高中數(shù)學(xué)教學(xué)中函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性教學(xué)研究

黃延紅 王樹(shù)森

摘 要：函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中最為重要的組成部分之一，其也是歷年高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，因此加大對(duì)高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)的相關(guān)研究，對(duì)提升高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效果有著重要作用。結(jié)合實(shí)例對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性教學(xué)情況進(jìn)行研究。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；函數(shù)對(duì)稱(chēng)性；軸對(duì)稱(chēng)；周期函數(shù)

高中數(shù)學(xué)是一門(mén)具有較高抽象性的基礎(chǔ)學(xué)科，其不僅對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)具有較大的學(xué)習(xí)難度，對(duì)于教師的有效教學(xué)來(lái)說(shuō)，也存在一定的障礙。尤其是在高中函數(shù)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)中，由于函數(shù)的概念相對(duì)較為抽象，其對(duì)學(xué)生抽象思維能力的要求較高，因而當(dāng)前有相當(dāng)一部分學(xué)生在函數(shù)知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)中存在較大的障礙，所以加大對(duì)其教學(xué)的研究，對(duì)有效提升高中函數(shù)教學(xué)效果，有著積極意義。下文將結(jié)合實(shí)例對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性教學(xué)情況進(jìn)行研究。

一、高中數(shù)學(xué)函數(shù)對(duì)稱(chēng)性分類(lèi)

1.函數(shù)圖象的自對(duì)稱(chēng)

在高中數(shù)學(xué)函數(shù)專(zhuān)題中，關(guān)于函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性的種類(lèi)中，函數(shù)圖象的自對(duì)稱(chēng)是其中一種主要的對(duì)稱(chēng)形式之一。如其中的奇函數(shù)和偶函數(shù)，前者關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，后者關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，就是十分典型的一種函數(shù)圖象自對(duì)稱(chēng)形式。同時(shí)在三角函數(shù)y=sinx中，其對(duì)稱(chēng)軸是x=kπ+，其對(duì)稱(chēng)中心是點(diǎn)（kπ，0）；在反比例函數(shù)y=中，其對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)是y=x；在二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，其對(duì)稱(chēng)軸是x=-等，這些函數(shù)其圖象都屬于自對(duì)稱(chēng)類(lèi)型。

2.函數(shù)圖象間的對(duì)稱(chēng)

在高中數(shù)學(xué)函數(shù)專(zhuān)題中，關(guān)于函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性的種類(lèi)中，函數(shù)圖象間的對(duì)稱(chēng)，也是其中一種主要的對(duì)稱(chēng)形式。如在函數(shù)y=-f（x）和函數(shù)y=f（x）的圖象中，兩個(gè)函數(shù)圖象就是關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，同時(shí)兩個(gè)函數(shù)圖象其另外一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸是y軸。此外，這兩個(gè)函數(shù)還關(guān)于原點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)。再如函數(shù)y=f（x），與函數(shù)y=2a-f（x）其圖象之間，是關(guān)于直線(xiàn)y=a相對(duì)稱(chēng)的。函數(shù)圖象間的對(duì)稱(chēng)關(guān)系，在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中，也是教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)之一。

二、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性教學(xué)研究

在高中函數(shù)對(duì)稱(chēng)性知識(shí)點(diǎn)教學(xué)過(guò)程中，其主要存在的對(duì)稱(chēng)關(guān)系有兩種，一種是函數(shù)圖象的自對(duì)稱(chēng)，另一種就是函數(shù)圖象間的對(duì)稱(chēng)。其中函數(shù)的自身對(duì)稱(chēng)性，是高中數(shù)學(xué)階段的教學(xué)重點(diǎn)及教學(xué)難點(diǎn)。關(guān)于函數(shù)的自身對(duì)稱(chēng)性，主要包含以下幾個(gè)相關(guān)定理及推論：定理一：“函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)A（x1，y1）對(duì)稱(chēng)的充要條件是f（2x1-x）+f（x）=2y1”，由此得到的推論是“函數(shù)y=f（x）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的充要條件是f（-x）+f（x）=0”。該定理的具體證明過(guò)程如下：首先證明其充分性。在函數(shù)y=f（x）中，其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（xi，yi），根據(jù)函數(shù)表達(dá)式，可以得到y(tǒng)=f（xi），又由于f（x）+f（2xi-x）=2yi，所以可以得到f（xi）+f（2xi-xi）=2yi，將該方程式進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)換，可得到2yi-yi=f（2xi-xi）。由此可證明點(diǎn)（2xi-xi，2yi-yi）同樣是函數(shù)圖象上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，同時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)Q′是關(guān)于點(diǎn)A（xi，yi）相對(duì)稱(chēng)的，由此其充分性即可以獲得證明。必要性的證明。假設(shè)函數(shù)y=f（x）中，存在一點(diǎn)Q（x，y），由于點(diǎn)Q（x，y）關(guān)于點(diǎn)A（xi，yi）相對(duì)稱(chēng)的另一點(diǎn)Q（2xi-x，2yi-y）也在該函數(shù)曲線(xiàn)上，因此可以得到2yi-y=f（2xi-x），將其進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，可得到2yi=f（2xi-x）+y。由此定理一的必要性就可以得到證明。

根據(jù)定理一及其推論，可得到關(guān)于函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的第二個(gè)定理，即定理二：①如果函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a成軸對(duì)稱(chēng)圖形，且同時(shí)關(guān)于點(diǎn)A（x1，y1）成中心對(duì)稱(chēng)圖形，且a≠x1，那么，函數(shù)y=f（x）是一個(gè)周期函數(shù)，一個(gè)周期是4|x1-a|；②如果函數(shù)y=f（x）的圖象既關(guān)于點(diǎn)A（x1，y1）成中心對(duì)稱(chēng)，又關(guān)于點(diǎn)B（x2，y1）成中心對(duì)稱(chēng)且（x1≠x2），那么函數(shù)y=f（x）是一個(gè)周期函數(shù)，一個(gè)周期是2|x1-x2|；③如果函數(shù)y=f（x）的圖象既關(guān)于直線(xiàn)x=x1成軸對(duì)稱(chēng)，又關(guān)于直線(xiàn)x=x2成軸對(duì)稱(chēng)且（x1≠x2），那么函數(shù)y=f（x）是一個(gè)周期函數(shù)，一個(gè)周期是2|x1-x2|。

以下將以實(shí)例對(duì)函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的教學(xué)情況實(shí)施研究。如題目“定義在R上的函數(shù)為非常數(shù)函數(shù)，此函數(shù)滿(mǎn)足：當(dāng)x=10-x時(shí)為偶函數(shù)，且f（5+x）=f（5-x），那么f（x）肯定是？”根據(jù)題目給出的已知條件，及函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的相關(guān)定理可知，由于x=10-x時(shí)，其是偶函數(shù)，所以可推出f（10+x）=f（10-x），由此可說(shuō)明x=5是該函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸以外，其另外一條對(duì)稱(chēng)軸是x=10。到此可判斷該函數(shù)是周期為10的周期函數(shù)，同時(shí)由于x=0也是該函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸，因此可以得到該函數(shù)除了是周期函數(shù)外，還是一個(gè)偶函數(shù)，因此該函數(shù)是一個(gè)周期為10的偶函數(shù)。因此在解答函數(shù)題目，進(jìn)行函數(shù)教學(xué)時(shí)，要注重對(duì)函數(shù)對(duì)稱(chēng)性知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)，使學(xué)生學(xué)會(huì)用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性去優(yōu)化函數(shù)問(wèn)題的解題步驟，提升高中數(shù)學(xué)的教學(xué)效果。

由此可以看出，高中數(shù)學(xué)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性教學(xué)，對(duì)于優(yōu)化函數(shù)題目的解題效率，提升高中數(shù)學(xué)的教學(xué)效果，提升學(xué)生數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)效果，以及培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)解題思維方法等，有著重要作用，因此，加大對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性教學(xué)研究，有著深遠(yuǎn)意義。

參考文獻(xiàn)：

[1]張海燕.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性教學(xué)探討[J].高中生學(xué)習(xí)：師者，2014（6）：29.

[2]劉麗.關(guān)于高中數(shù)學(xué)新課程中函數(shù)設(shè)計(jì)思路及其教學(xué)探討[J].高考：綜合版，2015（11）：66.

編輯 段麗君