教育“無痕”精彩“有跡”（三）——以“平均數”一課的教學為例

江蘇蘇州工業園區車坊實驗小學　徐斌

教育“無痕”精彩“有跡”（三）——以“平均數”一課的教學為例

江蘇蘇州工業園區車坊實驗小學徐斌

徐斌江蘇省特級教師，中學高級教師，江蘇“人民教育家工程”培養對象，教育部“國培計劃”首批特聘專家，人大復印報刊資料《小學數學教與學》編委。

1992年獲江蘇省小學數學優質課比賽第一名，2000年獲全國小學數學觀摩課評比一等獎。曾應邀為全國第五屆小學數學學術年會上觀摩課，在《小學教學研究》等20余家刊物發表論文400余篇，應邀到全國20多個省、市、區講學400余次。教育事跡在《人民教育》“名師人生”欄目專題報道，《中國教育報》曾七次連載“徐斌教育教學藝術系列報道”。出版有專著《追尋無痕教育》《為學生的數學學習服務》《推敲新課程課堂》《另類課堂》及“中國名師”系列教學光盤。其教育主張是無痕教育，課堂教學風格穩健厚實。

編者注：《小學教學研究》（教學版）2012年第8期和2015年第9期分別刊登過著名特級教師徐斌的兩篇同題文章，副標題分別是“以數與代數的教學為例”“以解決問題的策略教學為例”。

無痕教育，從字面上理解是把教育的目的與意圖隱蔽起來，通過間接和暗示的方式，對學生進行教育的一種形態。其實無痕教育不僅是一種教育方式，更是一種教育思想，是一種教育心理學的規律和原則，是一種教育的美學和哲學境界，是一種對教育本原的追尋。

為什么在小學數學教育中可以實施無痕教育呢？主要基于以下三點：

一是數學學科的特點。數學是研究客觀世界中的數量關系和空間形式的一門科學。小學數學屬于初等數學的范疇，它揭示的是現實世界中最簡單的數量關系和幾何形體等知識，小學數學課程在內容呈現上具有由淺入深、由易到難、循序漸進和螺旋上升的特性?？梢?，小學數學的學科特征為在數學教學中實施無痕教育提供了充分的可能。

二是兒童認知的規律。數學是思維的體操，兒童學習數學的過程是數學思維活動的過程。兒童思維的發展經歷著從低級到高級、從不完善到完善的發展過程。小學兒童思維的基本特點是從以具體形象思維為主要形式逐步過渡到以抽象邏輯思維為主要形式。數學思維是一種內隱性活動，而且各種思維方式之間的彼此相連、融會貫通和發展變化本身就處于一種無痕的狀態。

三是課堂學習的本質。學習的本質是發展，課堂學習是為了促進兒童的發展。小學數學教學的過程應該是遵循兒童數學學習的思維規律和小學數學學科課程的基本特性，通過教師的智慧，把作為科學的數學轉化為作為學科的數學，把“學術形態的數學”轉化為“教育形態的數學”，引導學生在無痕中學習數學和發展能力，感悟思想和提升素養，同時使他們獲得豐富的情智體驗。

在小學數學教學中，如何實施“無痕教育”呢？筆者試以“平均數”一課的教學為例，談四點教學策略。

1.不知不覺中開始

有效的課堂學習是如何開始的？讓學生在悄無聲息中自然而然地開始學習是無痕教育的基本追求。要做到不知不覺中開始學習，需要老師根據兒童的數學現實和生活經驗，設計生動豐富的課堂引入環節，讓學生油然而生學習熱情，使學習的開始像呼吸一樣自然無痕。

《平均數》一課的引入部分，我采用了兒童喜聞樂見的套圈游戲情境，通過四次套圈比賽，讓學生擔任比賽評委，逐漸產生了學習平均數的內在需要。

圖1

圖2

圖3

圖4

第一場比賽（圖1），人數相同，每人套中個數也相同，觀察條形圖就一目了然，可以判定男生整體水平高；第二場比賽（圖2），人數相同，每人套中個數不同，分別求和可以判定男生隊獲勝；第三場比賽（圖3），人數不同，每人套中個數相同，觀察條形圖也能判定男生隊整體水平高；第四場比賽（圖4），人數不同，每人套中個數也不同，無法分別求和比較，也不能直接觀察統計圖獲得結果。這樣，就迫切需要學習一個新的統計量——平均數來判定結果。

縱觀以上課堂引入部分的設計，緊緊圍繞與新知相關的數學問題展開：為什么需要學習平均數？平均數與哪些舊知相關？生活中的平均數是怎樣產生的？如何從舊知中自然生長出新知？如何通過問題情境產生認知沖突？這樣的課堂起始階段設計，看上去是師生之間不經意的談話聊天，看上去是生活中常見的游戲比賽，看上去是邀請學生擔任套圈比賽的評委，看上去是學生之間討論并評判比賽結果，實際上，學生不知不覺中產生了對數據統計的需要，并在數據分析中產生了認知矛盾和沖突，使得新知在舊知中自然無痕地生長出來。

2.潛移默化中理解

“為理解而教”一直是課堂教學的重要目標。兒童是如何理解知識的？兒童的思維過程有著怎樣的規律？研究表明，小學階段兒童的認知水平屬于“具體運算思維”階段，其最大特點是思維離不開具體事物的支持，這也導致兒童的感知覺、觀察力和記憶均處于初步發展水平，其學習數學的動機和興趣很不穩定。烏申斯基說過：“兒童是依靠形狀、顏色、聲音和感覺來進行思維的。”因此，要讓兒童獲得對知識的理解，需要充分借助形象直觀的教學手段，充分利用新舊知識的相互作用，讓兒童在不露痕跡中獲得新知意義，在潛移默化中理解數學本質。

平均數作為刻畫一組數據集中趨勢的一種統計量，學生在學習過程中常常有三種理解水平：一是概念理解，二是算術理解，三是統計理解。概念理解十分抽象，不符合兒童的認知特征；算術理解則主要體現為先求和再平均分的程序性計算，比較單一；而統計理解則是建立在數據分析的基礎上，尋找能夠表達一組數據的代表，從而刻畫這組數據的整體水平。

為幫助學生理解平均數的意義，教者采用直觀的條形統計圖，讓學生結合圖形進行觀察和思考，通過移多補少的方法，得出每人都同樣多，再通過移動后得到的平均數畫線活動，直觀感知平均數的范圍。在此基礎上進一步提問：除了在統計圖上用移動小方格的方法求出平均數，還可以怎樣算出平均數呢？學生討論并嘗試后得出：6+9+ 7+6=28（個），28÷4=7（個）。然后比較：用移多補少與求和平分的方法都能求平均數，你覺得這兩種方法各有什么特點？

這樣的新知教學過程，學生不僅了解了平均數的產生源頭，還直觀理解了平均數的范圍和含義，進而掌握了求平均數的基本方法，獲得了對平均數的深刻理解。同時也啟示我們，良好的數學理解過程需要依托兒童的思維特征，發揮動作思維和形象思維的作用，在潛移默化中逐步發展抽象思維能力，達成對數學知識和方法的本質理解。

3.循序漸進中掌握

從理解知識到掌握技能，是學生學習數學過程中不可或缺的環節，而掌握技能的過程，既不可能一蹴而就，也不能機械重復單調操練，而應讓學生在層層遞進中循序漸進地掌握方法、形成技能。

在學生初步理解了平均數的含義之后，知道求平均數可以有兩種方法：移多補少法與求和平分法。移多補少法比較直觀，有利于學生在求平均數的過程中判斷平均數的范圍，了解平均數的由來；求和平分法比較抽象，有利于學生用算術思維簡便快速地計算出平均數。但是對于初學平均數的學生來說，主要問題是：何時運用移多補少法？何時運用求和平分法？鑒于此，教者做了如下細膩的層次性設計。

第一層次：觀察筆筒的實物圖（如圖5），快速求出平均數。（大多數學生采用移多補少法）

圖5

第二層次：筆筒圖漸變為豎著畫的條形圖（如圖6）。（大多數學生繼續采用移多補少法）

第三層次：豎著畫的條形圖漸變為橫著畫的條形圖（如圖7）。（由移多補少到取長補短）

圖6

圖7

第四層次：由條形圖漸變為無數據的絲帶圖（如圖8）。（學生用移多補少法嘗試多次，但總是不能準確得出三條絲帶的平均長度）

第五層次：絲帶圖從無數據到有數據（如圖9）。（學生自覺采用求和平分法計算）

圖8

圖9

以上五個層次的設計，從實物圖到條形圖再到絲帶圖，從生活到數學再回到生活；從豎著畫的條形圖到橫著畫的條形圖，從移多補少聯想到取長補短；從無數據的絲帶圖到有數據的絲帶圖，從移多補少法的不便到求和平分法的簡便。在循序漸進的過程中，學生既了解了移多補少法的不足，也產生了對數據的內在需要，從而體驗了求和平分法的價值，在不露痕跡中完成了從移多補少法到求和平分法的過渡，進而掌握兩種方法的內在本質。

4.春風化雨中提升

無痕教育理念指導下的數學課堂，是學生享受教師悉心服務的過程，也是學生自主學習主動發展的過程，是師生之間和諧互動走向智慧的過程。建立了數學模型之后，為了讓學生對初建模型有充分的感性積累，應該讓學生運用數學模型解決問題。在解決問題的過程中，積累數學活動經驗，獲得對數學模型的深刻理解，形成初步運用數學模型的相關技能，感悟數學思想，培養數學素養。

本課在學生理解了平均數的意義與方法之后，設計了三個應用性很強的問題情境：

首先是模擬擔任水果店經理。呈現了水果店上周5天里賣出蘋果和橘子的數量統計圖（如圖10），讓學生觀察思考，主要解決三個方面的實際問題：（1）水果店上周哪天生意最好？哪天生意不太好？請推測一下原因。（2）面對上周的經營現狀，作為經理，你會采取什么經營手段？（3）倉庫里缺貨了，需要多進一些蘋果還是橘子？請用數據說明道理。

圖10

其次是模擬擔任籃球隊隊長（如圖11）。提問：李強是籃球隊隊員，他身高155厘米，可能嗎？籃球隊可能有身高超過161厘米的隊員嗎？（顯示籃球隊5名隊員的具體身高統計表）思考：如果姚明加入學?；@球隊，平均身高會如何變化？160×5＝800（厘米），800＋226＝1026（厘米），1026÷ 6＝171（厘米）。這時得到的平均身高，具有什么樣的特點？為什么原來5名同學的身高都達不到新的平均身高呢？

圖11

最后是設計一次套圈決賽活動。比賽規則是：男生人數不變且在第四次比賽的基礎上不再重新套圈，又新來了一個女生，據說是高手。要使得女生套圈成績提高到和男生一樣，她必須套中多少個呢？如果女生套圈的準確程度要超過男生，她至少要套中多少個？

良好的數學學習不能止步于教材，應讓學生透過數學知識技能的學習獲得更為豐富的思想方法，就需要學以致用與融會貫通。以上三個解決實際問題的教學設計，都是在教材的基礎上向著思維的深處邁進了一步：從簡單的水果數量的平均數計算拓展為數據分析觀念的培養，從已知平均數推測數據分布到極端數據干擾帶來新的問題思考，從直接計算平均數問題到靈活推理計算與逆向思維發展以及形象思維介入。這樣的邁進，使得學生在層層遞進中走向了數學的本質，在潤物無聲中發展了思維能力，在春風化雨中提升了數學素養。?