破解多元函數最值問題之策略

江蘇省通州高級中學　朱麗強

破解多元函數最值問題之策略

江蘇省通州高級中學朱麗強

在高考和高三模考中，多元函數最值問題可謂是一顆璀璨的“明珠”，常考常新。由于其具有“知識上的綜合性、方法上的靈活性、思維上的獨特性”等特點，有時讓學生感到“束手無策”。其實，你只要注意平時善于總結與歸納各種解題技巧、方法與策略，在遇到具體問題時，便能綜合比較、多向衡量而采取一個正確的、巧妙的、快捷的策略措施。下面本文通過對一些常見的典型例題的本質性的挖掘與分析，提出解決此類問題的一般性的策略。

評析：（1）解法一由已知條件和所求的式子，不難想到轉化為“齊次型”來證明。這種問題在思維策略上具有一定的指向性，體現了對數學基本方法的掌握。

（2）解法二的關鍵點在于：變化換元，創設條件改變易尋找關系的變量。這種解題的策略往往會尋找到問題的銜接點，架設起解題的綠色通道，從而能達到出奇制勝的效果。這類題往往能很好地反映學生的思維層次與能力水平。

（3）本題也可采用“三角換元”求解。

評析：（1）解法一的解題關鍵點在于：利用基本不等式。它是解決最值問題的立足基本，是占有突出地位的常用方法。在解決有關多元函數最值問題時，我們未必讓學生總是片面追求解題的特殊技巧而忽視了數學中的通性通法，這樣會使數學能力成為毫無根基的“空中樓閣”。

（2）解法二的解題技巧在于：三角換元。從而轉化為三角函數的最值問題。這種轉化的解法，需要學生具備一定的數學素養和解題機智，也凸顯了換元轉化的神奇功效。

例3：設實數a，b，c滿足a2+b2≤c≤1，求a+b+c的最小值_______。

評析：（1）解法一的關鍵是通過消元轉化為二次函數的最值問題求解。

（2）解法二的關鍵點在于：“利用基本不等式”的技巧，這種技巧產生在充分的觀察、思考與研究之后。在求解數學的問題時，首先就應該從宏觀上把握問題，透過信息的表象，能抓住問題的本質，再從微觀上明確解題的方向。

（3）解法三通過三角換元巧妙地將一些重要數學思想方法寓于問題的解決之中，曲徑通幽，耐人尋味。

以上解決多元函數最值問題的思路與方法告訴我們：見多識廣，可以增強領悟能力，博采眾長，才能減少盲目性。解題中的靈感突現，源自平時的日積月累，只有多鉆研，多探索，做題時便能隨機應變或獨辟蹊徑，以致迎刃而解。