淺析初中數學中點問題

山西祁縣第三中學　暢建芬

淺析初中數學中點問題

山西祁縣第三中學暢建芬

初中數學線段中點

線段的中點是幾何圖形中的一個特殊點，與中點有關的問題很多。在近幾年的中考題中，中點問題是高頻題，涉及到選擇、填空、簡答每一種題型。添加適當的輔助線，恰當地利用中點是處理中點問題的關鍵。

一、等腰三角形的“三線合一”

如果已知等腰三角形底邊上的中點，就要聯想到“三線合一”的性質。

例如：如圖，已知：∠BAC=60°，AB= AC=2，D為BC邊的中點，則AD=____

分析：知道了底邊BC的中點D，應該聯想到“三線合一”，連接AD，則AD既是底邊的中線又是底邊的高線還是頂角的角平分線，再利用直角三角形的銳角三角函數或勾股定理都可以解決問題。

二、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

如果已知中有垂直或直角，就要看中點是否是直角三角形斜邊上的中點，用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一定理來解決問題。

例如：如圖，已知△ABC中，BD、CE為高線，點M是DE的中點，點N是BC的中點.求證：MN⊥DE.

分析：本題是從另一類重要的特殊圖形——直角三角形入手，揭示中點問題的解法。由于直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。因此如果題目中有直角三角形斜邊中點的條件，那么最好的輔助線是做出斜邊中線，這樣就能得到兩個腰長相等的等腰三角形，把直角三角形問題轉化為等腰三角形問題，從而實現直角三角形與等腰三角形的互化，可以獲得更多的條件，為解題提供思路。

三、三角形的中位線

如果條件告訴的中點既不是直角三角形斜邊的中點，也不是等腰三角形底邊的中點，可聯想三角形的中位線定理。

例如：如圖，△ABC中，中線BE、CD相交于 F，求證：FC=2FD.

分析：由已知三角形兩邊的中點，想到連接兩中點構成中位線，運用中位線定理解決問題。

四、遇到兩平行線所截得的線段的中點時，常聯想“八字型”全等三角形

例如：如圖：梯形 ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，AD=1，BC=2，CD=3，E為AB中點，求證：DE⊥EC。

分析：如果直接證明，是不容易的，聯想到AD∥BC，點E是AB的中點，我們延長DE，與CB的延長線交于點F，這樣，我們不但構造出一對八字型的全等三角形，還得到了一個等腰三角形，從而利用等腰三角形的“三線合一”解決問題。

五、遇到中點，倍長中線構造全等

例如：如圖，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，BC上的中線AD=2，求BC的長.

分析：AD為BC邊上的中線，延長AD到E，使DE=AD，連接BE，這樣就構造了全等而且利用勾股定理的逆定理得到了一個直角三角形，再利用直角三角形的勾股定理得以解決。

六、中線平分三角形的面積

例如：如下圖（左）所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，點E是CD的中點，連接AE、BE。求證

分析：如果直接證明，是不容易，我們就構造出一對八字型的全等三角形，如下圖（右），就把三角形ADE遷移到三角形ECF的位置上，問題就好解決了。

七、垂徑定理

例如：如下圖所示，AB是⊙O的弦，點是AB的中點，若 AB=8cm，OC=3cm，則⊙O的半徑為______cm．

分析：由點C是AB的中點，想到圓的垂徑定理，得到OC⊥AB，這樣就可以利用直角三角形的勾股定理來解決問題。

八、在解決幾何圖形問題時，我們對一些典型問題要掌握一些常用的解題方法

有些題目綜合性比較強，但萬變不離其宗，我們只要能從復雜的圖形中分解出基本圖形，仍然可以利用中點問題的一般方法來應對。

例如1、已知AD是△ABC的角平分線，AB＝10，AC＝6，CN⊥AD于N，且M是BC的中點.則MN的長為______.

分析：已知AD是角平分線，CN⊥AD，可以想到AN具有角平分線和高線兩種角色，這種情況只有在等腰三角形中才有，所以延長CN與AB相交就會得到一個等腰三角形，再根據等腰三角形的三線合一的性質得到N為中點，再由三角形中位線定理得出結果。

2.如上圖（右），已知△ABC中，AD是高，CE是中線，DC=BE，DG⊥CE，G為垂足.求證：G是CE的中點。

分析：要證明G為CE的中點，而已知DG⊥CE，只要證明△CDE是等腰三角形，從而得到輔助線，連接DE去證明DE=DC,而DC=BE，從而利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得以證明。

往往一道數學題并不是單一的一個知識點的應用，而是多種知識的綜合，所以在處理中點問題時，要培養學生的觀察能力，提高學生的圖形結合能力，綜合分析能力與概括能力，實現各知識間的互相轉換。

總之，中點問題的種類還很多，需要我們進一步去研究探索。