例談分類討論思想在函數單調性問題中的應用

【摘要】分類討論思想又被稱為邏輯劃分，指的是將事物進行分類，之后對劃分的每一類分別進行研究和求解的方法。在函數單調性問題中采用分類討論思想，有助于學生更好地對問題進行理解和解答，幫助學生在解題時做到舉一反三，進一步提高學生的解題技巧。本文在闡述分類討論思想涵義的基礎上，明確分類討論思想解答問題的步驟，并深入探討了分類討論思想在函數單調性問題中的應用，旨在為分類討論思想在教學中的應用提供理論上的指導。

【關鍵詞】分類討論思想 函數單調性 應用

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）23-0071-02

一、分類討論思想涵義概述

在我們遇到難解的問題時，首先要看的就是題目中所具備的條件是否能推論出一個確定答案，一旦出現無法求解的問題時，就要采用分類討論的思想來將原問題分解成相對獨立的“小問題”來逐步回答，通過解答這些小問題最終推證出原問題的答案，整個推論的過程就是分類討論。分類討論思想是一種至關重要的數學解題思想，秦九韶、劉微、康托、拉格朗日等許多著名的數學家都曾將分類討論思想作為解決數學難題的重要途徑，這些數學家的作答直接促進了分類討論思想在數學領域的發展。

綜上所述，分類討論思想的實質就是將整體問題劃分為部分問題，增加問題的定解條件，將問題化整為零、各個擊破，然后再化積為整的解題策略。每個數學結論都是由其所成立的條件所決定的，按照問題的性質解題者需使用相應的解題策略。在面對有些問題結論的不確定性時，解題者要打破統一解題形式的枷鎖，以分類轉化等手段對各個問題一一擊破。

二、分類討論思想解答問題的步驟

1.確定分類討論思想的對象

確定分類討論思想的對象是分類討論面臨的首要問題，將引起分類討論的原因找出對于分類討論的論述來說是一個非常良好的開頭。張紅軍曾在其《數學基本思想方法的探討--分類討論思想》一文中提出：分類討論主要有概念分類型、運算需要型、參數變化型、圖形變動型等五種討論對象。在函數單調性問題上，函數分類討論大致分為分段函數和函數性質問題兩大類，前者是將問題分類討論后才能進行解答，后者是將含有參數的問題進行解答。數學中常見的分類討論思想對象有：按照函數性質中的奇偶性對區間上的單調性進行解答；函數參數k的情況與單調性問題解答；二次函數的對稱軸以及參數討論；對數函數對底數的分類；數學問題中參數的不確定性與導函數的單調性等等。

2.按照原則對討論對象進行合理分類

在確定分類討論思想的對象之后，我們需要按照原則對討論對象進行合理分類。分類討論思想的原則有：按統一標準對每一級別進行分類、逐級進行分類、不得進行越級分類。

3.總結分類討論

分類討論思想實際上就是要求解題者要以“合—分—合”的結構對討論對象進行解答。在分類討論之前，討論的對象具有一定的完整性，解題者按照一定的標準對討論對象進行分類，把整個問題化整為零、化難為易來解答。按照分類討論逐步解答各項小問題的結論后，解題者還應對所有的結論進行總結歸納。一般來講，分類討論思想的總結有以下三種類型：首先是并列總結法；其次是并集歸納法；最后是交集歸納法。

三、分類討論思想在函數單調性問題中的應用

分類討論思想在函數單調性等問題中有著廣泛的運用，在高考試卷上也占有很大的比例，但分類討論卻是很多考生的弱點。我們通過以下幾個例子來探討下分類討論思想在函數單調性問題中的應用。

每次分類的對象不遺漏、不重復、分層次、不越級討論當問題中出現多個不確定因素時，要以起主導作用的因素進行劃分，做到不重不漏，然后對劃分的每一類分別求解，再整合后得到一個完整的答案.數形結合是簡化分類討論的重要方法。

在實際教學中，很多學生對題干中的隱含條件及可能性分析存在偏差，對參數a的分類難以做到不重不漏。因此在解決函數單調性問題時，一旦需要分類討論，便感到困難。然而分類討論作為一種重要數學思想，它的培養不是一朝一夕就能完成的，需要我們用較長時間持續滲透，讓學生逐漸領悟。

教學啟示：分類思想作為一種基本的邏輯方法適用于自然科學乃至社會科學研究之中，在數學教學中也發揮著至關重要的作用。學生在運用分類討論思想解答函數單調性問題的過程中，可以將思考的周密性與條理性發揮到極致，有助于提高學生合理解題的能力。分類討論思想與其他解題方法相比，最大的不同是它更依賴于經驗和解題的習慣。所以教師在日常的授課中應注重培養學生的分類討論思想，在解題教學中化隱為顯、循序漸進，引導學生用分類討論思想攻破問題，并在解題結束后，隨機提問學生分類標準、分類優勢等等問題，以提高學生的思維縝密性。

四、結語

分類討論思想是高中數學中常用的解題思想方法之一，對培養學生解決問題的能力有很大的幫助，并且有利于提高學生數學思維的嚴謹性、填密性和靈活性。在日常教學過程中，教師應注重培養學生運用分類討論思想解決問題的能力，引導學生總結解決問題的規律與共性，以達到迅速、準確解題的效果。

參考文獻：

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[3]馬士磊.淺析分類討論思想[Jl.理化空間，2012（10）

作者簡介：

崔文坤（1987-），男，漢族，山東泰安人，福州第四中學數學老師。