問題驅(qū)動(dòng)使定理生成更自然

劉剛　趙毅

[摘 要] 數(shù)學(xué)概念、定理等內(nèi)容是數(shù)學(xué)的重要組成部分，強(qiáng)調(diào)概念、定理的自然生成更是現(xiàn)行新課標(biāo)的重要理念之一. 兩個(gè)平面平行的判定定理是立體幾何中的一個(gè)重要定理，它揭示了線線平行、線面平行、面面平行的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想. 通過定理的探究，滲透“直觀感知—操作確認(rèn)—思辨論證”的認(rèn)知方法和抽象概括能力.

[關(guān)鍵詞] 問題驅(qū)動(dòng)；平面與平面；平行；判定定理

數(shù)學(xué)概念、定理等內(nèi)容是數(shù)學(xué)的重要組成部分，強(qiáng)調(diào)概念、定理的自然生成更是現(xiàn)行新課標(biāo)的重要理念之一. 但是，目前的教學(xué)中“重結(jié)論、輕過程”的現(xiàn)象普遍存在，將數(shù)學(xué)教學(xué)簡(jiǎn)單地等同于解題教學(xué)，將學(xué)生推向題海戰(zhàn)中，本末倒置，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，教學(xué)效果很不好.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該“返璞歸真”，努力揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、定理的形成過程，體會(huì)蘊(yùn)涵在其中的思想方法.下面以人教A版數(shù)學(xué)“平面與平面平行的判定”為例，談?wù)劰P者在教學(xué)實(shí)踐中的體會(huì).

[?] 教材分析

本節(jié)課是在空間線線、線面、面面位置關(guān)系以及直線與平面平行的判定基礎(chǔ)上進(jìn)行的，兩個(gè)平面平行的判定定理是立體幾何中的一個(gè)重要定理，它揭示了線線平行、線面平行、面面平行的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想. 通過定理的探究，滲透“直觀感知—操作確認(rèn)—思辨論證”的認(rèn)知方法，培養(yǎng)幾何直觀能力和抽象概括能力，為以后學(xué)習(xí)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)打下基礎(chǔ).

[?] 學(xué)情分析

（1）學(xué)生學(xué)習(xí)了空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系以及直線與平面平行的判定定理，對(duì)研究立體幾何問題的方法有了一些初步認(rèn)識(shí)，具備了一定的空間想象能力、邏輯推理能力.

（2）學(xué)生參與課堂、自主探索意識(shí)明顯增強(qiáng)，對(duì)能夠引起認(rèn)知沖突，表現(xiàn)自身價(jià)值的學(xué)習(xí)素材很感興趣.

（3）學(xué)生把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的意識(shí)還有所欠缺，在理解直線、平面位置關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系上還不夠深入.

[?] 教學(xué)目標(biāo)

（1）知識(shí)目標(biāo)：理解平面與平面平行的判定定理，能夠應(yīng)用判定定理解決簡(jiǎn)單問題.

（2）能力目標(biāo)：通過平面與平面平行的判定定理的探究和運(yùn)用，初步培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力和抽象概括能力，體會(huì)轉(zhuǎn)化、類比數(shù)學(xué)思想，滲透研究立體幾何問題的方法.

（3）情感目標(biāo)：通過定理的探究，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，體驗(yàn)知識(shí)的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究的習(xí)慣.

[?] 教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）實(shí)例引入，導(dǎo)入新課

師：你知道木工師傅是如何檢驗(yàn)桌面與水平面平行的嗎？

對(duì)于這個(gè)問題，不急于讓學(xué)生回答，先引起學(xué)生思考.緊接著，教師指出本節(jié)課所研究的課題.

設(shè)計(jì)意圖：從實(shí)際問題入手，激發(fā)學(xué)生的好奇心及求知欲，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性.

（二）啟發(fā)引導(dǎo)，探究定理

1. 類比

問題1：前面我們研究了直線與平面平行的判定，都有哪些方法？

生1：定義法與判定定理. 用定義法就是判斷直線與平面無公共點(diǎn)；用判定定理就是證明平面外直線與平面內(nèi)直線平行.

師：很好！用定義判定線面平行很麻煩，因此常用判定定理來判定線面平行. 也就是說，將判定線面平行的問題轉(zhuǎn)化為判定線線平行的問題.

設(shè)計(jì)意圖：鞏固所學(xué)知識(shí)，明確研究問題的方法，為下面把面面平行問題轉(zhuǎn)化為線面平行問題做好鋪墊.

2. 遷移

問題2：類比線面平行的判定方法，你有什么方法判定面面平行呢？

生2：用定義判斷，即判定兩個(gè)平面是否有公共點(diǎn)，如果沒有公共點(diǎn)，那么就說兩個(gè)平面互相平行.

問題3：用定義判定兩個(gè)平面平行很麻煩，還有其他的判定方法嗎？

啟發(fā)學(xué)生類比線面平行的判定定理，判斷面面平行的問題能否轉(zhuǎn)化為判斷線面平行呢？同時(shí)進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)：如果一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都與另一個(gè)平面平行，根據(jù)兩個(gè)平面平行的定義可得這兩個(gè)平面一定平行，否則這兩個(gè)平面就會(huì)有公共點(diǎn). 這樣，在一個(gè)平面內(nèi)通過公共點(diǎn)的直線就與另一個(gè)平面不平行，所以判定兩個(gè)平面平行的問題可以轉(zhuǎn)化為判定一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行的問題.

設(shè)計(jì)意圖：線面平行問題可以轉(zhuǎn)化為線線平行問題，因此引導(dǎo)學(xué)生將面面平行問題轉(zhuǎn)化為線面平行問題，體會(huì)類比、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

3. 探究

問題4：我們需要判斷一個(gè)平面上的幾條直線與另一個(gè)平面平行就可以判定這兩個(gè)平面平行呢？

生3：從簡(jiǎn)單、特殊情況入手，即先從一條直線開始研究.

問題5：平面β內(nèi)有一條直線與平面α平行，α，β平行嗎？請(qǐng)舉例說明.

引導(dǎo)學(xué)生在研究線面位置關(guān)系時(shí)，通常借助特殊的幾何體（如正方體、長(zhǎng)方體）模型進(jìn)行研究，體現(xiàn)直觀性.下面借助長(zhǎng)方體模型（讓學(xué)生課前每人做一個(gè)長(zhǎng)方體模型）進(jìn)行研究.

生4：不一定平行. 如圖2所示，平面A′ADD′中直線A′A∥平面DCC′D′，但平面A′ADD′與平面DCC′D'相交.

問題6：平面β內(nèi)有兩條直線平行于平面α，則α∥β嗎？

生5：不一定平行. 如圖3所示，平面A′ADD′內(nèi)有一條與A′A平行的直線EF，顯然A′A與EF都平行于平面DCC′D′，但這兩條平行直線所在的平面A′ADD′與平面DCC′D′相交.

問題7：我們?cè)谘芯繂栴}時(shí)，應(yīng)做到不重不漏，接下來是否研究三條直線呢？

生6：還應(yīng)進(jìn)一步研究一個(gè)平面中兩條相交直線的情況.

問題8：平面β內(nèi)有兩條相交直線與平面α平行，情況如何？

生7：可以考慮長(zhǎng)方體的兩條面對(duì)角線，如圖4所示，平面ABCD內(nèi)兩條相交直線AC，BD分別與平面A′B′C′D′內(nèi)兩條相交直線A′C′，B′D′平行，由直線與平面平行的判定定理可知，這兩條相交直線AC，BD都與平面A′B′C′D′平行. 此時(shí)，平面ABCD與平面A′B′C′D′平行.

問題9：你能用文字語言對(duì)上述探究結(jié)論進(jìn)行概括嗎？

生8：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行.

問題10：上述結(jié)論正確嗎？你能進(jìn)行解釋嗎？

此問題先由學(xué)生討論，然后回答，教師補(bǔ)充完善.

根據(jù)公理2推論，過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面，記為β，如圖5所示. 如果平面β與另一個(gè)平面α有公共點(diǎn)，則必有一條交線l，而l至少會(huì)與直線a，b中的一條相交，這與a，b和平面α平行相矛盾.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，通過問題鏈的設(shè)計(jì)，層層遞進(jìn)，使學(xué)生對(duì)問題本質(zhì)的思考逐步深入，體會(huì)知識(shí)產(chǎn)生的過程，滲透“直觀感知—操作確認(rèn)—思辨論證”的認(rèn)知方法，培養(yǎng)學(xué)生歸納、概括及動(dòng)手能力.

4. 歸納

（1）引導(dǎo)學(xué)生從文字語言、符號(hào)語言、圖形語言三個(gè)方面歸納面面平行的判定定理.

文字語言：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行.

符號(hào)語言：若a?β，b?β，a∩b=P，且a∥α，b∥α，則α∥β.

圖形語言：

（2）引導(dǎo)學(xué)生小組討論，加深對(duì)定理的認(rèn)識(shí)：

①五個(gè)條件一個(gè)也不能少，關(guān)鍵詞是：“內(nèi)”“交”“平行”.

②線線、線面、面面平行的內(nèi)在聯(lián)系：線線平行?線面平行?面面平行，即用低一級(jí)位置關(guān)系判斷高一級(jí)位置關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖：通過三種語言認(rèn)識(shí)定理，利用討論加深對(duì)定理的理解，反思新舊知識(shí)間的聯(lián)系.

（三）應(yīng)用定理，加深理解

例1：木工師傅如何檢驗(yàn)桌面與水平面平行.

木工師傅通常拿氣泡水準(zhǔn)器進(jìn)行檢驗(yàn). 工作原理：當(dāng)水準(zhǔn)器中氣泡居中時(shí)，水準(zhǔn)器與水平面平行. 木工師傅用水準(zhǔn)器在桌面上交叉放兩次，如果水準(zhǔn)器的氣泡都是居中的，就可以判定桌面和水平面平行. 這里面的依據(jù)就是面面平行的判定定理. 教師事先準(zhǔn)備一臺(tái)，讓學(xué)生動(dòng)手操作、體驗(yàn).

設(shè)計(jì)意圖：理論聯(lián)系實(shí)際，體會(huì)定理在實(shí)際生活中的作用.

例2：判斷下列命題是否正確，正確的說明理由，錯(cuò)誤的舉例說明.

（1）已知平面α，β和直線m，n，若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β.

（2）若α內(nèi)有無數(shù)條直線都與β平行，則α∥β.

（3）一個(gè)平面α內(nèi)兩條不平行的直線都平行于另一個(gè)平面β，則α∥β.

（4）如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個(gè)平面平行.

學(xué)生思考后回答，結(jié)合長(zhǎng)方體模型進(jìn)行反例說明.

設(shè)計(jì)意圖：通過一些命題的判斷，進(jìn)一步強(qiáng)化定理的應(yīng)用條件，特別是對(duì)定理中相交直線的重視.

這兩個(gè)變式由學(xué)生獨(dú)立完成，教師投影展示，及時(shí)給予點(diǎn)評(píng).

設(shè)計(jì)意圖：例3及兩個(gè)變式都是依托正方體展開的，由于正方體也是學(xué)生所熟悉的幾何體，具有豐富的性質(zhì)，再加上本節(jié)課是研究面面平行的第一節(jié)課，不適宜在復(fù)雜的幾何體中展開. 變式2是一道探索性問題，引導(dǎo)學(xué)生把面面平行的問題最終轉(zhuǎn)化為線線平行的問題，在空間找線線平行的常用方法有：利用三角形的中位線；利用平行四邊形的性質(zhì)及公理4. 邊找邊證既培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手能力，又培養(yǎng)了大膽猜想、小心求證的科學(xué)研究方法.

（四）歸納小結(jié)，提高認(rèn)識(shí)

師：今天我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？用到了哪些思想方法？

教師在學(xué)生總結(jié)的基礎(chǔ)上再進(jìn)行概括.

（1）知識(shí)方面：①兩個(gè)平面平行的判定定理；②判定兩個(gè)平面平行的方法——定義，判定定理；③線線、線面、面面平行的內(nèi)在聯(lián)系：線線平行?線面平行?面面平行.

（2）方法方面：類比、轉(zhuǎn)化思想.

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容有一個(gè)全面、深刻的認(rèn)識(shí)，對(duì)學(xué)生知識(shí)體系的形成有很好的指導(dǎo)作用，培養(yǎng)歸納、概括能力.

（五）布置作業(yè)，鞏固知識(shí)

（1）教材P62—7，8；

（2）探索直線與平面平行、平面與平面平行的性質(zhì).

設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí)，加深對(duì)知識(shí)的理解，為學(xué)有余力的學(xué)生提供思考的空間.

[?] 教學(xué)體會(huì)與反思

本節(jié)課研究了平面與平面平行的判定，并進(jìn)行了簡(jiǎn)單的應(yīng)用.在教學(xué)中通過實(shí)際問題引入，激發(fā)學(xué)生探究的興趣. 本課所創(chuàng)設(shè)的實(shí)際問題情境學(xué)生不一定熟悉，通過教學(xué)幫助學(xué)生了解生活，積累經(jīng)驗(yàn). 讓學(xué)生明確學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅僅是為了考試，還要學(xué)會(huì)應(yīng)用，每節(jié)課教師都應(yīng)適當(dāng)選擇一些與本課有關(guān)的實(shí)際問題供學(xué)生思考、探究，培養(yǎng)“數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)于生活”的應(yīng)用意識(shí).

本節(jié)課注重定理的產(chǎn)生過程，按照“直觀感知—操作確認(rèn)—思辨論證”的認(rèn)識(shí)過程展開. 由于長(zhǎng)方體是立體幾何中的基本幾何體，其結(jié)構(gòu)對(duì)稱，各元素之間具有相等、平行、垂直等關(guān)系，內(nèi)涵豐富，它的性質(zhì)已為學(xué)生所熟知，是研究線線、線面、面面位置關(guān)系以及特殊幾何體的一個(gè)重要載體，是展開空間想象的重要依托，因此在定理生成過程中借助長(zhǎng)方體模型直觀感知、分析，給學(xué)生提供動(dòng)手操作的機(jī)會(huì). 同時(shí)教師精心設(shè)計(jì)問題，通過問題引導(dǎo)，層層遞進(jìn)，使學(xué)生產(chǎn)生一種心理上的期待感，形成探究問題的強(qiáng)烈意識(shí)，引發(fā)積極的思維活動(dòng)，直至揭開廬山真面目，使定理的生成水到渠成. 在學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想等合情推理活動(dòng)后再進(jìn)行思辨論證.按照教參要求，對(duì)定理不要求證明，但這并不等于不作說明，若對(duì)定理為真所必要的說明也沒有了，則無從談起培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理、邏輯論證能力，更不符合人們“大膽猜想、小心求證”的科學(xué)研究的基本要求.

總之，在立體幾何教學(xué)中，要借助實(shí)物模型，精心設(shè)計(jì)問題，細(xì)化教學(xué)過程，引導(dǎo)學(xué)生親身、主動(dòng)地經(jīng)歷定理的形成過程，努力培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力.