一道導數模擬題的深度探究

安徽省潛山野寨中學 王永安

一道導數模擬題的深度探究

安徽省潛山野寨中學 王永安

導數是高中數學的重點之一，是歷年高考數學試題命制的熱點和重點，各地的模擬考試都把導數作為考點。這些試題從不同角度考查學生對導數的認識和學生對導數的綜合運用的能力，在導數和方程組、不等式、數列、函數等方面進行交匯命題，從而考查學生的綜合運用能力。為讓學生更好地掌握導數，教師要深入探究導數模擬題。

導數模擬題 深度探究 中學數學

近期，安徽省某學校月考卷中有這樣一道試題：

（1）求 a、b、c、d的值；

（2）證明：當x∈（2，+∞）時，函數y=f（x）的圖像上任意兩點的斜率恒大于0。

參考解答：（1）a=1，b=0，c=-3，d=0（略） ；（2）由f（x）=（x-1）3-3（x-）得f'（x）=3（x-）2-3＞＞0，故函數f（x）在（2，+∞）上為增函數。

任取A（x1，f（x1））、B（x2，f（x2）），設x1＞x2＞2，則f（x1）＞f（x2），所以，得證。

筆者認為，如果教師評卷時只是就題論題，無法使學生實現對知識的發散與引申效果。教師如果深入探究題目本體，能很好地使學生解決導數不等式問題。

一、待證結論的改進

證法一：任取A（x1，f（x1））、B（x2，f（x2）），設x1＞x2＞2。

（這種解法不具有一般性。）

證法二：設x1＞x2＞2，證明等價于證明f（x）- f（x）＞（x-x），即 f（x）-x＞ f（x）-1212112x，構造函數g（x）= f（x）-x即可。2

（筆者認為這是解決此類問題的通法。）

二、高考中的類似題

（1）討論函數f（x）的單調性；

（2）證明：若a＜5，則對任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有

2.（ 2006四川22題）已知函數（fx）=x2++a lnx（x＞0），f（x）的導數是f '（x）。對任意兩個不等的正數x1、x2，證明：

（2）當a≤4時，|f '（x1）-f '（x2）|＞|x1-x2|。

三、背景探源

此類試題的理論基礎是高等數學中的中值定理。

如果函數f（x）滿足：

（1）在閉區間［a，b］上連續；

（2）在開區間（a，b）內可導；

那么在（a，b）內至少有一點c（a＜c＜b），使不等式f（b）-f（a）=f '（c）（b-1）成立。

［1］同濟大學數學系.高等數學第六版上冊［M］.北京：高等教育出版社，2012.05

［2］張宗達.工科數學分析 （第三版）上冊［M］.高等教育出版社，2008.01

ISSN2095-6711/Z01-2016-10-0250