構(gòu)“問題圖式”促思維提升

金苗

摘 要 “問題圖式”習(xí)題教學(xué)能將分散的知識(shí)集中化、單一的圖形多元化、抽象的思維具體化、靜態(tài)的圖形動(dòng)態(tài)化，使習(xí)題教學(xué)教得深刻、學(xué)得透徹；教有深度、學(xué)有高度。

關(guān)鍵詞 問題圖式 習(xí)題教學(xué)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2016）22-0074-02

所謂“問題圖式”，是指由與問題類型相關(guān)的原理、概念、解題方法、結(jié)構(gòu)變化和操作程序構(gòu)成的一個(gè)知識(shí)綜合體。由于圖式既表征了抽取出來的一般性命題，又具附屬于命題的具體解決思路，因此，在習(xí)題教學(xué)中，選擇典型題及解法作為基本圖式，以此為根，從基本的問題著手討論和研究，形成合理的知識(shí)組塊和問題圖式。教學(xué)設(shè)計(jì)便于引導(dǎo)學(xué)生知識(shí)的遷移和解決問題能力的產(chǎn)生，利用圖式啟智，剖析問題結(jié)構(gòu)、優(yōu)化解題策略、提升思維能力。如何利用課本典型習(xí)題進(jìn)行“問題圖式”習(xí)題教學(xué)，我以一節(jié)“直角三角形”習(xí)題課為例，談?wù)剬?duì)此的認(rèn)識(shí)和理解。

一、鋪路引橋構(gòu)建問題圖式

師：“已知：AB⊥BD于點(diǎn)B，CD⊥BD于點(diǎn)D，P是BD上一點(diǎn)，那么△ABP≌△PDC”這個(gè)結(jié)論成立嗎？

學(xué)生紛紛搖頭，表示條件不充分，所以結(jié)論不成立。

拋出條件串：（1）AP=PC （2）AB=PD （3）PB=CD （4）AP⊥PC。

師：你能在條件串中進(jìn)行挑選、補(bǔ)充與原題不一樣的條件，使結(jié)論成立嗎？

學(xué)生們經(jīng)過思考之后，得出五種方案：

（1）AP=PC，AB=PD （2）AB=PD，PB=CD

（3）AP=PC，PB=CD （4）AB=PD，AP⊥PC

（5）AP⊥PC，PB=CD

師：同學(xué)們做得很好，我們?nèi)l件AP⊥PC、AB=PD，改編結(jié)論為：PB=CD，結(jié)論成立嗎？

生1：仍然成立，可借助先前已證得的全等三角形，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PB=CD。

師（繼續(xù)追問）：若取條件AB=PD、PB=CD，改編結(jié)論為：AP⊥PC，結(jié)論成立嗎？

生2：成立，可借助剛才已經(jīng)得到的兩三角形全等得∠1=∠C，又因?yàn)椤螩+∠2=90€埃傻謾？+∠2=90€埃駻P⊥PC。

師：若連接AC，△APC是一個(gè)什么特殊三角形？

生齊聲回答：等腰直角三角形。

【設(shè)計(jì)思路】該環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)，通過改變?cè)}的已知條件、運(yùn)算信息、待求結(jié)論的結(jié)構(gòu)，形成“一線三等角”（等角是直角）的“K”字圖典型圖式，滲透全等三角形性質(zhì)和判定、等角或同角的余角相等等知識(shí)運(yùn)用，完成全等三角形、直角三角形、等腰直角三角形的三大圖形的轉(zhuǎn)化，完成此類題目的解題梳理。

二、化隱為顯運(yùn)用問題圖式

問題1：如圖，四邊形ABCD，EFGH，NHMC都是正方形邊長(zhǎng)分別為a，b，c；A，B，N，E，F(xiàn)五點(diǎn)在同一直線上。若a=6，b=7，則c=______。

師：你能在這里找到熟悉的圖形嗎？

學(xué)生的積極性被點(diǎn)燃起來，由于前面打下的基礎(chǔ)，很快就有學(xué)生觀察到△CBN≌△NEH，再借助“正方形的四邊相等”和勾股定理易得到：

問題2：如右圖，是由兩個(gè)全等的長(zhǎng)方形拼成的字母“L”，其中B、C、D在同一條直線上，你能借助圖中的頂點(diǎn)畫出一個(gè)等腰直角三角形嗎？請(qǐng)說明理由。

問題3：是個(gè)操作題，由于它是結(jié)論開放性題目，所以每個(gè)學(xué)生都能根據(jù)自己的實(shí)際水平解決它，因此他們解題熱情高漲，大多數(shù)學(xué)生很快就找到滿足要求的△BHC、△ECD。教師詢問還有沒有時(shí)，有部分學(xué)生反應(yīng)敏捷，略一思索，把第三個(gè)答案△ACF也找到了。很顯然第三個(gè)答案的得出，得益于引題的啟發(fā)。（具體見下圖）

【設(shè)計(jì)思路】利用問題圖式，使隱含條件外顯，問題障礙減弱，難度系數(shù)降低，“K”字圖在解題過程中更顯結(jié)構(gòu)化，促進(jìn)解題高效完成。

三、變靜為動(dòng)激活問題圖式

問題：如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分別為B、C，點(diǎn)P為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)。（1）當(dāng)AB=1，CD=4，BC=5時(shí)，線段BC上是否存在點(diǎn)P，使△APD為等腰直角三角形？如果存在，求線段BP的長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說明理由。

由于動(dòng)點(diǎn)題型八年級(jí)的學(xué)生接觸不多，所以教師可借助幾何畫板，在BC上任選一動(dòng)點(diǎn)P，構(gòu)造△APD，讓點(diǎn)P在線段BC上自由運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)的過程中，讓學(xué)生觀察是否有等腰直角△APD存在。

學(xué)生通過觀察，認(rèn)為存在，當(dāng)點(diǎn)P如下圖示，△APD為等腰直角三角形。并根據(jù)假設(shè)△APD為等腰直角三角形時(shí)，可得△ABP≌△PCD，∴BP=CD=4。

師：BP的長(zhǎng)度與AB、BC有關(guān)嗎？

生齊聲回答：無關(guān)。

師：如果無關(guān)，那么老師可否讓AB=1，BC=6？

學(xué)生們略微思索之后，回答不行，因?yàn)轭}中PC=AB=1，那么BC只能為5。

師趁機(jī)拋出引申問題：在上圖中，當(dāng)AB=a，CD=b，BC=c時(shí)，那么當(dāng)a、b、c之間滿足什么關(guān)系時(shí)，在直線BC上存在點(diǎn)P，使△APD為等腰直角三角形？

生3：仍然借助△ABP≌△PCD，可得AB=PC=a，BP=CD=b，∴BC=BP+PC=a+b=c。

【設(shè)計(jì)思路】把基礎(chǔ)圖形放置于“直角梯形”的背景之中，變靜為動(dòng)，以點(diǎn)動(dòng)帶動(dòng)圖形的運(yùn)動(dòng)變化，對(duì)原題進(jìn)行了深化，本題看似是動(dòng)點(diǎn)題，但思想方法上看點(diǎn)P位置，實(shí)際等腰直角三角形的存在只是動(dòng)點(diǎn)過程的一個(gè)特殊情況，似動(dòng)實(shí)靜，實(shí)質(zhì)就是“K”字圖，激活數(shù)學(xué)圖式，感悟它的數(shù)學(xué)本質(zhì)。這樣，看似無關(guān)聯(lián)的動(dòng)點(diǎn)題探究又在“K”字圖上統(tǒng)一起來了，這為學(xué)生解題能力的提升打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。