例談變式教學在初中數學中的應用

江蘇省蘇州工業園區斜塘學校　王　芳

例談變式教學在初中數學中的應用

江蘇省蘇州工業園區斜塘學校王芳

筆者有幸參加了一次蘇州市初三數學復習研討會，學習了兩節“直線和圓的位置關系”的復習課，兩位老師處理問題的風格迥然不同，但是成功的原因如出一轍，即都是一位“善變”的數學老師。這里的“善變”是指巧妙設計變式，激發學生學習的興趣，點燃學生思維的火花，讓學生在不斷的探索中復習鞏固知識，體會數學的思想、方法，從而提高分析問題和解決問題的能力。

一、變式教學，有利于學生把握概念的本質

概念是最基本的思維形式。數學中的命題都是由概念構成的，數學中的推理和證明，又是由命題構成的。因此，概念的學習是教學的重要環節。數學概念是從現實生活中抽象出來的，具有較強的抽象性，學生掌握起來比較困難。因此，教師可以通過對概念的變式，來引導學生把握概念的本質。

二、變式教學，有利于激發學生參與的熱情

課堂教學效果很大程度上取決于學生的參與情況，這就首先要加強學生在課堂中的參與意識，使學生真正成為課堂教學的主人。而變式教學就注意到了教材前后知識的銜接，題目設計由易到難，形成一定的層次，循序漸進，通過對各題的分析，概括出各題中共同的、本質的東西，以達到由一題向另一題的遷移，對一般原理的進一步認識的目的，讓我們的數學活動有層次地推進。給人以層次感、新鮮感，能夠喚起學生的好奇心和求知欲，因而能夠產生主動參與的動力，保持其參與數學活動的興趣和熱情。

如復習切線的性質和常用輔助線：

如圖1，PC切⊙O于點C，PB=2，PC=4，則⊙O的半徑為___。

【分析】該題的已知條件簡單明了，PC切⊙O于點C，學生能立即反應出連結OC作出輔助線，根據切線的性質得OC⊥PC，從而構造直角三角形，再通過設未知數的方法，利用勾股定理列出方程，解決問題。當然還有一部分同學把BO延長，利用切割線定理解決問題。本題主要意圖是讓學生熟練掌握常用輔助線的添法，并鼓勵學生嘗試用多種方法解決問題。

圖1

變式：

（3）已知PC切⊙O于點C，∠P=40o，則∠PCB的度數是___。

【分析】第（1）小題可以利用特殊三角函數來求解，也可以設未知數列方程求解；第（2）小題只能通過設未知數來求解；第（3）小題利用切線的性質和圓的半徑相等的性質來求得。這三個小題旨在通過不同的變式，掌握常規輔助線的添法，理解切線的性質，以及體會各種解法的利弊，從而激發學生學習的興趣。

三、變式教學，有利于提高學生的辨析能力

所謂變式，就是通過變更對象的非本質特征的表現形式，變更人們觀察事物的角度或方法，以突出對象的本質特征，突出那些隱蔽的本質要素，讓學生在變式中思維，從而掌握事物的本質和規律。采用的主要方法是改變對象的表達形式，如題目條件與結論的互換；圖形位置、大小、形狀等的變化；規律和語言符號的互譯等。

例如，復習切線的判定：

（1）如圖2，若PA切⊙O于點A， 點B在⊙O上，且PA=PB，那么PB是⊙O的切線嗎？為什么？

圖2

圖3

（2）如圖3，若PA切⊙O于點A， PO平分∠APB，那么PB是⊙O的切線嗎？為什么？

【分析】這兩小題的已知條件不同之處在于，第（1）小題已知點B在⊙O上，而第（2）小題不然，要讓學生找出不同之處，并理解不同的已知條件，輔助線的添法截然不同，證明切線的方法也不同。

最后讓學生歸納總結一般規律：

（1）若直線過圓上某一點，一般是“連半徑，證垂直”；

（理論依據：切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。）

（2）若直線與圓的公共點沒有確定，一般是“作垂直，證半徑”。（理論依據：利用數量關系：圓心到直線的距離等于半徑，即d=r）

四、變式教學，有利于促進學生知識的建構

教學中要特別重視對課本例題和習題的變式。數學的思想方法都隱藏在課本例題和習題中，我們在教學中要對這類習題進行必要的挖掘，即通過一個典型的例題，最大可能地覆蓋知識點，把分散的知識點串成一條線，往往會起到意想不到的效果，有利于知識的建構。教學像我們聽評書的“且聽下回分解”一樣，每節課給學生留下回味的余地，給學生提供繼續研究的舞臺。

例如本節課中典型例題的安排：

例1如圖4，已知直線PA交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑，點C在⊙O上，且AC平分∠PAE，過點C作CD⊥PA，垂足為D。求證：CD為⊙O的切線。

圖4

【分析】此題已知點C在⊙O上，所以要證明CD為⊙O的切線，只要“連半徑，證垂直”。學生通過此題，體會證明切線的常用方法。

例2如圖5，已知直線PA交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線，且CD⊥PA，垂足為D。

圖5

（1）求證：AC平分∠PAE。

（2）若CD=4，AD=2，求⊙O的半徑。

（3）若CD+AD=6，⊙O的直徑為10，求AB的長度。

（4）若⊙O的半徑為4，求AD·AB的最大值。

【分析】例2把例1的條件作了改變，已知CD是⊙O的切線，且CD⊥PA，垂足為D，第（1）小題反過來求證AC平分∠PAE，這里考查了切線的性質；第（2）小題利用相似三角形，求線段長度，也是圓中求線段長度的常用方法；第（3）小題的難點在于輔助線如何添，學生有一個嘗試的過程。作OF⊥AB于點F，這樣就出現矩形DCOF，OC=DF=5，要算出AB的長，首先要知道AD和DC的長，所以必須設AD或DC的長為未知數，才能通過勾股定理構造方程，解決問題，這里涉及了方程的思想；第（4）小題在第（3）小題的基礎上提高了難度，但是學生應該從中得到設未知數的思想方法，設AD=x，則AF=4-x，AB=2（4-x），這樣，轉化成了二次函數的最值問題，這種問題就迎刃而解了。

例2的綜合性是比較強的，考查的知識點比較多，思想方法有方程的思想和函數的思想，題目設置也是層層遞進，不斷地給學生挑戰。通過教師引領、學生活動，讓學生自主建構數學知識，充分發揮了學生的主觀能動性。

在初中數學教學的過程中，我們要學做一個“善變”的老師，既要有強烈的變式意識、嫻熟的變式方法，又要遵循變式教學的規律，合理安排變式教學的內容。如果我們能夠把握變式教學和變式訓練的正確方法和尺度，在數學教學中恰當使用變式教學和變式訓練，不僅能夠幫助學生從“題海戰術”中解放出來，還對培養學生創造性思維，激發學生學習的興趣，將起到比較積極的作用，取得理想的教學效果。