化歸方法在高中數學教學中的運用

江蘇省海門市能仁中學　馬　麗

化歸方法在高中數學教學中的運用

江蘇省海門市能仁中學馬麗

在解決高中數學問題時，可以采用某種方法將問題等價轉換為新的簡單化的問題，如函數y=x6+x3+k，可以等價轉換為y=a2+a+k（a=x3），將六次函數簡化為二次函數，這就是簡單的化歸的解題方法。通常化歸方法解題是將陌生問題熟知化，繁雜問題簡易化，抽象問題直觀化。

一、數與數之間的化歸

我們在高中數學中常用的換元法就是一種數與數之間的化歸。換元法解題的關鍵在于問題有相同的數學結構特征（即方程式、不等式、函數式等中的代數式），將相同的數學結構特征適當變換為一個新的變量，這樣就能夠將原始問題化難為易、刪繁就簡，實現問題的化歸。因此，解決這類問題需要培養學生注意分析問題的相同的數學結構特征，對已知函數中的代數式進行適當變形，洞察題目中的特殊數學結構，利用這些特殊數學結構進行代換。

求證：m1+m2+m3=m1m2m3。

【分析】學生往往采用求證的等式左邊通分化簡，右邊乘積化簡，然后讓結果相同而達到證明。雖然這種計算化簡在理論上是可行的，在實際計算中卻是“工程浩大”。我們可以采用將已知條件進行變形，然后通過數與數之間的化歸，走出一條捷徑。

故等式成立。

數與數之間的化歸最關鍵的地方在于將陌生問題化歸為熟知，在應用我已有的知識或經驗將代數式變形代換，轉換為簡易的算式進行運算，從而達到解題的目的。

二、形與形之間的化歸

在幾何中，解決立體幾何問題要有較強的空間感，有靈活的抽象思維能力。而立體幾何問題往往都是依靠平面幾何的定理、定律來解決的。假如我們利用割形、補缺、折疊、鋪展、作輔助線等方法處理幾何圖形，將一個復雜的立體問題化歸為平面問題，這樣來解決立體幾何的問題就能化繁為易，事半功倍。

例2在下圖中，已知正三棱錐P-ABC中，各條棱的長都是2，E是側棱PC的中點，有一只蝸牛從A點出發，走過側面PAB和側面PBC到達E點，求蝸牛走過的最短距離。

【分析】眾所周知，平面上兩點間的距離最短。解決三棱錐中兩點間的側面上最短距離時可以將圖形鋪展開來（如下圖），這樣，就可以將一個立體幾何問題化歸為一個平面問題。

將立體圖形鋪展開來就是將空間圖形剪開攤平成一個平面圖形，在數學中我們求圓錐、圓臺的側面積都使用過這類方法。但很多數學問題并不是這種“圓滑無棱”的空間幾何體，需要培養學生的空間想象能力，能使某種在空間圖形中不容易察覺的幾何體元素的數學特征在平面圖形中清楚易見。

三、數與形之間的化歸

數與形之間的化歸包括“數”構建“形”和“形”凸顯“數”兩個部分。主要應用在函數與其圖象的關系、復數及其運算的幾何意義以及解析幾何中曲線與方程的概念等等方面。

1.“數”構建“形”。一些代數方面的問題通過仔細觀察分析可發現它具有某種特定的幾何含義，這種幾何含義就是數與形之間的新關系，是將代數問題化歸為幾何問題的切入點。

例3x、y滿足方程x2+y2-4x=1=0，求的兩個最值。

【分析】首先根據函數x2+y2-4x=1=0，構建與解析幾何的關系不難發現它就是一個圓的方程，將其化解為圓的標準方程（x-2）2+y2=3，可以發現實際上就是圓上的點（x，y）與原點連線的斜率，這樣就可將代數問題化歸為幾何問題速戰速決。

2.“形”凸顯“數”。這是一種將幾何問題代數化，以量化到達形化，從而使數學問題達到成功解決的方法。這里就不再狗尾續貂了。

總之，在應用化歸方法解決數學問題時，沒有什么固定的模式，需要培養學生具有靈活頭腦和發散的思維。化歸的實質就是等價轉化，是對數學問題深入分析、對比聯想等的思維過程。將問題相同或相似的部分用數學的手段進行等價變換，將原問題轉化為一個熟知新問題，這其實是一種成功的秘訣。