高中數(shù)學(xué)常見三種解題思路的研究

常曉兵

（新疆大學(xué)附屬中學(xué) 新疆烏魯木齊830001）

高中數(shù)學(xué)常見三種解題思路的研究

常曉兵

（新疆大學(xué)附屬中學(xué) 新疆烏魯木齊830001）

高中數(shù)學(xué)題目繁多，很多學(xué)生都深陷題海，難以自拔。這就是在平時(shí)的訓(xùn)練中，只注重解題，而忽視了總結(jié)。造成學(xué)數(shù)學(xué)越學(xué)越累，感覺有做不完的題，直至筋疲力盡逐漸對(duì)數(shù)學(xué)失去興趣。很多題目都是有共同的解題思路，這需要我們做完題后“回頭看看”，把這些有共同特征的題目放在一起，就會(huì)看出他們的共同之處。

在浩瀚的題海中通過筆者的總結(jié)、歸納，以下三種方法在高中數(shù)學(xué)題目解題過程中出現(xiàn)的頻率非常高，現(xiàn)將這三種方法的解題思路、過程及常見題型總結(jié)精煉出來，方便廣大學(xué)子乘風(fēng)破浪，在題海中揚(yáng)帆遠(yuǎn)航。

一、待定系數(shù)法的應(yīng)用策略

對(duì)于某些數(shù)學(xué)問題，如果得知所求結(jié)果具有某種確定的形式，則可引進(jìn)一些尚待確定的系數(shù)（或參數(shù)）來表示這種結(jié)果，然后利用已知條件通過變形與比較，根據(jù)恒等關(guān)系列出含有待定系數(shù)的方程（組），解之即得待定的系數(shù)，進(jìn)而使問題獲解，這種常用的數(shù)學(xué)基本方法稱之為“待定系數(shù)法”。待定系數(shù)法的實(shí)質(zhì)是方程思想，這個(gè)方法是將待定的未知數(shù)與已知數(shù)統(tǒng)一在方程關(guān)系中，從而通過解方程（組）求得未知數(shù)。

運(yùn)用待定系數(shù)法求解問題，其基本步驟是：第一步，確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式；第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。

題型一：用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式

例1：已知函數(shù)f（x）＝x2，g（x）為一次函數(shù)，且一次項(xiàng)系數(shù)大于零，若f（g（x））＝4x2－20x＋25，求g（x）的表達(dá)式。

破題切入點(diǎn)：一次函數(shù)的解析式具有固定的形式y(tǒng)＝kx＋b，求函數(shù)的解析式就是求出參數(shù)k，b，根據(jù)f（g（x））＝4x2－20x＋25，比較函數(shù)兩邊的系數(shù)即可解決問題。

題型二：用待定系數(shù)法解幾何問題

例2：若焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于焦距的，則該雙曲線的漸近線方程是（ ）

答案：C

則它的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為d，

所以漸近線與x軸的夾角為30°，

總結(jié)提高：待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程.要判斷一個(gè)問題是否適用待定系數(shù)法求解，關(guān)鍵是看所求解的數(shù)學(xué)問題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如果有，就可以用待定系數(shù)法求解.例如數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復(fù)數(shù)、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，所以都可以用待定系數(shù)法求解.

二、分析法與綜合法應(yīng)用策略

綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法。

分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種正面的方法叫做分析法。

綜合法往往以分析法為基礎(chǔ)，是分析法的逆過程.但更要注意從有關(guān)不等式的定理、結(jié)論或題設(shè)條件出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)證明.分析法是逆向思維，當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接，或證明過程中所需要用的知識(shí)不太明確、具體時(shí)，往往采用分析法，特別是含有根號(hào)、絕對(duì)值的等式或不等式，從正面不宜推導(dǎo)時(shí)，?？紤]用分析法.注意用分析法證題時(shí)，一定要嚴(yán)格按格式書寫。

題型一：綜合法在三角函數(shù)中的應(yīng)用

題型二：綜合法在立體幾何中的應(yīng)用

例4如圖，如圖，在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn).已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.

求證：（1）直線PA∥平面DEF；

（2）平面BDE⊥平面ABC.

證明：

（1）因?yàn)镈，E分別為棱PC，AC的中點(diǎn)，

所以DE∥PA.

又因?yàn)镻A?平面DEF，DE?平面DEF，

所以直線PA∥平面DEF.

（2）因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，PA＝6，BC

又 因 為DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所 以 ∠DEF＝90°，即DE⊥EF，又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC，因?yàn)锳C∩EF＝E，AC?平面ABC，EF?平面ABC，所以DE⊥平面ABC，又DE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC。

綜合法和分析法是直接證明中兩種最基本的方法，也是解決數(shù)學(xué)問題時(shí)常用的思維方式.綜合法的特點(diǎn)是由原因推出結(jié)果，分析法的特點(diǎn)是由結(jié)果追溯到產(chǎn)生這一結(jié)果的原因.在解決問題時(shí)，經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來使用：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論，根據(jù)結(jié)論的特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件，得到另一中間結(jié)論，根據(jù)中間結(jié)論的轉(zhuǎn)化證明結(jié)論成立.

三、整體處理問題的策略

整體思想就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征，從而對(duì)問題進(jìn)行整體處理的解題方法.從整體上去認(rèn)識(shí)問題、思考問題，常常能化繁為簡，同時(shí)又能培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.所謂整體化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道按常規(guī)思路進(jìn)行、局部處理難以奏效或計(jì)算冗繁的題目時(shí)，要適時(shí)調(diào)整視角，把問題作為一個(gè)有機(jī)整體，從整體入手，對(duì)整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行全面、深刻的分析和改造，以便從整體特性的研究中，找到解決問題的途徑和辦法.

題型一：整體處理問題的策略在函數(shù)中的應(yīng)用

例5：若函數(shù)y＝f（x）的定義域?yàn)閇－1，1），則f（2x－1）的定義域?yàn)開_______.

破題切入點(diǎn) 本題是抽象函數(shù)的定義域問題，這類問題的解決要有整體意識(shí)，把2x－1作為一個(gè)整體，其取值范圍與y＝f（x）中的x取值范圍相同.解決這類問題要注意兩個(gè)問題，①等范圍代換，即將括號(hào)內(nèi)的式子作為一個(gè)整體考慮，取值范圍相同；②求定義域問題就是求自變量的取值范圍.

答案：[0，1）

解析：由y＝f（x）的定義域?yàn)閇－1，1），則－1≤2x－1＜1，

解得0≤x＜1.

所以f（2x－1）的定義域?yàn)閇0，1）.

題型二：整體處理問題的策略在三角函數(shù)中的應(yīng)用

破題切入點(diǎn)：

與已知條件2sinθ－cosθ＝1聯(lián)立，即可用t的代數(shù)式表示sinθ、cosθ，再根據(jù)sin2θ＋cos2θ＝1求得t的值.

解得t＝0或t＝2.

所以所求的值為0或2.

用整體思想解題過程簡潔明快，而且富有創(chuàng)造性，有了整體思維的意識(shí)，在思考問題時(shí)才能使復(fù)雜問題簡單化，優(yōu)化解題過程，提高解題的速度.強(qiáng)化整體意識(shí)，靈活選擇恰當(dāng)?shù)恼w思想方法，可以大大提高學(xué)習(xí)效率.