探索與發(fā)現(xiàn)

王香

數(shù)學課程標準指出：“在呈現(xiàn)作為知識與技能的數(shù)學結果的同時，重視學生已有的經(jīng)驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學問題、構建數(shù)學模型、尋求結果、解決問題的過程?！蔽覀兊臄?shù)學教學，應該努力實施課標的理念，引導學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型，并進行解釋與應用的過程，讓學生通過觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動，主動對信息進行加工與整理，將數(shù)學知識進行簡化和提煉，再通過數(shù)學語言、數(shù)學符號、數(shù)學字母等形式進行概括和歸納，形成規(guī)律性的認識并加以應用。從廣義上講，這些規(guī)律性認識包括數(shù)學概念、性質(zhì)、定理、公式，法則以及數(shù)學關系和變化規(guī)律等。下面結合自己的教學實踐談幾點拙見。

一、讓學生在操作實踐中建構

學生的學習過程，是一個從感性認識上升到理性認識的過程，也就是一個把具體事物的知識經(jīng)驗進行抽象概括，形成概念、法則、公式、性質(zhì)并進行運用的過程，而要實現(xiàn)這個過程，就需要實踐。

例如，在教學“圓的周長”時，先給學生準備一套直徑分別為2、3、4厘米的圓形紙片，讓學生思考一下怎樣才能知道這些圓片的周長。學生的思維得到發(fā)散，有的用線繞圓片一周再測量線的長度；有的將圓片在直尺上滾動一周；有的在圓周上先點上一個點，在白紙上轉動一周后再點上一個點，兩點連線再測量長度……并依次記下數(shù)據(jù)填入表格中。方法雖然不同，但異曲同工。此后要求學生把這些數(shù)據(jù)填入表格中并認真觀察表格中直徑和測量圓周長得到的數(shù)據(jù)，便不難發(fā)現(xiàn)圓的周長與直徑的倍比關系。此時，教師趁熱打鐵，說明圓的周長與直徑的比值為π，如果圓的周長用C表示，那么C=πd的圓周長公式就在學生的操作實踐中建構成功。

再如，“三角形的內(nèi)角和”的教學，更能體現(xiàn)學生在操作實踐中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。教學中可采取小組合作形式，每個小組均有量角器、銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形紙片各一張。讓學生先猜測一下三角形內(nèi)角和的度數(shù)，然后進行實踐活動。有的采用測量的方法，有的則用折的方法，還有的先撕后拼，學生從不同的角度，用不同的方法得到同樣的結論，即三角形的內(nèi)角和不受形狀的影響，也不受大小的影響，任意三角形的內(nèi)角和都是180℃。如果教學中再用課件將以上幾種方法進行演示，將學生的探索過程呈現(xiàn)在屏幕上，則更形象生動，給人以畫龍點睛之感，會激起學生較長時間的思維興奮。

二、讓學生在比較中建構

比較是一種重要的思維方法，對于一些容易混淆的知識來說，通過比較可以發(fā)現(xiàn)他們之間的區(qū)別和聯(lián)系，便于學生掌握各個相似概念的本質(zhì)特征，提高自己分析問題和解決問題的能力。

例如，二年級上冊對“求比一個數(shù)多（少）幾的數(shù)”的數(shù)量關系的實際問題是密切聯(lián)系的，由于二者本質(zhì)上是同一類問題，只不過是兩個數(shù)的相差關系發(fā)生了變化。教材對其進行整合的目的在于引導學生通過分析、對比，明確數(shù)量關系的變化，溝通其內(nèi)在聯(lián)系。為了幫助學生理解算理、掌握算法，教材創(chuàng)設了切合學生實際的問題情境，并以文字形式呈現(xiàn)了實際問題，甚至于還提供了一個解題的策略——畫圖。教學中要結合情境圖，幫助學生弄清題目中的兩個數(shù)量是誰和誰比，誰多誰少，知道了什么，讓我們求什么。

（1）一班得了12面小紅旗，二班比一班多得3面，也就是說二班和一班比，二班得的小紅旗多，如果畫圖表示，則是：

從圖示中可以清楚看出二班得的小紅旗其實可以分為兩部分，一部分是和一班同樣多的12面，另一部分是比一般多的3面，只要把這兩部分合起來就是二班得的小紅旗的面數(shù)。抽象出數(shù)學問題就是，要求二班得了多少面小紅旗，實際上就是求比12多3的數(shù)是多少。

（2）一班得了12面小紅旗，三班的小紅旗比一班少4面，也就是說，三班和一班比，三班得的小紅旗少，如果畫圖表示，則是：

顯然，三班得的小紅旗比一班少4面。從圖示中可以清楚一班得的小紅旗其實可以分為兩部分，一部分是和三班同樣多的，另一部分是比三班多的4面，也就是三班比一班少的4面。因此，只要從12面里去掉4面，剩下的就和三班的小紅旗同樣多，那么，要求三班小紅旗的面數(shù)，就是求比12少4的數(shù)是多少。

兩道題的解決思路仿佛清楚了，計算方法好像也掌握了，但還達不到融會貫通，得心應手的程度，這就還需要進行分析對比。可把兩道題目的思考解答過程同時呈現(xiàn)在課件上，引導學生觀察對比，找出它們的異同。首先，二班和三班都是和一班比，二班是比一班多，三班是比一班少，由于一班的小紅旗有12面，顯然，求比已知數(shù)量多幾就用加法，求比已知數(shù)量少幾就用減法。其次，（1）題的12+3=15中，“12”是指“二班與一班同樣多的12面”，而（2）題的12-4=8中，“12”則是“一班小紅旗的面數(shù)”，“8”是三班與一班同樣多的面數(shù)，也就是三班小紅旗的面數(shù)。為了提高學生的認知，練習課上我又把這兩種實際問題與“求一個數(shù)比另一個數(shù)多（少）幾”的實際問題結合起來進行回顧對比，使相差關系問題成為一個整體，使之橫向溝通融為一體。這樣，學生遇到這類問題，便能清楚“誰比誰多”、“誰比誰少”，該用加法還是該用減法解答，從而“縱橫結網(wǎng)”，觸類旁通。

教材中適合于分析對比的內(nèi)容很多，如“倍比關系”實際問題，分數(shù)、百分數(shù)乘除法問題、正反比例等都是很好的素材。

三、讓學生在觀察分析中建構

教育心理學認為：觀察是指學生獲得感性知識的一種認識活動，是一種有目的、有計劃的知覺。只有讓學生獨立地、有目的有系統(tǒng)地去探索與了解客觀對象的變化與進程的知覺才是觀察。因此，觀察是一個知覺思維和語言相結合的智力活動過程。正如盤尼西林的發(fā)明者費萊明所說：“我的唯一功勞是我沒有忽視觀察?！蔽覀兊臄?shù)學教學也是如此。

例如，在“2、5的倍數(shù)的特征”教學中就可以引導學生在觀察中分析，在分析中建構。一般來說，教學“2、5的倍數(shù)的特征”的教學過程有不同呈現(xiàn)形式，但都離不開觀察思考。教學中可以在“百數(shù)表”上分別圈出它們的倍數(shù)，再分別觀察思考所圈出的這些數(shù)有什么特征；也可以先讓學生說出2的若干個倍數(shù)，教師隨之板書在黑板上（按照個位數(shù)字分別板書），5的倍數(shù)亦同。再讓學生通過觀察得出結論。還可以通過創(chuàng)設站隊報數(shù)的情境，引出雙號、單號數(shù)，再觀察這些雙數(shù)的特征。不難看出，這些教學環(huán)節(jié)都離不開觀察。前者通過圈數(shù)，很容易看到5的倍數(shù)都集中在“5”和“10”所在的那一列，2的倍數(shù)則集中在“2”、“4”、“6”、“8”、“10”所在的那一列，而10的個位上的數(shù)字是0。后者由于2和5的倍數(shù)是學生口答出的，且教師又按照一定規(guī)律進行板書，很容易發(fā)現(xiàn)它們的倍數(shù)的特征。而雙數(shù)、雙號的個位數(shù)字分別是0、2、4、6、8。至于結論，對于五年級學生來說歸納概括起來應該不是問題。

再如，教學“循環(huán)小數(shù)”也離不開觀察分析。在此之前，學生已經(jīng)理解了小數(shù)除法的算理，建構并熟練掌握了計算方法。這里學習“循環(huán)小數(shù)”則是關于“商”的進一步研究，主要理解除法計算中產(chǎn)生循環(huán)小數(shù)的原因，掌握“循環(huán)小數(shù)”、“有限小數(shù)”、“無限小數(shù)”的概念，形成靈活處理“商”的意識和能力。

例7可以讓學生用豎式計算，當學生發(fā)現(xiàn)該題“除不盡”時，教師可以讓學生邊觀察豎式，邊思考問題。

（1）如果繼續(xù)除下去，會出現(xiàn)怎樣的結果？

（2）余數(shù)有什么特點？

（3）商的小數(shù)部分的數(shù)字有什么特點？

學生通過觀察思考會發(fā)現(xiàn)，如果繼續(xù)除下去，商的小數(shù)部分總是重復出現(xiàn)3，余數(shù)25也重復出現(xiàn)，因此會永遠除不完。那么為什么商的小數(shù)部分總是重復出現(xiàn)3，余數(shù)25也重復出現(xiàn)，二者有什么關系？仔細觀察一下豎式，大家會發(fā)現(xiàn)，當余數(shù)重復出現(xiàn)時，商就會重復出現(xiàn)，商是隨余數(shù)重復出現(xiàn)才重復出現(xiàn)的。

這樣通過圍繞所提問題進行計算、觀察、分析等活動，學生對依次不能重復出現(xiàn)等關鍵詞語，有了較深刻的理解，對于商循環(huán)出現(xiàn)的原因也有了較清楚地認識，循環(huán)小數(shù)的概念呼之欲出。一旦概括出了循環(huán)小數(shù)的概念，那么怎樣表示循環(huán)小數(shù)又會引發(fā)學生新的探索。

四、讓學生在知識形成過程中建構

在小學數(shù)學教材中，有些法則、公式的歸納概括是有一個過程的，也就是說不可能一步到位。之所以會出現(xiàn)這種情況，正如《課標》中所說“充分考慮本階段學生數(shù)學學習的特點，符合學生的認知規(guī)律和心理特征，有利于激發(fā)學生的學習興趣，引發(fā)學生的數(shù)學思考；充分考慮數(shù)學本身的特點，體現(xiàn)數(shù)學的本質(zhì)?！苯滩牡恼w設計要呈現(xiàn)不同數(shù)學知識之間的關聯(lián)。一些數(shù)學知識之間存在邏輯順序，教材編寫應有利于學生感悟這種順序，這種關聯(lián)。就拿整數(shù)加法筆算法則來說，它的構建就經(jīng)歷了幾個階段。

整數(shù)加法法則的建構經(jīng)歷了兩個階段。第一階段是學習百以內(nèi)的加法。對于這部分知識，教材安排了2個層次。先學習不進位加法，構建了整數(shù)加法的前兩條法則，即“相同數(shù)位對齊”和“從個位加起”。再學習進位加法，建構了“個位上相加滿十，向十位進一。”這個階段是繼續(xù)學習整數(shù)加法乃至于整數(shù)加減法、小數(shù)加減法、分數(shù)加減法的基礎。所謂“相同數(shù)位對齊”，就是指相同數(shù)位上的數(shù)相加，也就是相同單位的數(shù)相加?！皬膫€位加起”則是經(jīng)驗的總結，是個規(guī)定。而“個位上相加滿十，向十位進。”則是伴隨著計算產(chǎn)生的，其中既有算理，又有算法，它是進位加法的第一步。第一個層次安排了2個例題教學。例1的35+2要借助學生用小棒進行操作，使學生知道在寫豎式時“2”要和“5”對齊的道理，也就是個位數(shù)要和個位數(shù)對齊。例2的35+32中，第二個加數(shù)有了十位數(shù)，會引發(fā)學生有了新的思考。第二個加數(shù)十位上的3在哪里寫？從哪里加起？用小棒進行操作可以解決“3”的書寫位置。而先加什么，后加什么則會出現(xiàn)兩種可能，這就需要教師的及時點撥了。要強調(diào)豎式計算時一定要從個位加起，至于為什么，以后大家會明白的。為了鞏固新知，在練習中不能滿足于學生用豎式算，而應在計算的同時進一步體會這兩條法則。第二個層次是進位加，重點解決豎式計算中個位上相加滿十怎么辦，以及豎式上如何寫的問題，這是教學的難點所在。為了讓學生理解，還是應該重視小棒操作。一旦擺出了小棒，學生就會意識到單根的加起來是12根，要把10根捆成一捆，這一捆要放在整捆的位置，那2根還在單根的位置，所以寫豎式時，得數(shù)的個位上寫2，而新捆成的一捆怎么在豎式上表示會使學生感到糾結，這就需要進行點撥，要把這個“1”寫在第二個加數(shù)的右下方，并盡量寫小一點。然后讓學生說一說十位上怎么算，提醒學生十位上相加時千萬別忘了加上進位數(shù)1。至于豎式計算時，為什么要從個位加起，恐怕大家也就心知肚明了。初學進位加法，很多學生還不適應，很可能會出現(xiàn)忘記進位，忘記加進位數(shù)等問題，所以要進行適當?shù)膶ｍ椨柧?。如出道題目讓學生說說先算什么，再算什么，尤其是十位上是怎么算的。此后可以讓學生結合以上幾道題的計算過程，嘗試著歸納出“個位相加滿十，向十位進1”，繼而完整地敘述一下100以內(nèi)筆算加法的計算法則。

第二階段的學習是在三年級上冊，這個階段的筆算加法是100以內(nèi)筆算加法的延伸，數(shù)的范圍由百以內(nèi)擴展到萬以內(nèi)。教材安排了3個例題，例1是不進位加法，新的知識點是百位數(shù)的對位和百位數(shù)相加。例2新的知識點是十位上相加滿十和百位上相加滿十。例3出現(xiàn)了連續(xù)進位的情況。教學中要抓好銜接點的教學，要充分利用知識遷移規(guī)律。相信對于三年級學生來說，例1完全可以自己解決，例2可能會出現(xiàn)問題，即十位上相加滿十了，在豎式上怎么寫？百位上相加滿十了，豎式上又怎么寫？解決的方法還應該借助于操作表象。不過用小棒進行操作準備起來有些困難，我們可以選擇教學課件或計數(shù)器，依然可以讓學生感到動感，感悟到整捆的相加是12捆，可以把10捆捆成一大捆，放在大捆的位置。而用計數(shù)器似乎就省事了，十位上相加撥珠滿了10，自然要用百位上的1顆珠子代替。用了計數(shù)器，百位上相加滿十怎么辦的問題也就迎刃而解了。至于忘了加進位數(shù)的問題，首先讓學生明白為什么加，更重要的是良好計算習慣的培養(yǎng)。

綜上所述，例2是個位滿十向十位進1這條進位法則的擴展，一定要讓學生結合練習真正理解和熟練運用。至于教材中提出的“計算萬以內(nèi)的加法要注意什么”，目的在于讓學生歸納筆算加法法則，即“相同數(shù)位對齊”，“從個位加起”。而進位法則，一定要遵循知識遷移規(guī)律，讓學生結合“個位相加滿十，向十位進1”，“十位相加滿十，向百位進1”，“百位相加滿十，向前位進1”，通過合作學習的方式嘗試著用一句話闡明進位法則，也就是把個位、十位、百位概括成“哪一位”，向十位、向百位、向千位，概括成“前一位”。成功構建了整數(shù)加法法則，然后再研究例3的連續(xù)進位加法，學生便會有的放矢，個位滿十要向十位進1，十位也滿十要自然還要向百位進1，連續(xù)兩次進位，每一次都要向前一位進1，十位、百位上相加時都不能忘記加上進位數(shù)，這樣連續(xù)進位的難點便不攻自破了?？v觀整數(shù)筆算加法法則的構建過程，可以充分看出教學的由淺入深、環(huán)環(huán)相扣，充分展現(xiàn)了整數(shù)加法本身是密切聯(lián)系的一個有機整體。抓住了知識間的內(nèi)在聯(lián)系，就抓住了“綱”，就能一通百通。而學生主動參與到法則生成的過程中，既培養(yǎng)了學生的抽象概括能力，還為整數(shù)減法計算法則，甚至于小數(shù)加減法法則的構建打下了良好的基礎。

實踐證明，讓學生親身經(jīng)歷知識形成的過程，并在這個過程中使學生做到會觀察、會實踐、會對比、會分析、會研究、會概括歸納，能夠在數(shù)學的大舞臺上展示激情、展示智慧、展示個性、展示自我，學生的創(chuàng)造性火花就會不斷閃現(xiàn)，真正體驗到成功的愉悅，而我們的數(shù)學課堂也愈加豐富、鮮活與深刻。

（作者單位：山東大學第一附屬小學，山東 濟南 250000）