淺談解析幾何二輪復習的一些想法和建議

孔濤

[摘 要] 解析幾何教學是中學數學的重點和難點，如何在高三解析幾何復習教學中提高復習的針對性、有效性、高效性，成為教師復習教學的重要工作.

[關鍵詞] 解析幾何；二輪復習；高三；數學；復習；教學

二輪復習教學是高考前的重要復習，是在一輪基礎上進行的更有針對性的、專題性質的教學復習. 對于高三復習教學而言，一輪復習是系統的、橫向的對各種知識進行梳理，比較全面地對每一章節的每一細微知識點都進行了復習. 與一輪復習不同的是，二輪復習更有針對性、專題性，它能將高考中的熱點問題進行有效的縱向挖深，有效地將各類問題有機整合，成為復習教學必不可少的復習途徑.

解析幾何是中學數學教學的難點和重點，從新知教學開始，學生對于解析幾何的恐懼一直延續到高三復習教學. 經過大量資料研究，造成解析幾何難學的主要原因是：第一，運算量大是學生對其恐懼的首要原因；第二，幾何條件如何轉化成代數語言不能較好地掌握；第三，當變量居多時，無法正確選擇合理變量進而轉化成函數問題求解；第四，解析幾何大部分的問題最終都是轉化成函數求值域的問題，函數最值求解模型能力達不到要求. 從這幾方面來看，解析幾何問題最終造成了學生學習的困難，因此在二輪復習教學時，要研究高考中的熱點問題結合上述造成困難的原因，提高復習教學的有效性和高效性.

[?] 基于高考真題所反映的信息

每年的高考真題，都是大學教授和中學特級教師命題的結晶. 很多高考真題，具備很高的研究價值，這里面既有考綱中對基本知識考查的訴求，還有在教材基本概念、基本知識等層面上進行的提煉和深加工.筆者建議，教師和學生至少要做一做去年的高考真題，讀懂這些真題背后所考查的知識點，有助于二輪復習教學的針對性.

問題1：設F1，F2分別為橢圓+y2=1的左、右焦點，點A，B在橢圓上，若=5，則點A的坐標是________.

分析：本題初看似乎與常規問題的解決有著極為不同的角度，但是細細品味，我們就不難發現高考真題想反映的是設而不求思想，但是這個設而不求需要利用橢圓最基本的性質——對稱性給予呈現. 利用對稱性這樣最基本的性質去考查學生，成為高考問題貼近教材的樸實體現.

[?] 類題同練

我們知道，從解析幾何教學初始到高三復習教學，運算能力一直是解析幾何教學急需解決的重要問題. 學生在運算中，往往對于直線和橢圓、直線和雙曲線、直線和拋物線的各種不同聯立方程極容易算錯，筆者的建議是在二輪復習教學中，采用類題同練的方式，加強計算的針對性，從而減少學生在不同曲線背景下的運算錯誤率.

問題2：已知拋物線C：y2=4x，以M（1，2）為直角頂點作該拋物線的內接三角形MAB. 求證：直線AB過定點.

分析：設直線AB的方程為x=my+b，利用垂直關系及韋達定理，將M點看作兩直線交點，利用軌跡思想，設直線MA的方程為y-2=k（x-1），聯立拋物線方程，用-取代k，可得直線MB與拋物線聯立的方程，進而求得定點（5，-2）.

類題1：把M點換成坐標原點，拋物線方程：y2=2px（p>0），則OA⊥OB時，直線AB過定點（2p，0）. （教材中的基本知識）

類題2：若kMA·kMB=r（常數），則直線AB必過定點.

類題3：若kMA+kMB=0，則直線AB的斜率為定值.

如圖2，以AB為直徑的動圓滿足交點M在圓內，可以編制類題：

類題4：若將點M設為拋物線上任意一點，則直線AB必過定點.

類題5：若將點M設為圓上任意一點，則直線AB必過定點.

類題6：將拋物線換成橢圓，直線AB也必過定點

[?] 同題多變

二輪復習要注意問題的多變性，有些問題就是不斷地在改變條件或者結論，要注重這樣同一類型問題的多變，在二輪教學中進行這樣的教學設計特別有助于教學的高效性.

問題3：橢圓+=1的焦點為F1，F2，點P為其上動點，當∠F2PF2為鈍角時，求點P橫坐標的范圍.

變式1：橢圓+=1的焦點為F1，F2，是否存在點P，使得∠F1PF2為直角？（≤e<1即可）

變式2：橢圓+=1的焦點為F1，F2，在橢圓上滿足PF1⊥PF2的點P的個數有______個. （2個）

變式3：橢圓+=1，若θ表示焦周角∠F1PF2，求證：S△F1PF2=b2tan.

變式4：點A1，A2是橢圓+=1長軸的兩端點，點P是橢圓上動點，則kPA1·kPA2=______.

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變式5：雙曲線-=1上存在一點P滿足∠FPF為直角的充要條件是離心率滿足e≥.

變式6：雙曲線-=1，若θ表示焦周角∠FPF，求證：S△F1PF2=b2cot.

變式7：點A1，A2是雙曲線-=1長軸的兩端點，點P是雙曲線上的動點，則kPA1·kPA2=____.

同題多變使得教學的寬度大大地拉長了，針對同一問題演變出的很多近似的條件或結論都有了一定的了解，這種同題多變的二輪復習方式也給予教師在教學中有所啟示.

[?] 條件轉化的合理性

學生之所以認為解析幾何問題較難，是對如何轉化題中的條件還具備不確定性. 很多學生從解析幾何學習的第一天就沒弄明白，解析幾何是用什么樣的方法解決什么樣的問題！二輪復習中，教師需要引導學生加強這一思想的滲透：用代數運算的方式解決幾何曲線問題，用合理的代數方式轉化條件中的幾何表述，注重積累的基礎上，提高條件轉化的合理性.

問題4：已知拋物線C：y2=-2px（p>0）上橫坐標為-3的一點，與其焦點的距離為4.

（1）求p的值；

（2）設動直線y=x+b（b>3）與拋物線C相交于A，B兩點，問：在直線l：y=2上是否存在與b的取值無關的定點M，使得∠AMB被直線l平分？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由.

分析：第（1）問顯然利用拋物線的定義求解；對于第（2）問，學生最大的疑問是如何用代數的語言描述“∠AMB被直線l平分”，很多學生腦海中沒有正確形成問題解決的代數思路：利用kAM=-kBM將幾何條件轉化成合理的代數語言.

[?] 加強函數最值模型的處理

解析幾何問題大都在求解變量范圍，這勢必與函數最值休戚相關. 中學數學說到底，還是變量問題的研究，這就和中學數學的核心章節——函數密不可分. 可以這么說，求解函數最值模型的熟練程度，是區分優秀學生與否的一個標志. 二輪復習中，教師需要精挑細選典型函數模型為本的解析幾何問題，在教學中更有側重地加以引導，從系統的角度審視，有助于優秀學生更上一層樓.

問題5：如圖3，點F是拋物線x2=2py的焦點.

（1）求拋物線的方程；

（2）若點P為圓O上一動點，直線l是圓O在點P處的切線，直線l與拋物線相交于A，B兩點（A，B在y軸的兩側），求四邊形OAFB的面積的最小值.

本題利用動點坐標設置了問題的求解，在求解過程中，使用動點縱坐標建立函數模型，運用整體思想的介入形成了二次函數模型，進而求解. 值得注意的是，解析幾何中的大部分問題最終涉及的函數還是一些基本初等函數，如二次函數模型、對勾函數模型等，不過轉化過程往往需要整體思想介入才能顯現出來，二輪復習教學要加以引導.

總之，二輪解析幾何復習是提高該知識高度的一個時間點，從多年教學經驗來看，上述經驗結合編制校本學情的資料，以微型專題的形式介入，對于學生后續時間段內進一步提高解析幾何有重要的作用. 筆者反對二輪復習階段，無目的、無針對性的訓練，不研究、不落實的訓練是浪費時間，降低效率，因此以筆者淺薄之見提出一些二輪復習的想法，不成熟之處還請讀者批評指正.