對學生“歪打正著錯解”的思考與啟示

劉艷玲

摘 要：不同的思維，往往會得到不一樣的結果。本文由學生對一道訓練題目的解法中“歪打正著”的錯解進行思考與探究，得出更簡單有效的解法以及一些啟示，僅供鑒賞。

關鍵詞：歪打正著 思維 角度

不同學生有著不同的思維方式，不同的興趣愛好以及不同的發展潛能，教學中應該極為關注學生在數學學習活動時的個性差異，允許學生思維方式的多樣化和思維水平的不同層次 。“歪打正著”比喻方法本來不恰當，卻僥幸得到滿意的結果。生活中常會碰到“歪打正著”的情況，數學解題中學生“歪打正著”的情況也是屢見不鮮，并且“著”的五花八門，甚至有些解法僅憑直覺和答案真假難辯，需要深入推敲才能定奪。

訓練題目：已知函數f（x）=x2+2x+aInx。

（1）若函數f（x）在區間（0，1]上恒為單調函數，求實數a的取值范圍；

（2）當t≥1時，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3）恒成立，求實數a的取值范圍。

此題主要考查利用導數知識作為工具，研究函數的單調性，處理不等式恒成立的問題， 綜合性強，思想方法深刻，能力要求較高。其中第（2）小問，難度較大，考生的答題情況很不理想。現就此小題第（2）問的參考答案摘抄如下。

參考答案：

在t≥1時恒成立，因此由②④可知實數a的取值范圍：a≤2。

上述參考解法采用了參數分離法求范圍，問題的難點在于如何求②式右端的函數的最小值（或下確界），其中構造函數m（x）=In（1+x）-x，（x>-1）并利用其單調性進行放縮，技巧性特強，要求極高。雖然構造函數來解決此類問題是通法，但為什么要構造m（x）這樣的函數？它和題設究竟有何聯系？直接分析還是比較困難，學生很不容易想到，因而這是問題的難點所在。事實上，有近一半的學生做到了②式這一步，他們希望直接求②式右端的函數的最小值（或下確界），由于過分繁難未能達到目的。于是他們只得另辟蹊徑。

學生歪打正著的錯解：

構造函數g（t）=f（2t-1）-[2f（t）-3]，（t≥1）注意到g（1）=0，所求問題轉化為g（t）≥g（1）對任意的t∈[1，+∞）恒成立。即g（t）在[1，+∞）上為增函數，從而g′（t）≥0在t∈[1，+∞）恒成立，而g′（t）=2[f′（2t-1）-f′（t）]，故f′（2t-1）≥f′（t）在t∈[1，+∞）恒成立，由于（2t-1）-t=t-1≥0，即2t-1≥t，故f′（t）在[1，+∞）為增函數，令h（t）=f′（t），則h′（t）=2-a[]t2≥0在t∈[1，+∞）恒成立，即a≤2t2，從而a≤（2t2）min=2，故實數a的取值范圍：a≤2。

此解答的結果與正確答案完全一致，乍一看來，似乎簡捷明了，無懈可擊，但仔細分析起來，不難發現其中的破綻，“由g（t）≥g（1）對任意的 t∈[1，+∞）恒成立，直接推得g（t）在[1，+∞）上為增函數。”此推理顯然不一定成立.如下圖所示。雖然此解法歪打正著，但它為正確求解提供了有益的啟示。

此解法思路自然，過程清晰，與參考答案相比，更容易為學生所接受，對導數知識及其工具作用的考查達到了融會貫通的深度。

不等式恒成立與有解的問題，在近幾年的高考試題中頻繁出現，其中，特別是一些含自然對數和指數函數的不等式恒成立與有解問題，將新增內容與傳統知識有機融合，用初等方法難以處理，而利用導數來解，思路明確，過程簡捷流暢，淡化繁難的技巧，它不僅考查函數、不等式等有關的傳統知識和方法，而且還考查極限、導數等新增內容的掌握和靈活運用。這類試題常與思想方法緊密結合，體現能力立意的原則，突出了高考試題與時俱進的改革方向。因此，越來越受到高考命題者的青睞，對此希望引起師生的高度關注。

人不是千篇一律的，每一個人都是獨立的存在，誰也不是誰的附屬，或者說，誰也不能代替誰存在。每個人的思維方式都不一樣，思考問題的角度也會不同，所以在對待同一問題同一件事同一個人時，我們都會用不同的方法方式態度去解決處理和對待。從學生身上體現的問題，我們又何嘗不是呢？在我們日常的生活學習和工作中，不同人之間，由于彼此看待事物的角度不同，因此會產生不同的看法：所以我們應該認識到，每個人都有其特定的思維及思考方式。朋友之間認識這種差異，可以避免沖突，促進相互學習和交流；工作上重視團隊的力量，有助于工作的進一步完善。

所以，我們都以自己的姿態在活著，思考著，行進著。不同的人在面臨相同的環境，反應也完全不一樣，這是不容置疑的。再看個例子：兩個犯人呆在同一間黑暗的牢房，一個永遠看著窗外那片黑暗的土地，已經絕望了。另外一個卻信心滿滿的，因為他總能看見滿天繁星。從不同的角度去思維，人生可能因這一刻而改變。拋開那些從小灌輸的思維定性，人生總是需要有那么一次徹底去懷疑的精神來重新整理行進的行囊，用不同的角度去探索與追求。