例談等差數列兩個前n項和公式

安徽省蚌埠市懷遠縣第三中學　年四云

例談等差數列兩個前n項和公式

安徽省蚌埠市懷遠縣第三中學年四云

本文從思想方法的角度給出了等差數列前n項和兩個公式在實際問題中的應用。

思想方法；等差數列前n項和公式

我們知道，教材就等差數列前n項和給出了兩個公式：設等差數列的前n項和公式和為Sn，公差為d，n∈N＊，則（公式一），（公式二）。這兩個公式在解決問題時如何使用，下面舉例說明。以下m，n，p，q∈N＊，不再說明。

一、側重于函數方程思想的公式一

1.方程思想

所謂方程思想就是將題目條件運用前n項和公式，表示成關于首項a1和公差d的兩個方程，通過解決方程來解決問題。

解析：方程的思想，將題目條件運用前n項和公式，表示成關于首項a1和公差d的兩個方程。

拓展：觀察結構特點，將公式一做如下變形：

2.函數思想

所以，此數列的前9項之和最小。

由此可知，當n=9時，Sn最小。

解法三：已知S5=S13，而Sn是n的二次函數（二次項系數＞0），由拋物線的對稱性可得其對稱軸方程為。所以，當n=9時，Sn最小。

點評：以上分別利用了單調性、配方轉化為二次函數以及數形結合等，讓學生比較以上這三種常見的解法，體會函數思想的作用。解法三做法中幾乎沒有運算，抓住了題目條件，結合數列的函數特性做處理，顯得十分巧妙。

二、側重于等差數列性質的公式二

1.側重于性質：若m+n=p+q則am+an=ap+aq。

有些涉及等差數列前項n和的題目，常與等差數列的上述性質融合在一起，將a1+an與其他條件進行轉換。

例題4 一個只有有限項的等差數列，它的前5項的和為34，最后5項的和為146，所有項的和為234，則它的第七項等于（）

A.22B.21C.19D.18

解：設該數列有n項且首項為a1，末項為an，公差為d，則依題意有

（1）+（2）結合上述性質可得a1+an=36，代入（3）有n=13從而有a1+a13=36，

點評：依題意能列出3個方程，若將a1+an作為一個整體，問題即可迎刃而解。在求a7時，巧用等差中項的性質也值得關注。知識的靈活應用，來源于對知識系統的深刻理解。

2.側重于等差中項

利用等差中項，可以實施等差數列前n項和Sn與其通項an的轉換：

點評：利用等差中項建立起等差數列前項和與其通項的聯系是解決本題的關鍵。