數學實驗探究中的幾何直觀探微

江蘇省蘇州市相城區春申中學　許　宏

數學實驗探究中的幾何直觀探微

江蘇省蘇州市相城區春申中學許宏

幾何直觀是新課程標準的核心概念之一，更是一種數學學習的基本策略，而數學實驗則是培養幾何直觀能力的有效載體與途徑。借助數學實驗能幫助學生養成操作圖形的良好習慣，實現數形結合。

初中數學；實驗探究；幾何直觀

目前，廣大數學教師愈來愈多地接觸幾何直觀這個詞匯，按筆者的理解，它是新課程的核心概念，更是一種數學學習的基本策略，幾何直觀是指利用圖像來分析數學問題，使之形象化，便于交流與理解。而數學實驗則指的是借助實際操作來真正讓學生操作幾何直觀，數學實驗是實現幾何直觀的有效渠道。沒有實驗的幾何直觀難以真切化也難以理解，而沒有幾何直觀的數學實驗則往往是紙上談兵，不切實際。如何通過數學實驗來培養學生的幾何直觀，筆者結合平時工作略陳一二：

一、在折、剪中實現幾何直觀，理解數學概念

數學概念是數學的基本元素，但是長期以來，數學概念教學不外乎教師展示一些實例，讓學生觀察討論它的基本內涵，做多了學生自然形成了相關概念，但是在現實中學生往往對其理解不深，易發生概念之間的理解混淆。

比如，對于三角形的中線、角平分線、高線是三角形中的基本線段，在建立這三個三角形中的概念時，我們可以讓學生把其中一條邊對折，這樣就找到了這條邊中點，然后沿這個中點與這條邊所對角的頂點折出一條線段就是三角形的中線了。至于高，其實需要把三角形的一邊對折，如果此時折縫沒有過這條邊所對角的頂點，那要再折，直接折縫過了頂點，展開三角形紙片，此時的折縫就是三角形的高了。為什么？學生可以通過平角被分成兩個相同的角來理解，此時折縫正好與它相交的邊垂直。同樣角分線則要通過折疊三角形的角來得到，它有核實屬性是必須使三角形的一個角分成兩個相同的角，而且這個角平線是指一條線段而不是射線。另外，還有一邊上的中垂線也是一個重要概念。對學生來說，不但現在需要掌握這些概念，今后還要衍生出它們的種種性質，在作圖與圓的學習中都會用到，但現實中學生往往會混淆起來。那是因為他們對概念的理解比較膚淺。為什么計算面積是一定要是用高，而不是中線？這需要學生理解高的概念與三角形面積的實驗過程。為什么是中線可以把三角形分成面積相等的兩塊，而不是角平分線？這更需要把握其同一直線上兩條相同的線段所造成的等底的特征。有了上邊的操作過程，學生不但看到了相關線段，還做出了相關線段，這種在直接實驗操作中得到的概念既是幾何直觀的表現，更有助于概念的真正形成。

二、借助數形結合實現幾何直觀，使數學直觀化

數學中有大量內容，從表面上看是屬于代數的領域，但如果我們能借助實驗用形來表征數學中的許多內容，就會使這些內容更形象與直觀，這就是我們經常說的數形結合。在小學里，學生已經學會用線段圖來表示應用題的數量關系，到了初中，數形結合的要求更高了，用線段可以表示無理數。

這里我們可以插入兩段數學史，一是：公元前4世紀，畢帕索斯發現正方形的邊長與其對角線之間就是不可公度（公度指的是它們之比是自然數之比）。而由于畢帕索斯的這一離奇發現，觸犯了部分人的利益，因此這位聰明的數學研究者被可憐地扔進了大海。另一則是在中國，傳統數學中的無理數產生于開方不盡的圓周率。中國人始終對關于無限的問題能夠正視，所以很快發現了無理數。有了這兩則史話，我們可以出示如上圖形，讓學生探究圖中在邊長為一的小正方形塊拼成的大正方形中有如陰影部分所示的長方形，你知道長方形的長是多少，寬又是多少嗎？數形結合下的數學探究由此開始，這種學術探究氛圍一點不亞于中國古代數學家與國家的數學名人。

三、借助圖形變動實現幾何直觀，理解變化中的規律

讓圖形中部分元素是運動的，讓學生產生運動的觀念，這是數學實驗中培養學生數學思維的常用渠道，也是培養學生幾何直觀的重要方面。對于運動的圖形，傳統教學中學生只能夠通過不同圖形的操作達到目的，這正好像過去的畫圖生成的動畫片一樣，它只是一種感覺上的動，并未真正地動起來。現在好了，有了電腦軟件，一切都夢想成真了，幾何畫板就是這樣一款實用性很強的數學實驗軟件。

比如我們要研究y=ax2（a≠0）與y=a（x-h）2（a≠0）的兩圖像間的關系，借助幾何畫板，我們生成相關圖像會非常自然，而且兩個圖形可以重疊在一起比較。一旦圖像呈現，我們可以改變h的大小，所產生的變化一目了然，然后可以讓學生找找這樣變化的原因，使探究進一步深入。

再如，為了探究圓的相交弦定理，我們可以如下操作：

（1）打開幾何畫板，做出⊙O，在⊙O上取四個點，連接出兩條弦AB與CD，交點為E。

（2）運用“度量”菜單下的“線段”，度量AE、BE、CE、DE的長度，觀察后猜想：這四條線段存在什么樣的關系？然后用函數功能計算兩兩相乘的結果，在界面的一側顯示結果。

（3）拖動四個圓上四個點中的其中一個，看猜想的結論有何變化。（4）拖動四個頂點中的幾個，看猜想的結論有何變化？

通過這些操作，學生的猜想得到了驗證，就為下一步的證明提供了方向，怎么證明，其實學生會很快通過把相關等式轉化為線段的比例關系，然后用相似三角形、圓周角的知識來解決了問題。

綜上所述，在新課程時代，數學實驗將原始的數學探究過程重新搬上了舞臺，讓學生經歷數學家的思維過程，增強自信心與自豪感。而通過數學實驗，學生的動手能力增強了，數學直觀能力也得到了培養。由于計算機的介入，使數學實驗更為高效與省時，使數學實驗與幾何直觀更加緊密地聯系在了一起。

［1］董林偉.數學實驗手冊（八年級上冊）［M］.南京：江蘇鳳凰科學技術出版社，2015.