圓錐曲線離心率的求解策略*

●王新宏

(張掖市實驗中學 甘肅張掖 734000)

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圓錐曲線離心率的求解策略*

●王新宏

(張掖市實驗中學 甘肅張掖 734000)

圓錐曲線的離心率是高考的熱點內容，而且常考常新，值得我們關注；通過總結求解圓錐曲線離心率的關鍵與規律，讓讀者清楚求解離心率主要是通過各種途徑構建關于a,b,c(或a,b,c中的2個)的一個等式或不等式；真題示范，引導他們靈活運用“關鍵與規律”，快速準確地求解離心率或與之相關問題.

離心率；值；范圍；關鍵；方法；轉化

圓錐曲線的離心率是解析幾何中的重要內容，也是高考考查的熱點之一.圓錐曲線的離心率問題解法有多種，如果我們能掌握規律，抓住關鍵，就能輕松、快速地解決相關問題[1].那么，關鍵是什么，規律又有哪些呢？

1個關鍵：尋找、尋求建立a,b,c(或a,b,c中的2個)的一個等式或不等式.

2個切入點：從“形”入手、從“數”下手.

3個方向：從圓錐曲線的定義思考、從幾何圖形的性質出發、從方程(或不等式)的角度落筆.

4種工具：平面幾何基礎知識、平面向量的知識、三角函數、柯西不等式.

5種思想：數形結合的思想、方程思想、函數思想、等價轉化思想、分類討論思想.

1 求離心率的值

圖1

根據題目給定的條件，尋找并建立含有a,b,c(或a,b,c中的2個)的一個等式，即可求得離心率.

(2015年山東省數學高考理科試題第15題)

kOB·kAF=-1,

從而

即

5a2=4b2,

得

故

點評 畫圖很重要.若題目較復雜，則需要耐住性子，要清醒地認識到:題易，我易，他易，不大意;題難，我難，他難，不畏難.例1的圖形有點復雜，但關鍵是要找到關于a,b,c(或a,b,c中的2個)的一個等式，沉著冷靜，膽大心細，足以應對.

2 求離心率的范圍(或最值)

可借助圖形、圓錐曲線定義或常見結論等知識尋求解決問題的突破口.

( )

(2015年福建省數學高考文科試題第11題)

解 如圖2，設橢圓的左焦點為F1，半焦距為c，聯結AF1,BF1,則四邊形AF1BF為平行四邊形，因此

|AF1|+|BF1|=|AF|+|BF|=4.

根據橢圓定義,

|AF1|+|AF|+|BF1|+|BF|=4a，

圖2

點評 例2重點考查考生的等價轉化與化歸的能力，由|AF|+|BF|=4能否等價轉化為4a=8；另一方面草圖對解題有不可輕視的指導引領作用.

3 與離心率交匯的其他問題

此類問題要注意全方位、多角度去思考，尋求多方著力，盡可能通過分析推理得出最簡便的方法.

( )

(2014年湖北省數學高考理科試題第9題)

圖3

解法1 如圖3，設|PF1|=r1，|PF2|=r2(其中r1>r2),|F1F2|=2c,橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的實半軸長為a2，橢圓、雙曲線的離心率分別為e1,e2.由余弦定理得

即

又根據定義r1+r2=2a1,r1-r2=2a2，得

r1=a1+a2,r2=a1-a2,

從而

故選A.

解法2 如圖3，設|PF1|=r1,|PF2|=r2(其中r1>r2),|F1F2|=2c,橢圓的長半軸長為a1,雙曲線的實半軸長為a2,橢圓、雙曲線的離心率分別為e1,e2.由定義得

r1+r2=2a1，r1-r2=2a2,

平方得

即

因此，由柯西不等式得

故選A.

點評 二維形式的柯西不等式為

當且僅當a1b2=a2b1時等號成立.

解法3 如圖3，設|PF1|=r1，|PF2|=r2(其中r1>r2),|F1F2|=2c橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的實半軸長為a2，橢圓、雙曲線的離心率分別為e1,e2.由余弦定理得

從而

于是

消去r1,r2，得

(1)

以下同解法2.

或構造向量求解如下：

p·q=|p|·|q|cosθ(其中θ=),

所以

|p·q|≤|p|·|q|，

即

|p·q|2≤|p|2·|q|2,

代入式(1)得

即

得

故選A.

解法4 如圖3，設|PF1|=r1,|PF2|=r2(其中r1>r2),|F1F2|=2c，橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的實半軸長為a2，橢圓、雙曲線的離心率分別為e1,e2.由正弦定理得

即

故選A.

解法5 如圖3，設|PF1|=r1，|PF2|=r2(其中r1>r2),|F1F2|=2c,橢圓的長半軸長為a1，短半軸長為b1,雙曲線的實半軸長為a2，虛半軸長為b2,橢圓、雙曲線的離心率分別為e1,e2.由橢圓和雙曲線的焦點三角形面積公式得

即

以下同解法2或解法3.

以“形”入手，借助函數、柯西不等式、三角函數、焦點三角形面積公式等，都是為了有效地架起已知與求解之間的橋梁，意在考查考生利用知識等價轉化問題、解決問題的能力[2].

[1] 張啟兆.解圓錐曲線的離心率問題有講究[J]．中學生數學，2012(12):16-17.

[2] 李智勇,何濤瀾.一道圓錐曲線題的解法探討[J]．數理天地，2015(7):25-26.

?2015-10-20；

2015-11-16.

甘肅省教育科學“十二五”規劃2013年度課題“新課改理念下高三數學復習高效策略研究”(GS[2013]GHB0771).

王新宏(1974-)，男，甘肅高臺人，中學高級教師,研究方向：數學教育.

O123

A

1003-6407(2016)03-05-03