論柯西不等式在高中數(shù)學中的應用

甘肅省靖遠縣第一中學　石福祿

論柯西不等式在高中數(shù)學中的應用

甘肅省靖遠縣第一中學石福祿

柯西不等式是數(shù)學中一個非常重要的不等式，在代數(shù)、幾何等方面應用非常廣泛，常常被當做解題基礎，可以利用條件快速得出結論。若能夠靈活運用柯西不等式，可以使一些問題巧妙地得以解決，我們要適當?shù)貥嬙焓褂盟臈l件，以達到最終目的。

柯西不等式；變式；應用

一、柯西不等式的主要變形公式

柯西不等式有多種變形，已經成為現(xiàn)在許多數(shù)學理論的出發(fā)點。掌握幾種常見的柯西不等式的變形，能夠讓我們對柯西不等式有更全面的認識，在解決數(shù)學問題時，也可以快速使用合適的變形形式解題。以下列舉常見的幾種柯西不等式的變形形式：

二、利用不同的變形方法解決問題：

下面舉例說明如何根據(jù)題目選擇柯西不等式的變形形式來解決問題，即柯西不等式的變形技巧。

1.等價變形

將要解決的不等式問題作等價變化，構造出n個實數(shù)的平方和與另n個實數(shù)平方和的乘積的形式。

2.換元求解

有時根據(jù)所證不等式的結構特征，適當換元，可以轉化成為容易應用柯西不等式的結構特征，快速解決問題。

由柯西不等式，得：

三、柯西不等式的應用

1.解決距離問題

證明：取直線上的任意一點Q（x，y），得Ax+By=-C，且A2+B2≠0。

由柯西不等式得：

2.證明等式和不等式

在等式問題上，可以探索出新的方法，另辟蹊徑。柯西不等式既然含有等號，就可以用來解決等式問題。同時利用不等式來解決等式問題，可以讓我們深刻領會到等式和不等式之間的相通性，培養(yǎng)辯證思維。

例4：已知正數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，

總之，柯西不等式形式多變，為我們解決高中的數(shù)學問題提供了極大的便利。深刻認識柯西不等式的定義并且能夠掌握其變式，靈活運用到解決問題的過程中，將對我們在高中階段的數(shù)學學習有很大的幫助。

［1］姚允龍.數(shù)學分析［M］.第二版，上海復旦大學出版社，2007.

［2］斐禮文.數(shù)學分析中的典型解題方法［M］.第二版，北京高等教育出版社，2006.

［3］蔡玉書.系列講座之八——柯西不等式［J］.中學數(shù)學月刊，2010.