“小題”變式探究

許金注

在數學世界里，你會發現數學的美妙千變萬化，稱之為“數學美”.在浩瀚無垠的數學題海里，下面要說的這道題淋漓盡致地詮釋了它的美妙.

一、原型題目

如圖1，AB⊥BD于點B，CD⊥BD于點D，P是BD上一點，且AP=PC，AP⊥PC，則△ABP≌△PDC.請說明理由.

題目分析：本題出自華東師大版八年級上冊“全等三角形的判定”課后作業的一道習題.它是學生在學習了三角形全等的判定的基礎上給出的一道題目，意在考查學生對三角形全等的判定的掌握程度.有哪些方法判定三角形全等，三角形全等必須具備哪些條件，如何尋找三角形全等的條件等，都是解決本題的關鍵.

設計意圖：本題意在考查學生基礎知識和基本技能的掌握程度.

解題思路：題目中已知AP=PC，且AB⊥BD于點B，CD⊥BD于點D，可以得出∠B=∠D=90°，再尋找一個條件便可以證明三角形全等，利用兩個角互余證明角相等是常用的一種方法，于是第三組條件不難找到.下面對題目進行變式.

二、拓展變化

變式之前，先讓學生分析其特點，從特殊到一般.數學教學中要引導學生探索數學問題的解題方法，運用數學轉化思想滲透解題思想.

1.結論的變化與拓展

問題的提出：從題目所給的信息中，你還能發現其他結論嗎？

變化一：如圖2，AB⊥BD于點B，CD⊥BD于點D，P是BD上一點，且AP=PC，AP⊥PC觀察圖形猜想AB、BD、CD之間的關系，并證明你的猜想.

題目分析：由題目條件出發，不難證明△ABP≌△PDC，從而可以得出AB=PD，CD=BP，于是BD=AB+CD.但本題的設計比原型題證明三角形全等的難度大得多.首先學生應該綜合分析題目中圖形之間的內在聯系，通過猜想三條線段之間的數量關系，從而尋找圖中相等的線段，于是通過證明三角形全等解決這個問題.

變化二：如圖3，已知A、D是一段圓弧上的兩點，且在直線L的同側，分別過這兩點作L的垂線，垂足為B、C，E是BC上一動點，連接AD、AE、DE，若點E恰為這段圓弧的圓心，則線段AB、BC、CD之間有怎樣的等量關系？請寫出你的結論并予以證明.

解題說明：若點E恰為這段圓弧的圓心，同樣可以知道∠AED=90°，題目自然可以轉化為變式一的形式解決.從圖形運動中找出規律，轉化為一般幾何證明問題，探究解決新問題的策略，培養學生思維的靈活性.

再探究：如圖4，當A、D分別在直線L兩側且AB≠CD，而其余條件不變時，線段AB、BC、CD之間又有怎樣的等量關系？請直接寫出結論，不必證明.

設計理念：（1）經歷觀察、猜想到驗證的解決問題方法；培養學生探究能力與解決問題的能力.

（2）讓題設條件與圖形“動”起來，克服思維定勢和圖形位置定勢，使學生習慣“開放”與“探究”的思維.

解題思路：教學中引導學生從不同角度、不同知識、不同思想方法思考同一個問題，能使各個層次學生都達到一定的效果，使學生從單一的思維模式中解放出來，達到以創新方式解決問題，培養學生思維開闊性、發散性和靈活性的目的.

2.弱化條件

弱化“直角”，則“全等三角形”結論仍然成立.

如圖5，△ABC和△CDE中，點D在邊BC的延長線上，AC=CE，∠ACE=∠B=∠D，則△ABC≌△CDE.

解題思路：無論如何變換，本質是三個角相等，應用三角形相似（全等）解決.

設計意圖：通過本題拓展，我們應該教會學生善于思考，啟發學生思考，引導學生自主探索，鼓勵學生合作交流，獲得廣泛的數學經驗.

3.條件和結論的互逆變換

例：如圖6，兩個全等的含30°、60°角的三角板DEA和三角板ACB如圖所示放置，E，A，C三點在一條直線上，連接BD，取BD中點M，連接EM，EC，試判斷△CME的形狀，并說明理由.

設計意圖：本問設計意圖是引導學生認真觀察圖形，深入挖掘隱含的條件和結論，尋找知識點之間的聯系、轉化，激發學生積極思考、主動探索，調動學生學習積極性，同時培養學生提出問題的能力，可以更好地分析題意.培養學生觀察、分析、概括、歸納及語言表達能力.

解題指導：本題主要利用三角形全等的判定進行證明、求解.

具有較強代表性和典型性的習題是數學問題的精華，教學不要忽視這些小題，要善于“借題發揮”，進行一題多解、一題多變、多題組合，引導學生探索數學問題的規律性和方法，達到“做一題、通一類、會一片”的教學效果，讓學生走出題海戰術，真正達到“輕負高效質”，對激發學生學習興趣，培養學生創造性思維、創新能力和數學素質，都將起到積極的推動作用.