4)條件的ADT且滿足條件式(2),式(3)時有L2增益屬性,并且是全局一致指數穩定的。

2 主要結果

定理 考慮線性切換系統(1),令γ>0,0<λp<1,μp≥1,p∈S。如果存在矩陣Pp>0,?(p,q)∈S×S,p≠q,使得

(8)

(9)

則滿足MDADT

(10)

的任意切換信號下,系統有L2增益屬性且當w(t)=0時全局一致指數穩定。

證明 定義Lyapunov函數如下:

(11)

這里Pp為正定矩陣且滿足式(8)、式(9)條件,則由式(1)、式(8)、式(11)和引理,可直接得到

(12)

類似于引理,可由式(9)和式(11)以及上式得到

然后,結合定義3和上式可得到

假設系統(1)零擾動輸入,并且對于?j∈[t0,T),F(j)=0,于是由上式得

(13)

于是可得到結論,如果MDADT滿足條件(10),當T→∞時,Vσ(t)(t)趨近于零,系統漸近穩定。

接下來,分析系統(1)的L2增益屬性,在零初始狀態下,結合式(13)和引理可以得到

由定義2可以斷定,當系統(1)在任意切換信號下帶有式(10)條件的MDADT且滿足條件式(8)、式(9)時有L2增益屬性,并且是全局一致指數穩定的。

3 結 論

本文討論了一類離散時間線性切換系統的L2增益問題,通過應用MDADT切換的方法進行研究,所提出的MDADT切換使得駐留時間與系統的模式相關,比ADT切換具有更少的保守性。最后通過結合多Lyapunov函數和MDADT的方法,給出離散時間切換系統全局一致指數穩定且具有L2增益的充分條件。

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An MDADT-Based approach forL2-gain analysis of discrete-time switched systems

LIUYuzhong,WANGJiahui

(College of Mathematics and Systems Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

In this article, we study the stability and theL2gain analysis problem for a class of discrete-time switched linear systems. A mode-dependent average dwell time (MDADT) approach is applied to analyze theL2gain performance for these discrete-time switched linear systems. The proposed switching law is the average dwell time (ADT) switching in that each mode in the underlying system has its own ADT. Therefore, in this article, we aim at finding a more general MDADT such that a set of admissible switched signals can be found and the underlying system is stable. Taking advantage of multiple Lyapunov functional method, a sufficient condition is obtained to guarantee the globally uniformly exponentially stable (GUES) with theL2gain performance for the underlying systems. The condition is a typical linear matrix inequality, we can use LMIs to solve it; because MDADT is less than the commonly average time, a less conservative result is presented with this approach.

exponential stability; mode-dependent average dwell time; discrete-time switched system;L2gain

2016-07-06。

國家自然科學基金資助項目(11201313)。

劉玉忠(1963-),男,遼寧新賓人,沈陽師范大學教授,博士。

1673-5862(2016)04-0409-04

TP273

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2016.04.006