安徽省潛山野寨中學(xué) 王永安
一道導(dǎo)數(shù)模擬題的深度探究
安徽省潛山野寨中學(xué) 王永安
導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點之一,是歷年高考數(shù)學(xué)試題命制的熱點和重點,各地的模擬考試都把導(dǎo)數(shù)作為考點。這些試題從不同角度考查學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的認識和學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的綜合運用的能力,在導(dǎo)數(shù)和方程組、不等式、數(shù)列、函數(shù)等方面進行交匯命題,從而考查學(xué)生的綜合運用能力。為讓學(xué)生更好地掌握導(dǎo)數(shù),教師要深入探究導(dǎo)數(shù)模擬題。
導(dǎo)數(shù)模擬題 深度探究 中學(xué)數(shù)學(xué)
近期,安徽省某學(xué)校月考卷中有這樣一道試題:
(1)求 a、b、c、d的值;
(2)證明:當x∈(2,+∞)時,函數(shù)y=f(x)的圖像上任意兩點的斜率恒大于0。
參考解答:(1)a=1,b=0,c=-3,d=0(略) ;(2)由f(x)=(x-1)3-3(x-)得f'(x)=3(x-)2-3>>0,故函數(shù)f(x)在(2,+∞)上為增函數(shù)。
任取A(x1,f(x1))、B(x2,f(x2)),設(shè)x1>x2>2,則f(x1)>f(x2),所以,得證。
筆者認為,如果教師評卷時只是就題論題,無法使學(xué)生實現(xiàn)對知識的發(fā)散與引申效果。教師如果深入探究題目本體,能很好地使學(xué)生解決導(dǎo)數(shù)不等式問題。
證法一:任取A(x1,f(x1))、B(x2,f(x2)),設(shè)x1>x2>2。

(這種解法不具有一般性。)
證法二:設(shè)x1>x2>2,證明等價于證明f(x)- f(x)>(x-x),即 f(x)-x> f(x)-1212112x,構(gòu)造函數(shù)g(x)= f(x)-x即可。2
(筆者認為這是解決此類問題的通法。)
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)證明:若a<5,則對任意x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,有
2.( 2006四川22題)已知函數(shù)(fx)=x2++a lnx(x>0),f(x)的導(dǎo)數(shù)是f '(x)。對任意兩個不等的正數(shù)x1、x2,證明:
(2)當a≤4時,|f '(x1)-f '(x2)|>|x1-x2|。
此類試題的理論基礎(chǔ)是高等數(shù)學(xué)中的中值定理。
如果函數(shù)f(x)滿足:
(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);
(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);
那么在(a,b)內(nèi)至少有一點c(a<c<b),使不等式f(b)-f(a)=f '(c)(b-1)成立。
[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)第六版上冊[M].北京:高等教育出版社,2012.05
[2]張宗達.工科數(shù)學(xué)分析 (第三版)上冊[M].高等教育出版社,2008.01
ISSN2095-6711/Z01-2016-10-0250