平板穿透裂紋尖端動態應力強度因子研究*

姜 偉 楊 平1, 董 琴

(高性能船舶技術教育部重點實驗室1) 武漢 430063) (武漢理工大學交通學院2) 武漢 430063)

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平板穿透裂紋尖端動態應力強度因子研究*

姜 偉2)楊 平1,2)董 琴2)

(高性能船舶技術教育部重點實驗室1)武漢 430063) (武漢理工大學交通學院2)武漢 430063)

針對含裂紋平板承受沖擊載荷時裂紋尖端動態應力強度因子的求解問題，采用將動態有限元分析過程和相互作用積分計算應力強度因子相結合的方法，在有限元分析軟件ANSYS中利用APDL編程求解動態應力強度因子.經驗證，此方法具有很高的準確性.基于該方法對裂紋長度、裂紋角度、沖擊載荷大小對動態應力強度因子的影響進行研究.結果表明，動態Ⅰ型應力強度因子最大值約為相同大小靜態載荷應力強度因子的2.6倍；當斜裂紋角度為45°時動態Ⅱ型應力強度因子達到最大值.

動態應力強度因子；相互作用積分；穿透裂紋；沖擊載荷

0 引 言

船舶與海洋工程含裂紋結構物在運營期間難免要承受砰擊、碰撞等沖擊載荷的作用，相較于靜態載荷，裂紋在沖擊載荷作用下的動態響應不僅需要考慮慣性效應，而且需要考慮應力波在結構內的傳播，因此動態斷裂問題要比靜態斷裂問題更加復雜[1].動態斷裂問題可以歸納為兩類:穩態裂紋在沖擊載荷作用下的起裂問題；裂紋在沖擊載荷作用下的快速擴展及止裂問題.準確獲取裂紋承受沖擊載荷時裂紋尖端的動態應力強度因子(DSIFs)，對于研究裂紋在沖擊載荷下的起裂和擴展均具有重要意義.

20世紀70年代，Chen等[2]采用有限差分法求解了具有中心穿透裂紋矩形板受沖擊載荷作用時裂紋尖端動態應力強度因子，之后該問題成為研究動態應力強度因子的標準問題；90年代，Lin等[3]運用相同方法對Chen問題重新計算，指出應力波傳播會導致裂紋尖端動態應力強度因子出現第一次峰值和第二次峰值，Lin的計算結果更加真實準確地描述了動態應力強度因子的變化規律.Stern等[4]提出的相互作用積分可從混合型裂紋J積分中分離出Ⅰ型和Ⅱ型應力強度因子；Song等[5-8]采用相互作用積分計算了均勻和非均勻材料在沖擊載荷下的動態應力強度因子.李玉龍等[9-11]分別使用有限元法、裂紋張開位移法和彈簧質量模型方法求解了三點彎曲試樣的動態應力強度因子.解德等[12]的論著中，結合虛擬裂紋閉合法和動態有限元分析過程計算了動態載荷下裂紋尖端的動態應力強度因子.Saribay等[13]采用擴展有限單元法計算了沖擊載荷下的動態應力強度因子.在高版本有限元軟件ANSYS中，已將利用相互作用積分法計算應力強度因子集成到CINT命令中，這無疑為應力強度因子的求解提供了便利.

在有限元分析軟件ANSYS中結合動態有限元分析過程和CINT命令，通過APDL編程對含穿透裂紋平板受軸向拉伸沖擊載荷作用時的動態響應過程進行了數值仿真，獲得了裂紋尖端的動態應力強度因子.經驗證，此方法具有很高的準確性.然后基于該方法，分析了裂紋長度、裂紋角度和沖擊載荷大小對動態應力強度因子的影響.

1 動態應力強度因子計算原理

1.1 動態有限元方法原理

單元的運動方程可用如下矩陣方程表示.

(1)

可采用Newmark逐步積分法求解上述運動方程，在時刻t+Δt，單元運動方程如下.

(2)

式中：α,β為控制算法精度和穩定性的2個自由參數.

時間步長Δt的選取除了應綜合考慮計算時間與計算精度的要求，還應滿足如下公式[14]

(4)

(5)

式中：Δl為單元最小尺寸；Cd為縱波波速；E,υ,ρ分別為材料的彈性模量、泊松比和密度.

1.2 相互作用積分法計算應力強度因子的原理

1.2.1 相互作用積分的定義

J積分的定義式為[15]

(6)

圖1 J積分積分路徑及法向單位向量

輔助場單獨作用引起的J積分為

(7)

(8)

式中:I即為真實場和輔助場的相互作用積分，其表達式為

(9)

線彈性斷裂力學中，應力強度因子K和J積分存在如下關系.

(10)

(11)

式中：KⅠ和KⅡ分別為裂紋尖端的Ⅰ型和Ⅱ型應力強度因子.

由輔助場單獨引起的裂紋尖端J積分與應力強度因子K的關系式為

(12)

真實場與輔助場共同引起的J積分與應力強度因子之間的關系式為

(13)

即可得到真實場和輔助場的相互作用積分與應力強度因子之間的關系式為

2.健身休閑企業。健身休閑企業所能提供的大多是場館類、運動器材或者戶外運動類的休閑，此外還應重視各類企業項目供給的創新性與獨特性培育。廣西要大力支持健身休閑企業發展、鼓勵創業創新，應重視龍頭企業的培育，充分發揮自主品牌建設和創新能力提升的先導作用。2016年，廣西體育館利用自有事業經營所得收入全額出資成立了廣西南國體育投資集團有限責任公司，下設體育賽事、體育建設投資、體育產業發展3個子公司。今后自治區應加大招商引資、項目推介，吸引國內外知名體育組織或大型健身休閑企業落戶廣西，投資健身休閑產業，建設一批健身休閑特色產業集聚示范區（基地）。

(14)

(15)

式中：I(1)和I(2)分別為第一次和第二次求得的相互作用積分.

在高版本的有限元分析軟件ANSYS中，只能使用CINT命令實現用相互作用積分法計算應力強度因子.

1.3 求解動態應力強度因子

對承受沖擊載荷的穿透裂紋平板做動態有限元分析時，采用APDL編程提取每一時間步長運用CINT命令計算所得的應力強度因子值.繪成曲線即可得到沖擊載荷作用下裂紋尖端動態響應的動態應力強度因子曲線.

2 驗證算例

采用Chen問題作為驗證算例.中心穿透裂紋矩形板受軸向拉伸階躍沖擊載荷，矩形板的寬度2W=20mm、長度2H=40mm，中心穿透裂紋的長度2a=4.8mm，見圖2.假設矩形板的材料均勻、各項同性、線彈性，其彈性模量E=199.992GPa，泊松比υ=0.3，材料密度ρ=5 000kg/m3.在矩形板的寬度邊上作用階躍沖擊載荷p(t)，大小取p(0)=10MPa，載荷作用時間t=14μs.矩形板選用PLANE183單元，平面應變模型，裂紋尖端采用1/4節點奇異單元.中心穿透裂紋板整體網格劃分圖，共有3 930個8節點單元，48個6節點奇異單元，12 028個節點.在采用動態有限元分析時，分別取時間間隔Δt為0.05，0.10，0.25μs.

圖2 中心穿透裂紋板幾何模型及載荷

為便于比較沖擊載荷下裂紋的動態響應，采用無限均勻拉伸中心裂紋板的應力強度因子對動態應力強度因子進行量綱一的量處理，量綱一的量動態應力強度因子為

(16)

由式(5)得縱波波速Cd=7 337.85m/s，將載荷作用時間量綱一的量化.

(17)

圖3為計算所得量綱一的量動態應力強度因子與Lin的計算結果的對比.結果顯示，當Δt=0.05μs時，ANSYS計算結果與Lin的計算結果最為吻合.此方法計算的動態應力強度因子不僅具備很高的準確性，而且能夠很準確地反映出裂紋尖端在應力波作用下的動態響應.對于Δt=0.05μs時的計算結果，載荷作用時間t=4.2μs時，動態應力強度因子出現第一次峰值，載荷作用時間t=6.9μs時，動態應力強度因子出現第二次峰值.第二次峰值約為靜載荷下裂尖應力強度因子的2.6倍.

圖3 ANSYS計算結果與Lin的計算結果對比

考慮到主要研究拉伸沖擊載荷下裂紋的動態響應，未在裂紋面間定義接觸，導致2裂紋面發生貫穿，出現負的Ⅰ型應力強度因子.對于裂紋面間的接觸摩擦對動態應力強度因子的影響可參考文獻[16-17].圖4為加載不同時刻矩形板的von-Mises應力云圖.

圖4 載荷不同時刻中心穿透裂紋板von-Mises應力云圖

3 各參數對DSIFs的影響研究

采用相同方法計算Chen問題中不同的裂紋長度、不同裂紋角度和不同沖擊載荷大小下的裂紋尖端動態應力強度因子.每次只研究單一因素對動態應力強度因子的影響，其他參數與Chen問題保持一致.沖擊載荷作用時間和動態應力強度因子采用與驗證算例相同的量綱一的量處理方法.

3.1 裂紋長度對DSIFs的影響

分別取裂紋長度2a為2.0，3.0，4.0mm，計算在各裂紋長度下裂紋尖端動態應力強度因子.計算所得量綱一的量動態應力強度因子曲線見圖5，提取動態應力強度因子曲線中第一、二次峰值和時刻(見表1)，t1和t2分別為動態應力強度因子第一次峰值和第二次峰值的時刻.

圖5 量綱一的量DSIFs曲線(不同裂紋長度)

2a/mm第一次峰值t1/μs第二次峰值t2/μs2.02.0363.452.8295.603.01.8913.702.7815.754.01.8303.952.6836.604.81.8124.202.6316.90

由圖5可知，裂紋長度越短，裂紋尖端動態響應越劇烈；隨著裂紋長度逐漸增加，裂紋尖端動態應力強度因子的第一次峰值和第二次峰值均逐漸減小且峰值發生時刻逐漸延后.從裂紋張開吸收能量的角度考慮，裂紋越短，其所能吸收的能量越小，當受相同大小的沖擊載荷時，裂紋的響應越劇烈.

3.2 裂紋角度對DSIFs的影響

實際工程結構中，裂紋絕大部分為復合型裂紋，研究裂紋角度對動態應力強度因子的影響顯得尤為必要.斜裂紋的夾角定義為θ，見圖6.由于存在裂紋角度，矩形板在承受拉伸載荷時，純Ⅰ型(張開型)裂紋變為Ⅰ型(張開型)和Ⅱ型(滑開型)復合型裂紋.采用相互作用積分法計算應力強度因子可方便的分離出Ⅰ型和Ⅱ型應力強度因子.

圖6 中心穿透斜裂紋板幾何模型及邊界條件

取裂紋角度θ為15°，30°，45°，60°，75°時計算裂紋尖端動態應力強度因子.圖7～8分別為計算所得Ⅰ型、Ⅱ型動態應力強度因子曲線，提取第一、二次峰值和時刻的結果見表2～3.

圖7 量綱一的量Ⅰ型DSIFs曲線(不同裂紋角度)

圖8 量綱一的量Ⅱ型DSIFs曲線(不同裂紋角度)

θ/(°)第一次峰值t1/μs第二次峰值t2/μs01.8124.202.6306.90151.6894.252.4366.70301.4354.101.8886.65451.1144.001.1196.70600.8153.950.3707.35750.5983.90——

表3 Ⅱ型DSIFs峰值和時刻(不同裂紋角度)

結果表明，隨裂紋角度增加，Ⅰ型動態應力強度因子逐漸減小，由于裂紋尖端距寬度邊的距離變短，第一次峰值和第二次峰值發生時刻逐漸提前.當裂紋角度θ=45°時，裂紋尖端Ⅱ型動態應力強度因子達到最大值；θ=30°和θ=60°的Ⅱ型動態應力強度因子相差不大；θ=15°和θ=75°的Ⅱ型動態應力強度因子也相差不大，但均小于裂紋角度θ=30°和θ=60°時的Ⅱ型動態應力強度因子，Ⅱ型動態應力強度因子峰值時刻基本相同.

3.3 載荷大小對DSIFs的影響

取沖擊載荷p(t)為6,8,12，14 MPa，沖擊載荷作用時間仍為14 μs，計算在各沖擊載荷下裂尖動態應力強度因子.

圖9為計算所得量綱一的量動態應力強度因子曲線.若采用與沖擊載荷大小相同的靜載荷應力強度因子作量綱一的量處理，得出的動態應力強度因子曲線見圖10.峰值和時刻提取結果見表4.

圖9 量綱一的量DSIFs曲線(不同載荷大小)

圖10 量綱一的量DSIFs曲線(不同載荷大小)

結果表明,動態應力強度應子大小與載荷大小呈線性遞增關系，沖擊載荷大小不影響裂紋動態響應的時間.動態應力強度因子最大值約為相應靜態載荷應力強度因子的2.6倍.

表4 DSIFs峰值和時刻(不同載荷大小)

4 結 論

1) 在有限元軟件ANSYS中，將利用相互作用積分法計算靜裂紋斷裂參數的CINT命令和動態有限元分析過程相結合，可準確地計算沖擊載荷下的靜裂紋問題.

2) 對于中心穿透垂直裂紋平板，裂紋越短，裂紋在沖擊載荷下的動態響應越劇烈；隨著裂紋長度的增加，動態應力強度因子的第一次峰值和第二次峰值均逐漸減小，峰值出現時間逐漸延后.對于中心穿透斜裂紋平板，隨著裂紋角度的增加，動態Ⅰ型應力強度因子逐漸減小；當裂紋角度θ=45°時，動態Ⅱ型應力強度因子達到最大值.

3) 沖擊載荷越大，動態應力強度因子越大.對于Chen問題中的材料參數，動態應力強度因子最大值約為相同大小靜態載荷應力強度因子的2.6倍.

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Research on Dynamic Stress Intensity Factors for Through-cracked Plates

JIANG Wei2)YANG Ping1,2)DONG Qin2)

(KeyLaboratoryofHighPerformanceShipTechnologyofMinistryofEducation,Wuhan430063,China)1)(SchoolofTransportation,WuhanUniversityofTechnology,Wuhan430063,China)2)

In order to obtain the dynamic stress intensity factors (DSIFs) of a cracked plate subjected to impact load, the method by combining the dynamic finite element analysis process and the interaction integral method is used. APDL can be used to evaluate the DSIFs in the finite element software ANSYS. This method is verified and has a high accuracy. Besides, the influences of crack length, crack angel and impact load magnitude to the DSIFs are investigated and discussed. The results show that the maximum of the I type DSIFs is about 2.6 times the magnitude of SIF with the same size static load. When the inclined crack with 45 degrees, the II type DSIFs reaches the maximum.

dynamic stress intensity factors (DSIFs); interaction integral; through crack; impact load

2016-08-10

*國家自然科學基金項目資助(51479153)

U661.42 doi:10.3963/j.issn.2095-3844.2016.05.012

姜偉(1987- )：男，博士生，主要研究領域為結構疲勞與斷裂