一道導(dǎo)數(shù)模擬題的深度探究

安徽省潛山野寨中學(xué) 王永安

一道導(dǎo)數(shù)模擬題的深度探究

安徽省潛山野寨中學(xué) 王永安

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點之一，是歷年高考數(shù)學(xué)試題命制的熱點和重點，各地的模擬考試都把導(dǎo)數(shù)作為考點。這些試題從不同角度考查學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的認識和學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的綜合運用的能力，在導(dǎo)數(shù)和方程組、不等式、數(shù)列、函數(shù)等方面進行交匯命題，從而考查學(xué)生的綜合運用能力。為讓學(xué)生更好地掌握導(dǎo)數(shù)，教師要深入探究導(dǎo)數(shù)模擬題。

導(dǎo)數(shù)模擬題 深度探究 中學(xué)數(shù)學(xué)

近期，安徽省某學(xué)校月考卷中有這樣一道試題：

（1）求 a、b、c、d的值；

（2）證明：當x∈（2，+∞）時，函數(shù)y=f（x）的圖像上任意兩點的斜率恒大于0。

參考解答：（1）a=1，b=0，c=-3，d=0（略） ；（2）由f（x）=（x-1）3-3（x-）得f'（x）=3（x-）2-3＞＞0，故函數(shù)f（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)。

任取A（x1，f（x1））、B（x2，f（x2）），設(shè)x1＞x2＞2，則f（x1）＞f（x2），所以，得證。

筆者認為，如果教師評卷時只是就題論題，無法使學(xué)生實現(xiàn)對知識的發(fā)散與引申效果。教師如果深入探究題目本體，能很好地使學(xué)生解決導(dǎo)數(shù)不等式問題。

一、待證結(jié)論的改進

證法一：任取A（x1，f（x1））、B（x2，f（x2）），設(shè)x1＞x2＞2。

（這種解法不具有一般性。）

證法二：設(shè)x1＞x2＞2，證明等價于證明f（x）- f（x）＞（x-x），即 f（x）-x＞ f（x）-1212112x，構(gòu)造函數(shù)g（x）= f（x）-x即可。2

（筆者認為這是解決此類問題的通法。）

二、高考中的類似題

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）證明：若a＜5，則對任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有

2.（ 2006四川22題）已知函數(shù)（fx）=x2++a lnx（x＞0），f（x）的導(dǎo)數(shù)是f '（x）。對任意兩個不等的正數(shù)x1、x2，證明：

（2）當a≤4時，|f '（x1）-f '（x2）|＞|x1-x2|。

三、背景探源

此類試題的理論基礎(chǔ)是高等數(shù)學(xué)中的中值定理。

如果函數(shù)f（x）滿足：

（1）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)；

（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；

那么在（a，b）內(nèi)至少有一點c（a＜c＜b），使不等式f（b）-f（a）=f '（c）（b-1）成立。

［1］同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)第六版上冊［M］.北京：高等教育出版社，2012.05

［2］張宗達.工科數(shù)學(xué)分析 （第三版）上冊［M］.高等教育出版社，2008.01

ISSN2095-6711/Z01-2016-10-0250