淺談方程思想在初中數學中的應用

孔令先

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：C 文章編號：1672-1578（2016）08-0125-02

小學生接觸的數學題是直接的、正面的利用題中數據直接建立等式，而方程思想則是需要設置未知數帶入來建立的等式。在整個初中學習中方程思想開始有著大量的運用，這種方程思想對于其他的數學問題，也能進行巧妙地運用使題更加的簡單。這就要求學生必須能熟練運用方程思想知識。

1 方程思想在銷售問題中的應用

和其他的很多的數學方法一樣，方程思想在教學中有很大的價值，是因為他能將教學中的理論聯系實際原則進行實際的應用。

例1：某百貨商店服裝柜在銷售中發現：“快樂”牌服裝平均每天可售出20件，每件盈利40元。為了慶祝店鋪營業5周年，商場決定采取適當的降價措施，擴大銷售量，增加盈利，減少庫存。經市場調查發現，每件服裝每降價4元，平均每天就可多售出8件，要想平均每天在銷售這種服裝上盈利1200元，那么每件服裝應降價多少元。

解：每件服裝應降價x元，依題意列方程思想（40-x）（20+2x）=1200x2-30x+200=0，解得x1=20，x2=10。為了盡量減少庫存，所以取x1=20。因此綜上每件服裝應降價20元。

提示：降價問題中最應該注意的就是要弄清楚打折價，還有就是找到恒不變量——進貨價格。其次降價問題是在人們生活中經常出現的問題，因此如果學生能熟練的用數學中的方程思想解題，不僅能增加對數學學習的興趣，而且學會更多的將數學思想運用與生活中。

2 方程思想在路程問題中的應用

還有一種常見與實際貼近的題型是路程問題。特別的在物理中這也是一種常見的題型，下面主要就數學中常見的路程問題做分析。

例 2：在一次嚴重的地震后，某商家獻愛心為支援災區人民，計劃捐贈帳篷16800頂，該商家備有2輛A型貨車、8輛B型貨車運送，計劃A貨車比B貨車每輛每次多運帳篷200頂，A、B貨車每天均運送一次，兩天恰好運完，求A、B貨車原計劃每輛每次各運送帳篷多少頂？

解：（1）設B貨車原計劃每輛每次運送帳篷x頂，則A貨車原計劃每輛每次運送帳篷（x+200）頂，根據題意，得2[8x+2（x+200）]=16800解得x=800，x+200=1000。答A、B貨車原計劃每輛每次分別運送帳篷1000頂、800頂。

提示：本題考查了一元一次方程的應用，需要從題中提取有效信息，合理設立未知數，找到恰當的數量關系建立方程。

3 方程思想在代數問題中的應用

在代數中運用方程思想，常常有種柳暗花明的感受。先弄清楚代數中數或者說字母之間的關系，再根據題設未知數使代數式最終計算起來簡單明了。

例3：現有兩個同類的根式，，那么根據條件，求（a+b）ab的具體值是多少？

解：因為由題知兩個代數式是同類根式，可得方程思想組 a+b=2

3a+b=4b解得a=1，b=1。所以（a+b）ab=2。

提示：在解這類題的思路是首先理清了數之間的關系，然后建立等式，再解出具體的數值，最后帶入，使得題由繁化簡。

4 方程思想在解析幾何問題中的應用

在解幾何題時，常常題中是沒有能給出具體的圖形的，這首先就要考察學生對數形結合的熟練，其次也是很考察學生的利用圖形來找等量關系。特別是在結合中隱藏的比例，和熟練的應用幾何中的概念、定理、性質來設未知數建立方程思想。

例4：已知點M（a，b），現過點M作兩條互相垂直的直線l1，l2，若l1交x軸于E點，l2交y軸于F點，求線段EF的中點O的軌跡方程思想。

解法一：設點M（x，y），則點E（2x，0），點F（0，2y），因為l1⊥l2，所以2|MO|=|EF|，又因為|MO|=，|EF|=，所以 2=，因此可得出所求點O的軌跡方程思想為2ax+2by-a-b=0。

化簡可得所求點O的軌跡方程思想為2ax+2by-a2-b2=0。

提示：遇到垂直問題，常利用垂直的兩條直線的斜率之積等于-1解題，但首先須討論斜率是否存在。本題解法一、二分別利用直角三角形的性質、勾股定理求解，解法簡捷。

5 方程思想在函數問題中的應用

函數和方程思想在初中常常是千絲萬縷的關系，他們之間是能很好的相互轉換的。

例5：在學校上體育課的時，高一一男同學準備扔鉛球，已知鉛球所經過的路線是某個二次函數圖像的一部分，如果這名男同學出手處K點的坐標（0，2），鉛球路線的最高點處O點的坐標為（6，5），求二次函數的解析式。

解：設這個函數的解析式為y=mx2+nx+q。因為O點的坐標為（6，5）是二次函數的最高點坐標，則x=-=6。再將K、O兩點坐標帶入函數的解析式，可得關于m、n、q的方程組

提示：本題是由函數來建立的方程組，然后由方程組來確定函數的表達式。

作為現代數學教師就要在教學時更加注重方程思想的教學。可以從六個方向來培養學生的用方程思想解應用題的能力：一是使學生充分了解方程思想的概念，形成用方程思想解題的意識；二是加強與鞏固學生對基本的數量關系的掌握；三是培訓學生掌握方程思想問題的分析方法；四是從多個角度練習如何巧設方程思想的未知數；五是從多種題型中來加強學生尋找等量關系的能力；六是分步驟來加強學生解方程與方程組的能力。方程思想教學作為一個難點，教師要按照前述六個方面逐漸培訓，讓學生形成方程思想，具備用方程思想解題的意識，幫助學生牢固地掌握基本的數量關系，讓學生懂得尋找等量關系的技巧，學會解決方程思想問題的一些常用方法，有了這個基礎才能使學生有效的分析方程問題，并找出里面的等量關系列出方程去解決方程問題。方程思想顯然是那些最基本的解題工具之一，也是數學科學的基礎，應當讓學生重點理解并掌握。作為一種重要的解題方法，方程思想有著明顯的數學方法論意義，讓學生了解方程思想在數學方法論上的意義，以及它在整個數學學習中的地位，對真正理解、掌握方程思想有著積極的意義。充分調動學生學習的主動性、積極性，提高學生學習的應用題興趣，整體提升學生列方程解應用題的能力。