數(shù)學(xué)高考中的化歸與轉(zhuǎn)化思想*

●詹爽姿

(杭州第二中學(xué) 浙江杭州 310000)

?

數(shù)學(xué)高考中的化歸與轉(zhuǎn)化思想*

●詹爽姿

(杭州第二中學(xué) 浙江杭州 310000)

化歸與轉(zhuǎn)化是高中數(shù)學(xué)重要思想方法之一，掌握好化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法的特點，對我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是非常有幫助的.從熟悉化原則、簡單化原則、直觀化原則、特殊化原則、和諧化原則出發(fā)，筆者例談化歸與轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)應(yīng)用中所涉及的基本類型的解題策略.

高中數(shù)學(xué);化歸與轉(zhuǎn)化;解題

1 知識內(nèi)容

化歸與轉(zhuǎn)化是高中數(shù)學(xué)的重要思想方法之一，它是學(xué)生學(xué)習(xí)了基礎(chǔ)知識之后解決綜合問題的重要途徑，是處理復(fù)雜問題方法的精髓，是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.所謂化歸與轉(zhuǎn)化的思想，是指在研究和解決數(shù)學(xué)問題時，把研究對象通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，選擇運用恰當?shù)臄?shù)學(xué)方法進行變換，將原問題轉(zhuǎn)化為一個或者幾個相對較容易的問題加以解決.轉(zhuǎn)化和化歸的特點是通過不斷轉(zhuǎn)化實現(xiàn)問題的熟悉化、簡單化、直觀化、特殊化等，以便應(yīng)用已知的知識和方法達到問題的有效解決.其一般模式如圖1所示：

圖1

中學(xué)數(shù)學(xué)問題解決的過程中到處體現(xiàn)著化歸與轉(zhuǎn)化的思想，它是問題解決過程中最活躍、最重要的一個環(huán)節(jié).化歸與轉(zhuǎn)化既可以從陌生向熟悉轉(zhuǎn)化、抽象向具體轉(zhuǎn)化、正與反相互轉(zhuǎn)化，也可以從函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化中去尋求有利于問題解決的途徑和方法，促進問題的有效解決.

2 命題分析

目前的數(shù)學(xué)高考命題重視對學(xué)生能力的考查，作為高中重要數(shù)學(xué)思想方法之一的化歸與轉(zhuǎn)化，在近幾年的高考試卷中得到了較好的體現(xiàn).學(xué)生對于陌生問題的恐懼源于在解決具體問題中不能夠靈活應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，不能從紛繁復(fù)雜的外表中發(fā)現(xiàn)其數(shù)學(xué)本質(zhì).化歸與轉(zhuǎn)化的思想及方法已滲透到每一個數(shù)學(xué)內(nèi)容和解題過程中,其方法多種多樣，但目標是一致的：將復(fù)雜問題變得簡單、熟悉，達到解決問題的有利境地，通向問題解決之路.下面筆者結(jié)合近幾年的部分高考題和各地市模擬題為例，談?wù)劵瘹w與轉(zhuǎn)化的思想方法應(yīng)遵循的原則.

3 典題剖析

3.1 熟悉化原則

許多數(shù)學(xué)問題的解決過程就是將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，以利于我們運用已有知識、經(jīng)驗來解決.在具體的解題過程中，通常是借鑒熟悉的背景知識和模型，在已知和未知之間尋找轉(zhuǎn)化的橋梁.

例1 如圖2，在三棱錐A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2,點M,N分別是AD,BC的中點，則異面直線AN，CM所成角的余弦值是______．

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第13題)

圖2 圖3

圖4

轉(zhuǎn)化3 (幾何圖形模型化)注意到此三棱錐的3組對邊兩兩相等，就可以將此三棱錐放入長方體內(nèi)，構(gòu)造長方體模型(如圖4所示)，則該問題便成為學(xué)生所熟知的問題.

點評 立體幾何空間角的基本處理方法是通過轉(zhuǎn)化為平面角實現(xiàn)的，源于空間向量的自由移動，因此幾何問題向量化也成為解決立體幾何空間角問題的主要處理途徑.當然對于立體幾何問題，常通過研究幾個熟悉的基本模型，如長方體、正四面體等來理清空間線面的位置關(guān)系.

3.2 簡單化原則

通過一定形式的變形轉(zhuǎn)換，將復(fù)雜的問題化歸為我們所熟悉的簡單問題，通過對簡單問題的解答，達到解決復(fù)雜問題的目的，或者獲得某種解決問題的啟示.這里的簡單，既指問題的處理過程方法比較簡單，也指解決問題的方案通過轉(zhuǎn)化變得比較簡單.

由此可知2個函數(shù)圖像的對稱軸也存在相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系.

3.3 直觀化原則

把抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題.數(shù)學(xué)的特點之一便是它具有抽象性.有些抽象的問題，直接分析解決難度較大，需要把它轉(zhuǎn)化為具體的問題，或者借助圖形等直觀手段來表達，使得復(fù)雜的問題變得比較容易解決.

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第15題)

轉(zhuǎn)化1 從代數(shù)角度看最值，應(yīng)用函數(shù)的觀點，通過配方解決問題.

令t=xe1+ye2,則

t2=(xe1+ye2)2=x2+xy+y2,

從而 |b-(xe1+ye2)|2=

|b-t|2=b2-2b·t+t2=

b2-4x-5y+x2+xy+y2=

b2-7=1,

即

此時

此處代數(shù)式的配方對學(xué)生代數(shù)式的轉(zhuǎn)化提出了很高的要求，學(xué)生不一定能夠順利突破.而解決問題的關(guān)鍵是對向量表達式

|b-(xe1+ye2)|≥ |b-(x0e1+y0e2)|=

1(其中x0,y0∈R)

的認識和轉(zhuǎn)化，該式意味著向量b所對應(yīng)的點B與由e1,e2所構(gòu)成的平面內(nèi)的點之間的最短距離為1.如何處理這個距離，可以有幾何、向量等不同的轉(zhuǎn)化方式.

圖5 圖6

點評 看似復(fù)雜的問題，若能挖掘出代數(shù)式的幾何背景，理解數(shù)量積的幾何意義，把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形位置關(guān)系，則可使問題由抽象變?yōu)橹庇^，使隱含的關(guān)系顯露出來，起到事半功倍的效果.正所謂看得越透徹，解法越快捷，聯(lián)想越豐富，思路越奇妙！

3.4 特殊化原則

通過考察問題的極端元素，靈活地借助特殊問題解題，避開抽象及復(fù)雜運算，優(yōu)化解題過程，降低解題難度.

分析 此題從條件“ak-(ak+1+ak+2)仍是該數(shù)列中的某一項”看，可以建立一般關(guān)系1-q-q2=qm，顯然從此方程中要解出2個未知數(shù)，學(xué)生往往束手無策，因此可以轉(zhuǎn)換角度，嘗試特殊化處理，從m=1,2,3中去思考取舍，并嘗試著解決當m≥4的情況，最后從等式2邊的取值范圍上尋找突破．

取m=3，則

1-(q+q2)=q3.

點評 帶有一般性的數(shù)學(xué)問題，往往可以通過由“一般”狀態(tài)轉(zhuǎn)化為“特殊(極限)”情形來處理，可使抽象問題具體化、復(fù)雜問題簡單化.特殊化原則的本質(zhì)既是有限與無限的轉(zhuǎn)化，也是特殊與一般的轉(zhuǎn)化，還體現(xiàn)了用靜止的觀點處理運動中問題的一種轉(zhuǎn)化思想.

3.5 和諧化原則

其實很多復(fù)雜問題的化歸與轉(zhuǎn)化都是對以上各種轉(zhuǎn)化原則的綜合應(yīng)用，對同一個問題基于不同角度的認識可以有各種不同的轉(zhuǎn)化，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧的形式，以及問題所需要的各種外部形態(tài)，使其推演更加符合我們的思維規(guī)律.

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)

轉(zhuǎn)化3an+1=an(1-an)=an-1(1-an-1)(1-an)…=a1(1-a1)(1-a2)…(1-an-1)(1-an)，利用迭代可以判斷an的符號.

轉(zhuǎn)化5 由an+1=an(1-an)，得

從而

由第1)小題的結(jié)論可知

從而

于是實現(xiàn)目標的證明.

點評 以上所有轉(zhuǎn)化都構(gòu)成解決問題的關(guān)鍵，這些轉(zhuǎn)化是基于對同一個代數(shù)式結(jié)構(gòu)的不同看法所引起的.在平時的教學(xué)中，教師要重視這些基本轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練，強調(diào)一道題目的多種解法，教會學(xué)生學(xué)會觀察，對同一個代數(shù)式嘗試從不同角度形成不同的認識，以拓寬學(xué)生的視野，同時加強思維深刻性的培養(yǎng).

數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是，其實質(zhì)都是揭示內(nèi)在聯(lián)系實現(xiàn)轉(zhuǎn)化.除極其簡單的數(shù)學(xué)問題外，幾乎每個數(shù)學(xué)問題的解決都是通過轉(zhuǎn)化為已知問題的解決實現(xiàn)的.從這個意義上講，解決數(shù)學(xué)問題就是從未知向已知轉(zhuǎn)化的過程，當然在實施轉(zhuǎn)化的過程中還應(yīng)注意轉(zhuǎn)化中的等價性，這是正確解決問題的必要保證.

4 精題集萃

( )

A.6 B.7 C.8 D.9

2．設(shè)a，b∈R,a2+2b2=6,則a+b的最小值是

( )

參 考 答 案

u2+au+(b-2)=0,

(1)

從而a2+b2=a2+[(2-u2)-au]2=

(1+u2)a2-2u(2-u2)a+(2-u2)2=

令t=u2+1≥5，則

此時u=±2,從而

?2015-12-15；

2016-01-17.

詹爽姿(1979-)，女，浙江杭州人，中學(xué)一級教師，研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O12

A

1003-6407(2016)03-41-05