微元法求旋轉體體積探討

梁海濱 遼寧對外經貿學院

微元法求旋轉體體積探討

梁海濱 遼寧對外經貿學院

微元法是定積分求平面圖形旋轉體體積的基本方法，合理選取微元和積分區間是用定積分解決問題的關鍵。

微元法 定積分 旋轉體 體積

前言

定積分的所有應用問題，一般總可按“分割、求和、取極限”三個步驟把所求的量表示為定積分的形式. 可以抽象出將所求量U（總量）表示為定積分的方法——微元法，這個方法的主要步驟如下：

(1)由分割寫出微元：根據具體問題，選取一個積分變量，例如X為積分變量，并確定它的變化區間，任取的一個區間微元，求出相應于這個區間微元上部分量的近似值，即求出所求總量U的微元；

在應用中，旋轉體的類型很多，將對幾種常見類型的旋轉體給予討論，介紹解決各種旋轉體體積的方法。

1.平面圖形繞坐標軸所形成的旋轉體體積（以X軸為旋轉軸為例）

1.1坐標軸是平面圖形的一條邊

1.2坐標軸在平面圖形的外部

取X為積分變量X∈[0，1]

于是,所求繞X軸旋轉而成的旋轉體的體積

2.平面圖形繞與坐標軸平行直線所形成的旋轉體體積（以與Y軸平行線X=c為旋轉軸為例）

2.1 旋轉軸在平面圖形的外部(注：無論旋轉軸在圖形的左側或右側微元不變)

2.2旋轉軸在平面圖形的邊上(注：無論旋轉軸在圖形的左側或右側微元不變)

則所求體積為

例題略

3.小結

微元法是定積分求旋轉體體積的一般方法，但在用微元法求體積時會遇到各種情況。其中旋轉軸分為坐標軸和與坐標軸平行情況；旋轉軸與平面圖形的位置分為內部、外部、邊上三種情況。這些類型的關鍵就是找對積分區間和微元。

[1]吳贛昌.微積分（經濟類）[M].北京：中國人民大學出版社，2012-07.

[2]王培吉，王尚戶，王嘉謀. 基于微元法旋轉體體積的計算[J]. 高師理科學刊, 2010-01.

梁海濱（1978-），女，遼寧人，遼寧對外經貿學院基礎課教研部副教授，碩士，從事高等數學教學研究。