數軸概念教學要重在讓學生領悟“三要素”
——全國青年教師優秀課展示活動課例點評*

●吳增生

(仙居縣教育局教研室 浙江仙居 317300)

?

數軸概念教學要重在讓學生領悟“三要素”
——全國青年教師優秀課展示活動課例點評*

●吳增生

(仙居縣教育局教研室 浙江仙居 317300)

原點、正方向和單位長度這“三要素”是數軸概念的本質，在數軸概念教學中，通過適當的問題情境，讓學生充分感悟三要素是確定0,1位置中的充分必要條件，結合數系擴充進一步感悟它們是在直線上唯一地表示一個確定有理數的充分必要條件，這是提高數軸概念教學思想性的有效做法.

數軸；三要素；教學；設計

數軸是理解數與數的大小關系、數的加法運算的直觀工具，是聯系數和形的橋梁，也是日后學習平面直角坐標系乃至函數的基礎，因此，數軸是數學核心概念.第9屆全國初中青年教師優秀課展評活動中展示了數軸概念教學課例，可以看出，參評的課例都運用團隊的力量進行了精心的教學設計，執教教師在實施教學的過程中也都體現了深厚的教學基本功.但也暴露出一些問題，現對其中的一個課例(北師大版《數學》教材)進行分析，以供參考.

1 課例的教學思路

1.1 創設情境，引入新知

1.1.1 復習舊知

師：上節課，我們學習了一類新的數——負數，這樣就可以用正數和負數表示具有相反意義的量，從而數的范圍就擴大到有理數范疇.那么，有理數如何分類呢？

師生活動 教師引導學生用2種方法對有理數進行分類(按照整數、分數分類和按照正、負、0分類).

圖1

1.1.2 情境引入

情境1 以海平面為基準，珠穆朗瑪峰高出海平面8 844 m，吐魯番盆地低于海平面155 m.若記海平面高度為0 m，則珠峰和吐魯番盆地的高度是多少呢？如何用圖形表示呢？

師生活動 教師展示數和形的表示，如圖1所示.

圖2

情境2 小明從學校門口出發，向東走50 m到達書店，向西走300 m到達家.如果規定向東為正方向，向西為負方向，則小明從學校出發，書店記作什么？家又記作什么？如何用圖表示？

師生活動 教師展示數和形的表示，如圖2所示.在情境1和情境2中，教師讓學生先用數表示，再用形大致表示相對位置.

情境3 你能讀出圖3中溫度計上的示數嗎？

圖3

師：仔細觀察溫度計的構造，有什么特點？

師生活動 學生很容易讀出示數，教師提示注意刻度的示數左右均有，讓學生回答，相互補充.

結論1 1)有1個起點或基準點；2)有正、負2個方向；3)刻度線都是等距的，每相鄰2個刻線之間表示溫度相差1 ℃.

在此基礎上，教師引導學生比較情境1～3，指出情境1和情境2由于沒有規定刻度，因此只能表示出點的相對位置，而情境3由于有了刻度，因此能準確地表示數的位置.

1.1.3 歸納共性

想一想 以上3個圖有什么共同特征？

師生活動 學生先獨立思考，然后4人一小組討論歸納，再派代表發言，各組相互補充.

結論2 1)都用一條直線來表示位置、高度或溫度；2)直線上都有一個起點或基準點(0 m，0 ℃)；3)都規定了正、負方向；4)要準確表示必須有刻度.

1.2 類比歸納，提煉概念

問題1 能否用一條直線來表示有理數呢？

師生活動 根據3個實例圖的分析，讓學生抽象出沒有實際背景下的正數、負數、0的表示.

師：直線上要有一個零點、要規定一個正方向，還要有刻線，相鄰刻線等距且意義相同.這樣的一條直線就是我們今天要學習的數軸(教師板書：2.2數軸).

問題2 到底什么是數軸呢？

一般地，畫一條水平的直線，在直線上取一點表示0(叫做原點)，規定直線上向右的方向為正方向，選取某一單位長度，這樣的直線就叫做數軸.

實際上，數軸就像是一個橫放的溫度計.

1.3 理解概念，辨析概念

問題3 如何畫一條數軸？

師生活動 教師在學生自主畫數軸的基礎上，引導學生總結：

1)原點(0)：一般居中；

2)正方向(向右)：右端標箭頭；

3)單位長度：適當，畫短線，標數.

問題4 圖4中哪些是數軸？哪些不是？為什么？

圖4

1.4 應用概念，數形轉換

想一想 建立了數軸，我們就可以用數軸上的點來表示有理數了.如何來表示一個有理數呢？

1)0在數軸的什么位置？正數呢？負數呢？

2)整數怎么表示？

3)分數怎么表示？

4)任何一個有理數都可以用數軸上的一個點來表示嗎？

師生活動 在教師的引導下，學生得到以下結論.

結論3 整數可以用數軸上的刻度點來表示，正整數在原點右側，負整數在原點左側;分數可以先找到它所在的2個相鄰整數點，再等分成幾份，找到相應的位置.正數在原點的右側，負數在原點的左側.每一個有理數都可以用數軸上的一個點表示.

思考 在數軸上表示一個有理數時，應注意什么？

師生活動 在教師的引導下，學生得到以下結論.

結論4 先畫數軸(完整、適當)；再找位置(定左右、定距離)；最后描點、標數(實心圓點、上方標記).

圖5

例2 如圖5，數軸上點A,B,C,D分別表示什么數?

思考 數軸上的每個點都對應一個有理數嗎？有理數能填滿整個數軸嗎？

1.5 深化概念，比較大小

議一議 數軸上的2個點，右邊點表示的數與左邊點表示的數有怎樣的大小關系？

師生活動 如圖6，教師引導學生類比溫度計上的實際意義來比較數的大小.

圖6

結論5 數軸上2個點表示的數，右邊的總比左邊的大.正數大于0，0大于負數，正數大于負數.

思考 你能否將例1中的各數用“<”連接呢？教師引導學生借助剛才數軸上各點的位置來比大小.

1.6 收獲感悟，總結提升

師：本節課你有何收獲？經歷了哪些探究過程？學會了哪些知識？掌握了哪些方法？

教師引導學生按照圖7的線索回顧總結.

圖7

1.7 布置作業，課后拓展

1)課本155頁：習題6.7的第1題、第3題.

2)課外探究：點A在數軸上距離原點3個單位長度.

①點A表示的數是什么？

②若將一個點從點A處向右移動5個單位長度，再向左移動2個單位長度，此時終點表示的數是什么？

2 課例的特點

2.1 關注數學本質，尊重學習規律

數學概念教學需要經歷概念的引入、概念本質屬性的概括、概念的定義、概念的辨析、概念的應用、概念的精致(建立概念之間的聯系)等過程.

首先，借助實際情境引入概念，體會數形結合思想.教師通過創設高度刻畫、位置刻畫和溫度計刻畫溫度的情境，把相關的有理數在直線上進行直觀刻畫的共同特點，提出在直線上表示有理數的問題.接著，通過把溫度計橫放讓學生觀察，發現溫度計用原點表示0 ℃，用原點的右方(上方)的點表示正溫度，用原點的左邊(下方)的點表示負溫度，用單位長度統一刻度，從而發現數軸的三要素，比較發現情境1、情境2中，由于沒有規定刻度，只能大致表示點的位置.最后，歸納3個情境中的圖形，歸納其共同特征(用直線表示，在直線上規定零點、正方向、刻度(單位長度))，得到數軸的本質特征，在此基礎上抽象出數軸的概念.在情境1～3中，均提出了用正、負數表示相反意義的量以及如何用圖形表示這些量的問題，讓學生充分地從數和形2個方面感知實際問題，體會數形之間的聯系.在概念形成后，通過適當的練習和例題，對數軸概念進行辨別，應用數軸表示有理數.最后，利用數軸規定有理數大小比較法則，建立知識之間的關聯，通過以數表形和以形表數，把數軸理解為聯系數與形的橋梁.

2.2 精心設計問題，循循善誘

本課的問題具有針對性、層次性和系統性，通過問題對學生進行有針對性的啟發.在情境問題中，重視從數和形2個方面提出問題；在歸納3個情境問題的共同特征中，教師有意識地引導學生觀察并概括在“原點、正方向和單位刻度”這3個方面的共同特征；在數軸概念的辨別中，提出了如下的問題：

建立了數軸，我們就可以用數軸上的點來表示有理數了.如何來表示一個有理數呢？

1)0在數軸的什么位置？正數呢？負數呢？

2)整數怎么表示？

3)分數怎么表示？

4)任何一個有理數都可以用數軸上的一個點來表示嗎？

通過問題1)～3)，引導學生有序思考怎樣在數軸上表示有理數，而后通過問題4)讓學生根據有理數的整數比意義得到“任何一個有理數都可以用數軸上的一個點表示”的結論，而不僅僅是憑直覺得到這一結論.

2.3 適當有序訓練，有效達成目標

在通過讓學生辨別數軸、畫數軸、用數軸表示有理數等訓練活動來鞏固數軸的概念，并通過“由數描點，由點想數”活動和借助數軸理解有理數大小活動引導學生借助數軸理解有理數及其大小的意義，滲透數形結合思想.教師通過練習讓學生進一步體會到數軸三要素的重要性，在數軸上表示負數的次序(-1，-2，-3,…)是從原點開始，從右到左進行的，而非從左到右進行的.通過練習總結出在數軸上表示有理數的操作程序“畫數軸(完整、適當)——找位置(定左右/定距離)——描點、標數”.

3 值得商榷的問題

3.1 要為概括“三要素”創設問題情境

本課例有3個情境，但這3個情境中都沒有讓學生經歷動手畫圖形直觀表示數的活動，建議取一個情境問題為重點，讓學生經歷從實際情境中抽象出數軸的過程，體會數軸的三要素；建議去掉“回顧”環節中的有理數分類，只要復習引入負數后得到有理數，就有正數、負數和0，指出用正、負數可以表示相反意義的量即可；同時去掉情境1.事實上，用數表示直線上點的位置是學生最熟悉的，在小學就接觸過，因此考慮改編情境2問題，并增加一個校門口向西的點，以便學生體會怎樣在數軸上怎樣確定負數的位置.

“小明從學校門口出發，向東走50 m到達書店，向西走150 m到文具店，向西走300 m到達家.如果校門口、書店、文具店以及小明家同在東西向筆直的大街上，怎樣用圖形表示這些地方的位置？”這樣，用圖形表示情境如圖8(以校門口為基準點，規定左西右東，以50 m為單位長度).進一步，讓學生用有理數抽象簡約地表示圖8中直線上各點的相對位置關系，這需要規定用0表示基準點(校門口)，用正數表示基準點以東方向，用負數表示基準點以西方向，選擇50 m為1個單位長度(如圖9所示).

圖8 圖9

3.2 要圍繞“三要素”設問

數軸概念中的關鍵是對數軸三要素的理解，為什么數軸要有三要素呢？這是為了讓每一個有理數能在數軸上找到唯一確定的點.數軸的三要素，是保證實數與數軸上的點能“一一對應”的基礎，缺一不可.數軸的原點表示0，就是基準點；數軸的正方向，本質上就是實數從小到大的排序方向；單位長度本質上規定了表示1的點離原點的距離.數1的位置是由原點、正方向和單位長度唯一確定的.只要表示0和1的位置確定了，則任何實數的位置就唯一確定了.雖然本課讓學生深入分析了溫度計的特征，從中歸納出“有零點(基準點)、有正負方向、有刻度”，也比較情境1～3，發現沒有刻度只能大致表示點的位置，但沒有系統地讓學生體會規定原點、正方向和單位長度的必要性.為了讓學生能深刻體會三要素的必要性，需要在學生用線段圖表示改編后的情境2問題前，用以下問題引導學生思考：

1)用什么表示東西方向筆直的大街？

(直線.)

2)需要對直線作什么規定？

(在直線上任意選取一點作為校門口(基準點)，規定左西右東的方向，選擇適當的單位長度(如50 m).)

在學生完成用線段圖表示情境問題中各點的位置后，進一步提出問題：

3)在這里，東50 m和西150 m，東50 m和西300 m是具有相反意義的量，相反意義的量可以用正、負數表示，能用正、負數表示這一問題中相反意義的量嗎？若用正、負數表示，基準點是什么數？基準點的右邊是什么數？基準點的左邊是什么數？單位長度有什么含義？

引導學生規定基準點為0，向東為正、向西為負,取50 m為單位長度.

在此基礎上讓學生觀察溫度計的結構，為學生抽象數軸提供直觀的模型支撐.

在討論問題1“能否用一條直線來表示有理數呢”后，讓學生獨立地把畫出表示有理數的直線，說出“怎樣在直線上進行合理規定才能表示有理數”.在學生說出“規定0的位置、正方向和刻度(單位長度)”后，需要追問學生“為什么要這樣規定；如果不規定原點、正方向、單位長度，能把有理數表示為直線上唯一的一個點嗎”.還可以問“這樣規定了原點、正方向和單位長度的直線上，就能唯一確定每一個有理數的位置了嗎”.規定了原點相當于規定了零點的位置，規定了正方向相當于規定了1在0的哪一邊(大致方位)，規定了單位長度，相當于規定了1到0的距離，通過這樣規定，0和1的位置就唯一確定了.我們知道:只要規定了0和1，就可以唯一確定2，3,4，…等每一個自然數的位置，進一步應用線段比可以唯一確定每一個正分數的位置，在原點相反的方向，可以唯一確定-1，-2，-3，…等負整數的位置，及負分數的位置.這樣，就可以唯一地確定每一個有理數的唯一位置.這個問題的思考過程實際上就體現了數系擴充的思想.

3.3 要借助“三要素”理解負數在數軸上位置次序的合理性

把不同的負數有序表示在數軸上的不同位置，是學習用數軸上的點表示有理數的難點.雖然本課在練習中讓學生辨別負數在數軸上的排序，但這還不夠，突破難點需要在概念形成的過程中進行，而不能只在訓練辨別中矯正，那樣是事倍功半的.在概念形成過程中讓學生突破這一難點的關鍵是讓學生借助具體情境領悟“三要素”，在此基礎上體會怎樣在數軸上表示負數.在學生得到如圖9的圖形后，要問學生“為什么-300的位置在-150的左邊”，讓學生結合具體情境說明其合理性(因為-300表示基準點以西300 m，-150表示基準點以西150 m，顯然基準點以西150 m離基準點近)，并說出在數軸上負數-1，-2，-3，…，-150，-300，…應該從原點開始從右往左以此按照距離來標.在此基礎上，完整地說出數軸概念的定義：

滿足以下要求的直線叫做數軸：

1)在直線上任取一點表示0，這個點叫做原點；

2)通常規定從原點向右(或上)為正方向，從原點向左(或下)為負方向；

3)選取適當的長度為單位長度，直線上從原點向右，每隔一個單位長度取一個點，依次表示1,2,3，…,從原點向左，依次隔一個單位長度取一個點，分別表示-1，-2，-3，…等等.

在這里，負數在數軸上的位置次序是數軸定義的內容之一，是一種基于現實問題情境而給出的規定，是“三要素”中規定單位長度的內容之一.

在正確理解概念的基礎上再借助練習進行辨別和矯正，是突破概念學習難點的重要且有效的教學策略.

?2015-11-26；

2015-12-23.

吳增生(1962-)，男，浙江仙居人，浙江省特級教師，研究方向：中學數學教學.

O12

A

1003-6407(2016)03-01-04