基于系統觀理念下的周期函數概念教學設計*

●任偉芳 ●桑紅迪

(鄞州教育局教研室 浙江寧波 315100) (姜山中學 浙江寧波 315100)

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基于系統觀理念下的周期函數概念教學設計*

●任偉芳 ●桑紅迪

(鄞州教育局教研室 浙江寧波 315100) (姜山中學 浙江寧波 315100)

概念教學要在概念的發生發展過程中揭示它的本來面目，要從系統的高度設計學生參與揭示概念本來面目的教學活動，從整體、層次和聯系中尋找要素，并與相關概念構成“概念域”，達到學生對概念本質特征的自然建構，從而培養學生的創新精神和實踐能力.

系統理念；周期函數；概念教學；創新能力

近期，浙江省寧波市教研室組織了一次展示課教研活動，內容取材于人教A版《數學(必修4)》“1.4.2正弦函數、余弦函數的性質”第1課時.筆者運用系統觀中的整體性原則、層次性原則、聯系性原則等理念設計周期函數概念教學,使這節課的結構框架能夠在宏觀上取得與整個知識體系較為一致的邏輯連貫性,從而減少學生知識構建的歧義和差異.由于教學設計立意高、系統性強，因此受到參會教師的一致好評.采用系統觀指導下設計概念課是概念教學中的一次新嘗試，愿與大家共同探討.

1 課堂簡錄

1.1 創設情境，引入新課

(播放視頻)不知細葉誰裁出，二月春風似剪刀；首夏猶青和，芳草亦為歌；自古逢秋悲寂寥，我言秋日勝春潮；隆冬到來時，百花即已絕.

師：四季輪回，周而復始；春夏秋冬，生生不息.每個季節都有屬于自己的美麗，“春有百花秋有月，夏有涼風冬有雪”，只要我們用心去欣賞品味，歲月無時不溢彩，四季無時不流韻.像這樣以相同的間隔而重復出現的規律，即“周而復始”的規律，反映的是什么現象？

生1：四季輪回是周期現象.

師：在生活中、自然界中、學科領域中還有周期現象嗎？

生2：日出日落、月圓月缺、潮起潮落、國際傳統節日、人的屬相、物理中的簡諧運動.

點評 創設生動有趣的周而復始現象情境是系統觀下聯系性的體現，生活與數學是相互聯系的，包括橫向聯系和縱向聯系，這種聯系性構成了系統賴以存在和發展的結構體系.深入洞悉教材編寫意圖的聯系性，便會對教學有更深刻的理解.周而復始現象體現在生活中的方方面面，數學中也普遍存在，三角函數只是一種顯性代表而已.利用周而復始現象的情境引入，能引導學生擺脫周期函數認識中的局限，認同周而復始現象是一種迭代思想，有助于周期函數知識的拓展和運用.

1.2 數形結合，初探概念

問題1 在我們所學過的函數中，有沒有具有“周而復始”變化規律的函數呢？

生3：正弦函數.

師(幾何畫板展示圖1)：函數圖像的特點如何？

圖1

生4：函數圖像出現“周而復始”變化規律.

師：函數解析式有何特點？

生5：“周而復始”變化規律的代數刻畫：從誘導公式sin(x+2kπ)=sinx(其中k∈Z)可知，當自變量x的值增加2π的整數倍時，函數值重復出現.

問題2 數學上用周期性這個概念來定量地刻畫這種“周而復始”的變化規律.對于任意的函數怎樣定義周期函數呢？

生6：對于一個函數，自變量每增加一個不為0的定值，函數值重復出現，那么這個函數叫做周期函數.例如正弦函數就是周期函數.

師(追問)：能否用數學符號表示？

(可以類比正弦函數，引導學生把sinx記作f(x)，把2kπ記作T.師生一起總結周期函數的定義：對于函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有f(x+T)=f(x)，那么函數f(x)叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期.)

師：以前我們學習了函數哪些性質？

生7：函數的單調性和奇偶性.

師：函數周期性的定義與函數的單調性、奇偶性定義有什么區別和聯系？

(先分組討論，然后各組代表發言，最后教師總結他們的區別與聯系.)

點評 問題1利用幾何畫板直觀形象地給出函數的圖像特點，利用數形結合進行代數刻畫.問題2遵循由特殊到一般的認知規律，逐步對函數值重復出現這一現象加深認識，最后上升到理論高度，觀察歸納出周期函數的概念.通過感知數學現象，提升數學認識，培養學生的分析、抽象和概括的能力.

1.3 小組合作，深究概念

角度1 咬文嚼字

師：為什么要取非零常數？

生8：f(x+0)=f(x)，所有函數具有周期性，也就沒有討論和研究的意義了.

師：為什么x取定義域內的每一個值？

角度2 刨根問底

師：周期函數對定義域有什么要求？例如：y=sinx(其中x∈[0,2π])是周期函數嗎？

生10：可以從圖像觀察，它不是周期函數.若x是定義域內的一個值，則x+T(其中T≠0)也一定屬于定義域，因此周期函數的定義域是無界的.

師：周期函數的周期是否唯一？請你求出正弦函數的周期是多少？

生11：2π,4π,6π,…以及-2π,-4π,-6π,…都是正弦函數的周期.事實上，任何一個常數2kπ(其中k∈Z,k≠0)都是它的周期.f(x+2T)=f(x+T)=f(x)=…，kT(其中k≠0)是它的周期.

師：如果從所有的周期中選定一個作為代表，你會選誰呢？

生12：最小的一個正周期.

生13：對于常數函數f(x)=c(其中c為常數)，所有非零實數都是它的周期，而最小正周期是不存在的，因此常數函數沒有最小正周期.

角度3 欣賞經典

師：正弦函數、余弦函數的周期是多少？最小正周期是多少？

生14：2kπ(其中k∈Z,k≠0)都是它們的周期，最小正周期是2π.

師：正弦函數、余弦函數具有“周而復始”的變化規律，圖像不僅周而復始，而且波浪起伏.“君看一葉舟，出沒風波里”(范仲淹《江上漁者》)來描述正弦函數、余弦函數的圖像是最恰當不過了.正弦函數圖像重復對稱，不是平穩向前，而是有起有伏，就像我們的人生道路，起起伏伏，今天我們感受了這種變化，明天就會有良好的心態把控我們的人生.比喻人生，高峰時不要得意忘形，低谷時不要灰心喪氣.人有悲歡離合，月有陰晴圓缺，此事古難全.

點評 探究時采用個人獨立思考后小組合作互動的方式，使學生通過思維碰撞，擦出智慧的火花，達到共同完成建構知識的目的，也使不同層次的學生都學有所獲，讓學生體會發現和創造的趣味感，發展學生的創造性思維.本環節從不同維度對周期函數的定義進行剖析，進一步加深學生對周期函數概念的認識，同時也教給學生可以從不同的角度觀察身邊事物的方法.用正弦函數圖像比喻人生起起伏伏、高峰低谷的教學設計為下節課研究三角函數奇偶性、單調性和最值的教學打下了伏筆.

1.4 編題交流，鞏固概念

雖然財務會計與管理會計的結合已成為必然，但是這個結合是一個漫長的過程，需要依靠健全的工作機制。對此，要想促進財務會計與管理會計的有效融合，企業應當結合實際，構建完善的工作機制，為財務會計與管理會計的結合提供支持。首先，立足財務會計與管理會計之間的聯系與區別，健全管理制度，對財務會計與管理進行有效的管理；其次，落實責任制，明確財務會計人員的職責和權利，確保相關工作有序開展；再者，要落實監督機制，地財務會計與管理會計工作進行全面的監督，確保企業資源能夠高效利用，保證財務會計信息真實、可靠。

問題3 請以正弦函數、余弦函數為原型，編擬類似的函數，要求編完題后同桌交換，并求它們的周期.

經過3分鐘的學生討論，把全班編的題歸為以下4種類型：

1)y=3cosx,x∈R；

2)y=sin2x,x∈R；

4)y=|sinx|,x∈R.

合作交流共同探究解答上述函數的周期性.

師：請從以上的解答過程中歸納函數y=Asin(ωx+φ),x∈R及函數y=Acos(ωx+φ),x∈R(其中A,ω,φ為常數，且A≠0,ω>0)的周期與解析式中哪些量有關？

師：求函數y=Asin(ωx+φ),x∈R的周期一般有幾種方法？

生15：定義法、公式法、圖像法.

點評 本環節充分調動了學生的積極性，引導學生參與自主編題、解題，培養學生的創造性思維和合作精神，打造高效課堂.

1.5 歸納小結，知識升華

師：請同學們思考以下3個問題：

1)本節課你學習了哪些內容？函數周期概念與以前學過的哪些概念有關聯？

2)本節課學習過程中運用了哪些數學思想方法？

3)在概括和運用周期函數概念的過程中你的體會如何？

(先分組討論，然后各組代表發言，最后教師小結.)

點評 采用問題啟發式進行課堂小結，充分體現了“以生為本”的教學理念.問題1)是為了加深學生對所學周期函數概念的理解，把函數周期性與單調性、奇偶性等放在一起進行比較，使函數周期納入學生知識結構的概念系統中；問題2)是幫助學生養成歸納總結知識的良好習慣，在學習過程中不但要掌握知識、運用知識、提升能力，還要重視數學思想方法的運用；問題3)的作用是增強學生數學學習的自信心，鼓勵學生對自己思維的合理性進行主動、自覺地判斷，及時調整自己的思維過程，從而培養學生自我監控的能力.

2 課后反思

以系統觀理念下的周期函數概念教學需要體現構建邏輯連貫的概念形成過程，通過課堂教學實踐至少有以下3個方面值得反思.

2.1 重視知識的整體性

本節課學生的認知沖突是如何刻畫和量化“周而復始”的變化規律，這就要探究組成系統的各個要素及其相互關系.從三角函數知識體系來看：系統的要素有用單位圓定義任意角三角函數、三角函數線和誘導公式等，這些要素之間關系密切，互為支撐與依賴，如單位圓定義任意角三角函數的作用在函數周期概念中得到淋漓盡致的顯現.學習三角函數周期性是對《數學(必修1)》中研究函數基本性質的進一步完善，因此本節課教學知識邏輯起點定位于自然界的“周而復始”和正弦函數圖像的變化規律上，這樣先由生活中的實例開始，再到學生已經得到認知的三角函數圖像，經歷了概念的產生、發展和形成的全過程，最后到概念的應用.教學設計由淺入深，循序漸進，使學生從感性認識到理性認識，再到知識的升華，符合學生的認識規律，也凸顯了知識的整體邏輯結構，為后續的知識打下了扎實的基礎.

2.2 關注目標的層次性

本課是研究正弦函數、余弦函數的性質第1課時，起到了承上啟下的作用.因此本課的教學目標應體現這一地位，具體有如下3個方面的目標層次：

1)理解周期函數的概念，會求一些簡單常見的函數周期.能用定義法、公式法、圖像法求函數y=Asin(ωx+φ),x∈R的周期.

2)探究正弦函數的周期性概念，體會數形結合和從特殊到一般的數學思想.通過類比函數單調性和奇偶性的研究方法，再次體會研究函數性質的基本套路，培養學生的創新精神.

3)利用三角函數的圖像呈周期變化的特點，比喻人生道路，使學生感受人生之路并不平坦，只有努力攀登才能到達頂峰，從而培養學生勇于探索、不怕困難的精神.

系統觀要求下位系統目標應逐漸上升到它的上位系統目標中.為了達成理解函數周期概念的系統目標，本節課在學生“周而復始”的意識基本形成后，接著從3個角度順應和同化函數周期定義，再運用3種系統要素：定義法、公式法、圖像法求三角函數的周期，最后由三角函數圖像比喻人生道路，體現數學的人文價值.為此本節課的教學設計不是結論的簡單告知，而是一種過程的經歷、一種體驗、一種感悟，立足于三角函數周期性的數學本質，關注思想方法的回歸，體驗生成過程，實現發展學生思維和智慧育人的教學價值.

2.3 注重概念的關聯性

系統觀理念下的概念是相互依存、相互聯系的.函數周期性與函數的定義域、值域、奇偶性和單調性等概念形成了“概念域”，系統下的“概念域”的聯系是自然和合情合理的.本節課教學設計從“周而復始”的變化規律出發，通過實際模型，逐步使語言精確化、符號化，通過“每隔一定時間出現”、“函數值就重復出現”等語言逐步過渡到用定量刻畫這種“周而復始”的規律變化，從而給出函數周期的定義.概念辨析階段，函數的周期性與奇偶性、單調性概念進行比較，充分考慮知識體系的關聯性，為此教學設計更多考慮學生直接參與的探究活動，讓學生經歷正弦函數圖像分析歸納周期概念的形成過程，重視數形結合思想方法，體驗從特殊到一般再到特殊的探究過程，從而感受研究函數性質的一般方法.課堂氛圍寬松、自由、充滿活力，無論是學生獨立思考、師生(生生)對話還是小組探究，教師始終關注每個學生的真實思維活動，暴露他們的“相異構想”，引導學生在討論、展示、交流中不斷矯正、完善認知結構，凸顯概念的關聯性.

總之，概念教學要在概念的發生、發展過程中揭示它的本來面目，要從系統的高度設計學生參與揭示概念本來面目的教學活動，從整體、層次和聯系中尋找要素，并與相關概念構成“概念域”，達到學生對概念本質特征的自然建構，從而培養學生的創新精神和實踐能力.

?2015-11-16；

2016-12-13.

中國教育科學規劃2014年度中小學教育研究課題“高位提升惠及全民中小學課程建設和課堂教學改革的研究與實踐”(BHA150042).

任偉芳(1966-)，男，浙江鄞州人，中學高級教師，研究方向：課堂教學改革和選修課開發.

O12

A

1003-6407(2016)03-14-04