圖形折疊有玄機勾股定理來探秘

王麗花

圖形折疊有玄機勾股定理來探秘

王麗花

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勾股定理是每年中考必考的重要知識點，以填空題、選擇題、解答題等多種方式呈現.考題往往以勾股定理為解題的基本思路，以直角三角形為基本圖形.下面，我們以一道中考題的變式拓展為例來一起探究勾股定理的奧秘吧！

一、原題呈現

（2015·江蘇泰州中考題）如圖所示，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P為AD上一點，將△ABP沿BP翻折至△EBP，PE與CD相交于點O，且OE=OD，則AP的長為.

【解析】設BE與CD相交于點F，AP的長為x，則由折疊可知PE=AP=x，DP=6-x，觀察圖形，根據“ASA”判定方法易證△DPO≌△EFO，所以PO=FO，EF=DP=6-x，所以DF=PE=x，BF=BE-EF=2+x，CF=DC-DF=8-x，在Rt△BCF中，BF2=BC2+CF2,即（2+x）2=36+(8-x)2,求得x=.故AP的長為

【點評】本題主要考查的是勾股定理及三角形全等的知識.在一個直角三角形中，已知兩邊可以直接求出第三邊.若直角三角形中只有一邊是已知的量，另外兩邊可以通過探究線段之間的數量關系來求，然后由勾股定理列出方程求解未知數.

二、拓展探究

拓展1以直角三角形為基本圖形的幾種折疊.

（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，將△ABC折疊，使點B恰好落在邊AC上，與點B′重合，AE為折痕，求EB的長.

圖1

圖2

圖3

【解析】在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，所以AC=5，由折疊可知AB′=AB=3，B′E=BE，則B′C =2，設BE=x，則B′E=x，EC=4-x，在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2=EC2，即（4-x）2=4+x2,求得故EB的長為

（2）如圖2所示，有一張直角三角形紙片ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，將斜邊AB翻折，使點B落在直角邊AC的延長線上的點E處，折痕為AD，則CE的長為（）

A.1cmB.1.5cmC.2cmD.3cm

【解析】在R t△ABC中，AC2+BC2=AB2，所以AB=5，由折疊可知AE=AB=5，則CE=AE-AC=2.

（3）如圖3所示，已知Rt△ABC中，∠C= 90°，AC=9，BC=12，將它的銳角A翻折，使點A落在邊BC的中點D處，折痕交AC邊于點E，交AB邊于點F，則DE的長為.

【解析】在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，所以AB=15，因為點D是BC的中點，所以CD=BD= 6，設AE=x，由折疊可知AE=ED=x，所以EC= 9-x，在R t△ECD中，EC2+CD2=ED2，即x2=36+ (9-x)2,求得x=

【點評】以上三個題目都是以直角三角形為基本圖形進行的不同折疊，根據折疊部分全等的特征，可以得到對應線段相等.這類題目可以歸為同一類，通過折疊得到線段的等量關系，選擇合適的直角三角形，通常結合勾股定理和方程思想就能求解.

拓展2以矩形為基本圖形的折疊.

如圖4，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點E是BC邊上的一點，連接AE，把∠B沿AE折疊，使點B落在點F處.當△CEF為直角三角形時，BE的長為.

圖4

【解析】①若∠EFC=90°，則由折疊可知∠AFE=∠ABE=90°,所以∠EFC+∠AFE=180°，所以點A、F、C在同一條直線上，AF=AB=3，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，所以AC=5，所以FC=2，在Rt△EFC中，設BE=x，EF2+FC2=EC2，即（4-x）2=4+x2,所以可求得此時BE的長為②若∠FEC=90°，則∠FEB=90°，則由折疊可知∠AEB=∠AEF=45°,所以Rt△ABE是等腰直角三角形，所以BE=AB=3.此時BE的長為3.③若∠FCE=90°，則點F落在CD邊上，此時AF＞AD,不符題意，舍去.故BE的長為或3.

【點評】本題要對Rt△EFC進行分類討論，其中有兩類是符合題意的，第三類不符題意舍去.分類討論的依據是直角頂點不同，分類討論時要注意不重不漏.

拓展3平面直角坐標系中函數圖象的折疊.

如圖5，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，一次函數y=-x+4的圖象與x軸、y軸分別

交于A、B兩點，若將平面直角坐標系沿∠BAO的平分線翻折，使點B落在x軸上的點C處，求折痕與y軸的交點D的坐標.

圖5

【點評】本題考查了一次函數及其應用，表面上看是平面直角坐標系的折疊，歸根到底仍然可以看作是直角三角形的折疊問題.

（作者單位：江蘇省常州市前黃初級中學）

責任編輯：沈紅艷見習編輯：李詩