概率中的摸球問題

吳強

生活中存在著大量的隨機現象，而概率正是對隨機現象的數學描述，它刻畫了隨機事件發生的可能性大小. “摸球問題”是概率中的經典問題，在單元測試和中考中經常會出現，今天我們將詳細地研究一下各類摸球問題.

一、 “摸球問題”中的確定事件與隨機事件

例1 在一個箱子里放有1個白球和1個黃球，它們除顏色外都相同.

（1） 從箱子里摸出一個球，是黑球.這屬于哪一類事件？摸出一個球，是白球或者是黃球，這屬于哪一類事件？

（2） 從箱子里摸出一個球，有幾種不同的可能？它們屬于哪一類事件？

（3） 從箱子里摸出一個球，放回，搖勻后再摸出一個球，這樣先后摸得的兩球有幾種不同的可能？

【分析】事件包括必然事件、不可能事件、隨機事件，其中必然事件、不可能事件都是確定事件.

解：（1） 不可能事件；必然事件；（2） 摸到的可能是白球，也可能是黃球，屬于隨機事件；（3） 先后摸得可能是白球、白球；白球、黃球；黃球、白球；黃球、黃球四種可能.

【拓展】一個不透明的口袋中裝有3個白球、2個黑球，它們除顏色之外沒有任何差別，請你寫出一個隨機事件、一個不可能事件及一個必然事件.

解：從口袋中摸出一球，該球是白球為隨機事件；從口袋中摸出一球，該球是黃球為不可能事件；從口袋中摸出一球，該球是白球或者黑球為必然事件.

二、 “摸球問題”中的可能性大小

例2 在一個不透明的袋子中裝有2個白球和5個黃球，每個球除顏色外都相同.

（1） ①你認為從中任意摸出1個球，摸到的球可能是哪種顏色？

②你認為摸到哪種顏色球的可能性大？

（2） 怎樣才能讓摸到白球的可能性更大呢？

（3） 怎樣才能讓摸到白球的可能性比黃球大呢？

（4） 摸到白球的可能性與哪些因素有關呢？

解：（1） ①摸到的可能是白球，也可能是黃球；②摸到黃球的可能性更大；（2） 當口袋中白球增加時，摸到白球的可能性更大；（3） 當白球增加為6個時，摸到白球的可能性比黃球大（答案不唯一）；（4） 摸到白球的可能性與白球占總球數的比例有關.

【拓展】現在有4個黃球，4個白球，一個不透明的口袋，它們除顏色之外沒有任何差別.請你根據所給的條件設計一種摸法：

（1） 任意摸出一球，一定是黃球；

（2） 任意摸出兩球，一定都不是黃球；

（3） 任意摸出兩球，一定一個是黃球，一個是白球；

（4） 任意摸出三個球，可能是兩個黃球、一個白球.

解：（答案不唯一）（1） 口袋中放4個黃球；（2） 口袋中放4個白球；（3） 口袋中放1個黃球和1個白球；（4） 口袋中放4個黃球，4個白球.

三、 “摸球問題”中的概率

例3 袋子中裝有3個紅球和5個白球，這些球除顏色外均相同.在看不到球的條件下，隨機從袋中摸出一個球，則摸出白球的概率是_______.

解：因為球除顏色外均相同，所以從中任意摸出一個球的機會是均等的.因為袋中共有8個球，其中5個白色的，所以任意摸出一個球是白色的概率是5/8.

例4 在一個不透明的盒子中裝有8個白球，若干個黃球，它們除顏色不同外，其余均相同.若從中隨機摸出一個球，它是白球的概率為2/3，則黃球的個數為（ ）.

A. 2 B. 4

C. 12 D. 16

解：設黃球的個數為x個，根據題意得2/3（8+x）=8，解得x=4.所以黃球的個數為4.故選B.

【拓展】一個布袋中有8個紅球和16個白球，它們除了顏色外都相同.（1） 求從袋中摸出一個球是紅球的概率；（2） 現從袋中取走若干個白球，并放入相同數量的紅球.攪拌均勻后，要使從袋中摸出一個球是紅球的概率是5/8，問取走了多少個白球？

解：（1） 摸出一個球是紅球的概率為8/8+16=1/3；

（2） 設從袋中取走白球的個數為x個，根據題意得8+x/24=5/8，解得x=7，即取走7個白球.

我們在小學已經接觸到與概率相關的初步知識，初中階段，在小學學習的基礎上，進一步抽象化、數學化地研究隨機事件發生的可能性的大小.概率的內容在蘇科版教材中分為三章，“摸球問題”將貫穿整個概率學習的始終，處理好“摸球問題”對于我們學習好概率至關重要.

（作者單位：江蘇省常州外國語學校）